http://profbeckman.narod.ru/

11. ОТОБРАЖЕНИЯ

Как уже упоминалось математические модели динамики можно разделить на три класса: 1) дифференциальные уравнения (потоки), 2) разностные уравнения (отображения, каскады) и 3) символические динамические уравнения. До сих пор мы в основном находились в рамках первого класса моделей, теперь несколько подробнее остановимся на втором: на разностных уравнениях динамики, в которых время дискретно.

Помимо непрерывных динамических систем, т.е. систем, описываемых дифференциальными уравнениями с непрерывным временем (потоки), существуют и абстрактные дискретные динамические системы (каскады, т.е. траектории в фазовом пространстве), описываемые последовательностью состояний. Решения ОДУ ведутся численными методами (например, методом конечных разностей) в которых время дискретно, данные представляют собой некоторое численное множество, а все функции рассчитываются методом итераций. Дискретные системы, описывающие итерационные процессы, дают простые примеры хаоса и служат инструментом анализа хаотических решений дифференциальных уравнений.

Некоторые важные аспекты нелинейной динамики можно изучать, используя дискретные отображения, поскольку они проще дифференциальных уравнений, чаще допускают аналитические решения и весьма наглядны. К тому же, многие отображения играют самостоятельную роль поскольку, не могут быть получены из систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Примером является логистическое распределение. Важно, что при переходе к отображению размерность системы уменьшается.

Динамические системы с дискретным временем (каскады) встречаются во многих практически важных ситуациях. Они, например, возникают при квантизации динамических систем с непрерывным временем (потоков). При описании реальных сред уже исходные математические модели оказываются динамическими системами с дискретным временем. Рассматривая периодические решения дифференциальных уравнений часто полезно перейти к рассмотрению решений лишь в точках np, кратных периоду p. И, наконец, динамические системы с дискретным временем возникают при исследовании автономных систем, для которых удается найти поверхность Пуанкаре и

построить отображение Пуанкаре.

11.1 Системы с дискретным временем в отображениях

Одномерное отображение – это простейшая модель эволюционного процесса, когда состояние системы характеризуется единственной переменной, а время – дискретно.

Одномерное отображение задаётся итерационным соотношением

Это - функция, показывающая зависимость последующих значений параметров от предыдущих значений.

Дискретное отображение (1) по заданному начальному значению x1 позволяет определить все последующие значения переменной: x2, x3 и т.д. Действительно:

x2=f(x1), x3=f(x2), x4=f(x3),

...............

В зависимости от вида функции f(x) Ур.1 может демонстрировать сложную и разнообразную динамику. При этом важным является установившийся режим, который будет наблюдаться после некоторого переходного процесса. Можно выделить три основных типа установившегося режима:

а) неподвижная точка, когда переменная перестает изменяться;

http://profbeckman.narod.ru/

б) цикл, когда переменная «пробегает» последовательно несколько значений (их число равно периоду цикла), а затем динамика повторяется; в) хаотический режим, когда динамика не повторяется и визуально кажется случайной.

Пусть M – подмножество q – мерного пространства Rq. Как правило, M является замкнутым ограниченным множеством (компактом) или гладким многообразием в Rq. Пусть Z – множество целых чисел и R – множество вещественных. Динамической системой называется непрерывное отображение Φ(x,t), где x M, t Z (или t R), такое, что

Φ: M×Z→M (или Φ: M×R→M), Φ(x, 0)=x, Φ(Φ(x,t),s) = Φ(x,t+s), где t, s принадлежат Z (или

R). Переменная t – время, а многообразие M – фазовое пространство).

Отображение однозначное – закон, по которому каждому элементу некоторого заданного множества X ставится в соответствие вполне определенный элемент другого заданного множества Y (при этом X может совпадать с Y). Такое соотношение между элементами x X и y Y записывается в виде y=f(x), или f:X Y и говорит, что отображение f действует из X в У. Отображение называется непрерывным, если близкие элементы множества А переходят в близкие элементы множества В. Точнее это означает, что если элементы x1, x2,.., хn,.. сходятся к x, то элементы f(x1), f(x2),...,f(хn),... сходятся к f(x). В ряде случаев в множествах А и В можно ввести координаты, т.е. задавать каждую точку этих множеств системой чисел (x1,...,хn) и (y1,...,уn). Тогда отражение задаётся системой функций ук=fk(x1,...,xn). 1≤k≤m. В большинстве встречающихся на практике случаев функции f1, f2,...,fm дифференцируемые: тогда отображение называется дифференцируемым. Если отражение дифференцируемо, m=n и Якобиан отражения отличен от нуля, то отражение взаимно однозначно.

Конформное отображение – преобразование отображение одной фигуры на другую, при котором две любые кривые, пересекающиеся под некоторым углом во внутренней точке первой фигуры, преобразуются в кривые второй фигуры, пересекающиеся под тем же углом.

Инвариантное множество – множество в фазовом пространстве X, состоящее из целых траекторий (является объединением некоторой совокупности траекторий). Может быть как положительным, так отрицательным.

Математические методы исследования отображений подобны методам исследования дифференциальных уравнений. Обычно находят равновесные или неподвижные точки отображения и проводят классификацию этих точек с помощью анализа отображения, линеаризованного вблизи данной точки.

Отображение – соответствие, при котором каждому из элементов множества X сопоставляется единственный элемент из множества Y. Обозначение отображения из множества X в множество Y f : X Y . Если X и Y состоят из чисел, то f – функция. Множество X – область определения отображения, обозначается X=D(f); E(f) – множество значений отображения, E(f)={y Y| x X,y=f(x)}E(f)={y Y| x X,y=f(x)}. Множество Γ(f) – график отображения.

Отображение – способ присвоения каждому объекту в одном наборе определенного объекта в другом (или таком же) наборе. Сопоставление применяется к любому набору: все целые числа, все точки в строке или все, что находится внутри круга. Например, «умножить на два» означает отображение множества всех целых чисел на множество четных чисел. Вращение – это отображение плоскости или всего пространства в себя.

Дискретная, аффинная динамическая система имеет вид матричного разностного

с матрицей А и вектором b. Изменение координат x→x+(1-A)-1b убирает слагаемое b из уравнения. В новой системе координат начало координат является фиксированной точкой отображения, а решения – линейной системой Anx0. Решения для отображения, в отличие от решений ОДУ, уже не являются кривыми, а точками в фазовом пространстве. Орбиты организованы в виде кривых, которые представляют собой совокупности точек, которые отображаются сами в себя под действием отображения.

http://profbeckman.narod.ru/

Как и в непрерывном случае, собственные значения и собственные векторы матрицы А определяют структуру фазового пространства. Например, если u1 является собственным вектором оператора A с вещественным собственным значением, меньшим единицы, то прямые, заданные точками вдоль α u1, с α R, являются инвариантной кривой отображения. Точки в этой прямой линии попадают в неподвижную точку.

Существует также множество других дискретных динамических систем.

Пусть f – некоторое отображение из множества X в множество Y. Если x при этом отображении сопоставляется y, то y=f(x). При этом y называется образом x, или значением отображения f в точке x, а x – прообразом элемента y.

Исходя из определения отображения, видно, что не требуется, чтобы все элементы в множестве Y являлись образами какого-либо x и при том единственного.

Пример 1. Даны два множества X={с,е,нт,я,б,р,ь} и Y={1,2,3,4,5,9,10,11}. Отображение из множества X в множество Y имеет следующий вид:

Совокупность всех элементов из множества X, образом которых является y из Y, называется полным прообразом y из X. Обозначается: f−1(y).

Пусть A X (А – подмножество Х). Совокупность всех элементов f(a), a A называется полным образом множества A при отображении f.

Пусть B Y. Множество всех элементов из X, образы которых принадлежат

множеству B, называется полным прообразом множества B.

Пример 2. X=Y=R, y=x2.

A=[−1;1] X

Полный образ f(A)=[0;1]

B=[0;1] Y

где b= gsin – некоторое уравнение относительно дискретной переменной vn.

Рис. 2. Итерационная диаграмма, соответствующая арифметической прогрессии.

Такие уравнения называют разностными уравнениями (отображениями). Итерационная диаграмма арифметической прогрессии (Ур.3) представлена на рис. 2: тело равномерно набирает скорость, которая может нарастать до бесконечности. Это отображение линейно, поскольку ему отвечает линейная функция f(x)=x+b.

Пример 4. Геометрическая прогрессия. Линейной функции типа f(x)=ax соответствует отображение

Эта геометрическая прогрессия может быть как сходящейся, так и расходящейся (рис. 3).

Пример 5. Затухающая геометрическая прогрессия. Тело движется по плоскости в некоторой среде, причём сила сопротивления пропорциональна скорости. Уравнение движения ma=-

http://profbeckman.narod.ru/

Точка бифуркации – смена установившегося режима работы системы; критическое состояние системы, при котором система становится неустойчивой относительно флуктуаций и возникает неопределённость: станет ли состояние системы хаотическим или она перейдёт на новый, более дифференцированный и высокий уровень упорядоченности.

Точка бифуркации (точки ветвления решения) – точка, в которой решение ОДУ расщепляется на две ветви. В точке бифуркации одно устойчивое состояние сменяется на другое устойчивое состояние (или одно неустойчивое состояние сменяется на другое устойчивое состояние), однако в некоторых точках бифуркации динамическая система переходит из устойчивого состояния в неустойчивое (или наоборот). Такая точка бифуркации называется критической точкой.

Критическая точка равновесия динамической системы (точка бифуркации, предельная точка) – точка, при преодолении которой система из устойчивого исходного состояния равновесия переходит в неустойчивое состояние.

Предельная точка числового множества, имеющего бесконечное число элементов, – точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Верхняя предельная точка числового множества – это наибольшая из его предельных точек. Нижняя предельная точка числового множества – это наименьшая из его предельных точек. В эволюции динамической системы предельная точка обычно соответствует неустойчивому равновесию. Предельные точки исходной формы равновесия являются критическими.

Неподвижная точка – точка, которую заданное отображение переводит в неё же, т.е. решение уравнения f(x)=x. Особенность неподвижной точки отображения состоит в том, что при отражении она переходит сама в себя, тогда как прочие точки при отображении сдвигаются, например х1 переходит в х2 и т.д.

Периодическая точка – точка, возвращающаяся в себя после определённого числа итераций, т. е. решения уравнения f(f(...f(x)....))=x. Неподвижная точка – это периодическая точка периода 1.

Закон эволюции динамической системы определяется каким-то одним моментом времени, так что знание состояния системы в некоторый момент времени t0 определяет состояние системы в любой момент времени t>t0. Это обстоятельство позволяет свести описание динамической системы к функции вида G(t, t0, x0), которая определяет состояние системы G(t, t0, x0) в момент времени t при условии, что в момент времени t0 она имела состояние x0. Функция (отображение) G определяется как G: T×T×X→X, где T – множество моментов времени, в которые можно наблюдать состояние системы; X – фазовое пространство системы, т.е. совокупность возможных состояний системы.

Отображение G обладает следующим важным свойством: G(t,t1,G(t1,t0,x0)=G(t,t0,x0), которое называется групповым. Если обозначить τ1=t-t1, τ0=t1-t0 и преобразовать обозначение G(t, t0, x0)→Gτ(x0) (момент времени считаем фиксированным и выводим за пределы аргументов), то групповое свойство запишется так: G 1+ 0=G 1G 0.

При изучении функции G часто фиксируют все аргументы, кроме одного, в данном случае варьироваться могут t или x0. Если варьируется t, а x0 фиксировано, мы получаем описание развития процесса во времени (динамики) с данным начальным состоянием x0.

При этом используют такую терминологию:

•множество {x X: x=G(t, t0, x0}, t T – траектория, или орбита;

•множество {x X: x=G(t, t0, x0, t T, t>0} – правая (положительная) полутраектория (полуорбита);

•множество {x X: x=G(t, t0, x0, t T, t<0} – левая (отрицательная) полутраектория (полуорбита).

Если G(t, t0, x0) не зависит от t, т.е. G(t, t0, x0)≡x0, то орбита называется стационарной точкой. Если функция G(t, t0, x0) по t периодична, то траекторию называют периодической.