Билеты

спирали равен подставляя вместо T его выражение

(3.7), имеем:

Эффект Холла

Эффект олла — явление возникновения поперечной разности потенциалов (называемой также холловским напряжением) при помещении проводника с постоянным током в магнитное поле. Открыт Эдвином оллом в 1879 году.

Свойства: В простейшем рассмотрении эффект олла выглядит следующим образом. Пусть через металлический брус в слабом магнитном поле B течёт электрический ток под действием напряжённости E. Магнитное поле будет отклонять носители заряда (для определённости электроны) от их движения вдоль или против электрического поля к одной из граней бруса. При этом критерием малости будет служить условие, что при этом электрон не начнёт

двигаться по циклоиде.

Таким образом, сила Лоренца приведёт к накоплению отрицательного заряда возле одной грани бруска и положительного возле противоположной. Накопление заряда будет продолжаться до тех пор, пока возникшее электрическое поле зарядов E1 не скомпенсирует магнитную составляющую силы Лоренца:

и jB называется коэффициентом (или константой) олла. В таком приближении знак постоянной олла зависит от знака носителей заряда, что позволяет определять их тип для большого числа металлов. Для некоторых металлов (например, таких, как алюминий, цинк, железо, кобальт), в сильных полях наблюдается положительный знак RH, что объясняется в полуклассической и квантовой теориях твёрдого тела.

31.Магнитное поле в веществе. Магнетики. Вектор намагниченности. Токи намагничевания. Плотность токов намагничевания.

При изучении магнитного поля в веществе различают два типа токов – макротоки и микротоки.

Макротоками называются токи проводимости и конвекционные токи, связанные с движением заряженных макроскопических тел. Микротоками (молекулярными токами) называют токи, обусловленные движением электронов в атомах, молекулах и ионах.

Магнитное поле в веществе является суперпозицией двух полей: внешнего магнитного поля, создаваемого макротоками и внутреннего, или собственного, магнитного поля, создаваемого микротоками.

арактеризует магнитное поле в веществе вектор , равный геометрической

сумме и магнитных полей: Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная

величина – намагниченность , равная отношению магнитного момента

Магнитные материалы, Магнетики — материалы, вступающие во взаимодействие с магнитным полем, выражающееся в его изменении, а также в других физических явлениях — изменение физических размеров, температуры, проводимости, возникновению электрического потенциала и т. д.

К магнитным материалам относят вещества, обладающие определенными магнитными свойствами и используемые в современной технологии. Магнитными материалами могут быть различные сплавы, химические соединения, жидкости.

В основном магнитные материалы делят на две большие группы - Магнитотвёрдые материалы и Магнитомягкие материалы. В то же время в связи с успехом в науках изучающих магнетизм и с развитием большой исследовательской работы в области изучения магнитных материалов, появились новые большие группы магнитных материалов: магнитострикционные материалы, магнитооптические материалы, термомагнитные материалы.

Вектор намагниченности.

Вектор намагничивания — магнитный момент элементарного объёма, используемый для описания магнитного состояния вещества. По отношению к направлению вектора магнитного поля различают продольную намагниченность и поперечную намагниченность. Поперечная намагниченность достигает значительных величин в анизотропных магнетиках, и близка к нулю в изотропных магнетиках. Поэтому, в последних возможно выразить вектор намагничивания через напряжённость магнитного поля и коэффициент

названный магнитной восприимчивостью:

Токи намагничивания.

Полный эффект магнитных моментов проявляется во много раз сильнее, чем в случае парамагнетизма или диамагнетизма. Это явление называется ферромагнетизмом. В парамагнитных и диамагнитных материалах при помещении их во внешнее магнитное поле возникает обычно настолько слабый наведенный индуцированный магнитный момент, что нам не приходится

думать о добавочных магнитных полях, создаваемых этими магнитными моментами. Другое дело магнитные моменты ферромагнитных материалов, которые создаются приложенным магнитным полем. Они очень велики и оказывают существенное воздействие на сами поля. Эти индуцирован­ные магнитные моменты так огромны, что они вносят главный вклад в наблюдаемые поля. Поэтому нам следует позаботиться о математической теории больших индуцированных маг­нитных моментов. Нахождение магнитных полей в ферромагнитных материалах несколько напоминает задачу о нахождении электрических полей в диэлектриках. Помните, сначала мы описывали внутренние свойства диэлектрика через векторное поле Р — дипольный момент единицы объема. Затем мы сообразили, что эффект этой поляризации эквивалентен плотности заряда Rпол, определяемой дивергенцией Р;

Rпол= -Ñ•Р. (36.1)

Полный же заряд в любой ситуации можно записать в виде суммы этого поляризационного заряда и всех других зарядов, плотность которых мы обозначим через rдр. Тогда уравнения Максвелла, которые связывают дивергенцию Е с плотностью зарядов, примут вид:

или

Плотность токов намагничевания

Разобьем плотность тока j, которая является реальным источником магнитных полей, на разные части; одна из них описывает циркулирующие токи атомных магнитиков, а остальные — другие возможные токи. j=jпол+ jдр, причем величина jпол представляла токи от движения связанных зарядов в диэлектриках, a jдp — все другие токи.

полную плотность тока мы будем писать в виде

j =jпол+jмaг+jnpoв. (36.5) Разумеется, именно этот ток входит в уравнение Максвелла с ротором В;

Теперь мы должны связать ток jмaг с величиной вектора намагниченности М. Чтобы вы представляли, к чему мы стремимся, скажу, что должен получиться такой результат:

jмaг=ÑXM. (36.7)

32.Напряженность магнитного поля. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость. Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах.

Напряжённость магнитного поля — это векторная величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности J.

ВСГС:

Всистеме СГС напряжённость магнитного поля измеряется в Эрстедах (Э), в системе СИ — в амперах на метр (L-1I). В технике Эрстед постепенно вытесняется единицей СИ — ампером на метр, 1 Э = 1000/(4π) А/м = 79,5775 А/м.

Магнитная восприимчивость

Магнитная восприимчивость определяется отношением намагниченности единицы объёма вещества к напряжённости намагничивающего магнитного поля. По своему смыслу восприимчивость является величиной безразмерной. Иногда полезно ввести понятие удельной магнитной восприимчивостью, равной восприимчивости единицы массы вещества. В СИ удельная восприимчивость измеряется в обратных килограммах (кг−1). Аналогично, молярная магнитная восприимчивость определяется как восприимчивость одного моля вещества и измеряется в обратных молях (моль−1).

Магнитная проницаемость

Магнитная проницаемость — физическая величина, характеризующая связь между магнитной индукцией B и напряжённостью магнитного поля H в веществе. В общем случае зависит как от свойств вещества, так и от величины и направления магнитного поля.

Обычно обозначается греческой буквой μ. Может быть как скаляром (у изотропных веществ), так и тензором (у анизотропных). В общем виде вводится

следующим образом: . Для изотропных веществ справедливо:

. В системе СГС магнитная проницаемость — безразмерная величина, в системе СИ вводят как размерную (абсолютную), так и

безразмерную (относительную) магнитные проницаемости: . где μr

— относительная, а μ — абсолютная проницаемость, μ0 — магнитная постоянная (магнитная проницаемость вакуума).

Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля

Доказанная теоpема о циpкуляции относится к любому случаю магнитного поля пpи условии, если оно создано постоянными токами. Она выполняется и пpи наличии магнетика, в котоpом в пpисутствиии внешнего поля возникают связанные токи. В этом случае в пpавую часть уpавнения для циpкуляции вектоpа В должны войти как свободные, так и связанные токи. Рассмотpим такой случай. Пусть пpоводник с током

помещен в магнетик (pис. 3.30). Магнетик может быть неодноpодным и иметь гpаницы (мы pассматpиваем общий случай). Циpкуляция вектоpа индукции магнитного поля по контуpу L пpопоpциональна сумме токов, сцепленных с контуpом. Кpоме тока J нужно учесть связанные токи молекул магнетика. Молекулы мы уподобляем магнитным диполям. Только часть диполей-молекул нанизаны на контуp. Эти диполи как бы обpазуют некую тpубку, по повеpхности котоpой течет ток. Уpавнение для циpкуляции вектоpа В будет иметь вид:

Втоpой член спpава пpедставляет собой связанный ток, сцепленный с контуpом. Его можно пpедставить в виде некотоpого интегpала.

34) Магнитомеханические явления.

Магнитный момент создаваемого эл-ном тока(вращение можно принять как ток) равен Pm = IS (S - площадь орбиты) Pm = eVr/2; Момент обусловлен движением эл-на по орбите, вледствие чего назыв. орбитальным моментом элна. Направление вектора Pm образует с направлением движения эл-на левовинтовую систему. Движущийся по орбите электрон обладает моментом импульса M = mVr. Вектром М назыв. орбитальным механ. моментом эл-на. Он образует с направлением движения эл-на правовинтовую систему. Следовательно

направления векторов Pm и M противоположны. Отношение магнитного момента элементарной частицы к её механ. моменту назыв. магнитомеханическим

отношением. Для эл-на оно равно : Pm/M = - e/2m. Вследствие вращения вокруг ядра эл-н оказывается подобным волчку. Это обстоятельство лежит в основе так называемых магнитомеханических явлений, заключающихся в том, что намагничивание магнетика приводит к его вращению и, наоборот, вращение магнетика вызывает его намагничивание.

Опыт Энштейна-Де Хааса.

если намагнититьстержень из магнетика, то магнитные моменты электронов установятся понаправлению поля, а механич. моменты - против. В результате суммарный механический момент эл-нов станет отличным от нуля. Момент импульса системы

стержень-электроны должен остаться без изменений. Поэтому стержень преобретает момент импульса и следовательно приходит во вращение. Изменение направления намагниченности приведет к изменению направления вращения

стержня. Опыт Эйнштейна и де ааза осуществлялся следующим образом : тонкий железный стержень подвешивали на упругой нити и помещали внутрь соленоида.

Закручивание нити при намагничивании стержня постоянным м.п. получалось весьма малым. Для усиления эффекта был применен метод резонанса - соленоид питался переменным током, частота к-рого подбиралась равной собственной

частоте механич. колебаний системы.

Магнетон Бора — единица элементарного магнитного момента. Данная величина названа в честь Нильса Бора.

Магнетон Бора определяется как (или из учебника M(мю)= eh/4Пm=9,27*10вминус24 А*м вквадрате)

(на всякий случай магн. момент это - основная величина, характеризующая магнитные свойства вещества.

В случае плоского контура с электрическим током магнитный момент вычисляется как

, где I — сила тока в контуре, S — площадь контура, — единичный вектор нормали к плоскости контура. Направление магнитного момента обычно находится по правилу буравчика, Для произвольного

Гиромагнитное отношение (магнитомеханическое отношение) — отношение дипольного магнитного момента элементарной частицы (или системы элементарных частиц) к её механическому моменту. Г= Р/L(маленькое) (P- магн момент,L- механич момент)

35) Диамагнетизм.

Диамагнетиками наз. в-ва, магнитные моменты атомов(молекул) которых в отсутствии внешнего магнитного поля равны нулю, т.к. магнитные моменты всех электронов атома (молекулы) взаимно скомпенсированы. Таким свойством обладают, например, вещества, в атомах(молекулах) к-рых имеются только целиком заполненные электронные слои - инертные газы, водород, азот NaCl и др. При внесении диамагнитного в-ва во внешнее магнитное поле его атомы преобретают наведенные магнитные моменты. Магнитная проницаемость < 1.

В физике ларморовская прецессия — это прецессия магнитного момента электронов, атомного ядра и атомов в направлении внешнего магнитного поля.

Теорема Лармора:

действие магнитного поля на движущийся электрон заключается в наложении на первоначальное движение равномерного вращения вокруг направления внешнего магнитного поля.

Ларморова частота — угловая частота прецессии магнитного момента, помещенного в магнитное поле. Названа в честь ирландского физика Джозефа Лармора (Joseph Larmor). Ларморова частота зависит от силы магнитного поля B и гиромагнитного соотношения γ:

При этом в формуле учитывается то магнитное поле, которое действует на месте нахождения частицы. Это магнитное поле состоит из внешнего магнитного поля Bext и других магнитных полей, которые возникают из-за электронной оболочки или химического окружения.

Ларморова частота протона в магнитном поле силой в 1 Тесла составляет 42 МГц, то есть Ларморова частота находится в диапазоне радиоволн. ПРЕЦЕССИЯ (от позднелат. praccessio - предшествование) - движение твёрдого тела, имеющего неподвижную точку О, к-рое определяется изменением угла

прецессии (см. Эйлера углы)и представляет собой вращение вокруг

неподвижной оси с угл. скоростью П.

36) Парамагнетизм

(от пара... и магнетизм), свойство тел, помещенных во внешнее магнитное поле, намагничиваться (приобретать магнитный момент) в направлении, совпадающем с направлением этого поля.

Парамагнетики — вещества, которые намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении внешнего магнитного поля. Парамагнетики относятся к

слабомагнитным веществам, магнитная проницаемость незначительно отличается от единицы μ>1.

К парамагнетикам относятся алюминий (Al), платина (Pt), многие другие металлы (щелочные и щелочно-земельные металлы, а также сплавы этих металлов), кислород (О2), оксид азота (NO), оксид марганца (MnO), хлорное железо (FeCl2) и др.

Парамагнетиками наз. в-ва, атомы (молекулы) которых в отсутствие внешнего магнитного поля имеют отличный от нуля магнитный момент. Атомы (молекулы или ионы) парамагнетика обладают собственными магнитными моментами, которые под действием внешних полей ориентируются по полю и тем самым создают результирующее поле, превышающее внешнее. Парамагнетики втягиваются в магнитное поле. В

отсутствие внешнего магнитного поля парамагнетик не намагничен, так как изза теплового движения собственные магнитные моменты атомов ориентированы совершенно беспорядочно.

Закон Кюри — физический закон, описывает магнитную восприимчивость парамагнетиков, которая при постоянной температуре для этого вида материалов приблизительно прямо пропорциональна приложенному магнитному полю. Закон Кюри постулирует, что при изменении температуры и постоянном внешнем поле, степень намагниченности парамагнетиков обратно пропорциональна температуре:

M — получаемая намагниченность материала; B — магнитное поле, измеренное в Теслах; T — абсолютная температура в Кельвинах; C — постоянная Кюри данного материала. Это соотношение, полученное экспериментально П.Кюри, выполняется только при высоких температурах или слабых магнитных полях. В обратном случае — то есть при низких температурах или при сильных полях — магнитная восприимчивость не подчиняется этому закону.

Магнитная воприимчивость, величина, характеризующая способность в-ва намагничиваться в магн. поле Положительной восприимчивостью обладают, например, парамагнетики и ферромагнетики

Магнитная восприимчивость парамагнетиков мала и составляет величину порядка 10−4 — 10−6, при этом она практически не зависит от напряжённости приложенного магнитного поля. Заметные отклонения наблюдаются только в области сильных полей или низких температур.

37) Ферромагнетики. Природа ферромагнетиков.

Ферромагнетиками называются твердые в-ва ( как правило находящиеся в твердом состоянии), обладающие при не слишком высоких температурах самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью, которая сильно изменяется под влиянием внешних воздействий - магнитного поля, деформации, изменению

температуры. Ферромагнетики являются сильномагнитными средами : внутреннее магнитное поле может в сотни и тысячи раз превосходить внешнее. У каждого

ферромагнетика имеется такая темпера t, называемая точкой Кюри, выше к-рой вещество теряет свои особые магнитные св-ва и ведет себя как обычный

парамагнетик. Измерения гиромагнитного отношения для ферромагнетиков показали, что элементарными носителями магнетизма в них являются спиновые

магнитные моментов электронов. Область спонтанной ориентации магн. моментов наз. доменом. Магнитная проницаемость ферромагнетика > > 1.

Среди химических элементов ферромагнитными свойствами обладают переходные элементы Fe, Со и Ni (3 d-металлы) и редкоземельные металлы Gd, Tb, Dy, Ho, Er.

Ферромагнетизм, одно из магнитных состояний кристаллических, как правило, веществ, характеризуемое параллельной ориентацией магнитных моментов атомных носителей магнетизма.

Основная кривая намагничивания - важнейшая характеристика магнитных материалов. Физика процессов намагничивания

магнитных материалов может быть понята при отождествлении ее с характе рными участка ми основно й кривой

намагничивани я.

зависимость В(Н) – петля гистерезиса. Остаточная намагниченность —

намагниченность, которую имеет ферромагнитный материал при напряжённости внешнего магнитного поля, равной нулю. Величина остаточной намагниченности определяется точкой пересечения петли

гистерезиса с осью магнитной индукции ферромагнетика. Коэрцитивная сила — такое размагничивающее внешнее магнитное поле напряженностью , которое необходимо приложить к ферромагнетику, предварительно намагниченному до насыщения, чтобы довести до нуля его намагниченность или индукцию магнитного поля внутри.

Точка Кюри, или температура Кюри, — температура фазового перехода II рода, связанного со скачкообразным изменением свойств симметрии вещества (например, магнитной — в ферромагнетиках, электрической — в сегнетоэлектриках, кристаллохимической — в упорядоченных сплавах). Назван по имени П. Кюри. При температуре T ниже точки Кюри Q ферромагнетики обладают самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью и определённой магнитно-кристаллической симметрией. В точке

Кюри (T = Q) интенсивность теплового движения атомов ферромагнетика оказывается достаточной для разрушения его самопроизвольной намагниченности («магнитного порядка») и изменения симметрии, в результате ферромагнетик становится парамагнетиком.

Вид зависимости магнитной восприимчивости ферромагнетика от напряжённости намагничивающего поля носит название кривой

Столетова и обусловлен сложными механизмами намагничивания ферромагнетиков.

38) Электромагнитная индукция

— явление возникновения электрического тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, проходящего через него.

Электромагнитная индукция была открыта Майклом Фарадеем. Он обнаружил, что электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводящем контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. Величина э.д.с. не зависит от того, что является причиной изменения потока — изменение самого магнитного поля или движение контура (или его части) в магнитном поле. Электрический ток, вызванный этой э.д.с. , называется индукционным током.

Электродвижущая сила (ЭДС) — физическая величина, характеризующая работу сторонних (непотенциальных) сил в источниках постоянного или переменного тока. В замкнутом проводящем контуре ЭДС равна работе этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль контура. Причиной электродвижущей силы может стать изменение магнитного поля в окружающем пространстве. Это явление называется магнитной индукцией.

Величина ЭДС индукции в контуре определяется выражением где Φ — поток магнитного поля через замкнутую поверхность S, ограниченную контуром. Знак «−» перед выражением показывает, что индукционный ток, созданный ЭДС индукции, препятствует изменению магнитного потока в контуре (правило Ленца).

Правило Ленца. правило для определения направления индукционного тока: Индукционный ток, возникающий при относительном движении проводящего контура и источника магнитного поля, всегда имеет такое направление, что его собственный магнитный поток компенсирует изменения внешнего магнитного потока, вызвавшего этот ток.

Если индукционный ток направлен против основного тока.

Индукционный ток всегда направлен так, чтобы уменьшить действие причины его вызывающей.

Токи Фуко.Индукционные токи, которые возникают в сплошных проводниках, наз.

вихревыми токами или токами Фуко. В толщах сплошных проводников возникает много замкнутых линий таких токов. Токи Фуко способствуют нагреванию

проводника, это приводит к потерям энергии. Для их уменьшения сердечники

трансформаторов, магнитные цепи эл. машин изготовляют не сплошными, а из отдельных изолированных пластин, пов-ти к-рых располагаются параллельно линиям магнитной индукции.

39) Самоиндукция — явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении тока, протекающего через контур.

При изменении тока в контуре меняется магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром, изменение потока магнитной индукции приводит к возбуждению ЭДС самоиндукции. Направление ЭДС оказывается таким, что при увеличении тока в цепи ЭДС препятствует возрастанию тока, а при уменьшении тока — убыванию.

Величина ЭДС пропорциональна скорости изменения силы тока I и

индуктивности контура L:

Индуктивность — коэффициент пропорциональности между магнитным потоком (создаваемым током какого-либо витка при отсутствии намагничивающих сред, например, в воздухе) и величиной этого тока Если в проводящем контуре течёт ток, то ток создаёт магнитное поле. Величина магнитного потока, пронизывающего одновитковый контур, связана с

величиной тока следующим образом: где L — индуктивность витка.

В случае катушки, состоящей из N витков предыдущее выражение

потоком[4]. Коэффициент пропорциональности L иначе называется коэффициентом самоиндукции контура или просто индуктивностью. Соленоид — длинная, тонкая катушка, то есть катушка, длина которой намного больше, чем её диаметр. При этих условиях и без использования магнитного материала плотность магнитного потока B внутри катушки является фактически постоянной и равна

где μ0 − проницаемость вакуума, N − число витков, i − ток и l − длина катушки. Пренебрегая краевыми эффектами на концах соленоида, получим[7], что потокосцепление через катушку равно плотности потока B, умноженному на площадь поперечного сечения S и число витков N:

Отсюда следует формула для индуктивности соленоида

ер знает что тут можно сказать про индуктивность тороида.

40)

41) Взаимоиндукция (взаимная индукция) — возникновение электродвижущей силы (ЭДС) в одном проводнике вследствие изменения силы тока в другом проводнике или вследствие изменения взаимного расположения проводников. Взаимоиндукция — частный случай более общего явления — электромагнитной индукции.При изменении тока в одном из проводников или при изменении взаимного расположения проводников происходит изменение магнитного потока, созданного током первого проводника и проходящего через контур второго, что по закону электромагнитной индукции вызывает возникновение ЭДС во втором проводнике. Если второй проводник замкнут, то под действием ЭДС взаимоиндукции в нём образуется индуцированный ток. И наоборот, изменение тока во второй цепи вызовет появление ЭДС в первой. Направление тока, возникшего при взаимоиндукции, определяется по правилу Ленца. Правило указывает на то, что изменение тока в одной цепи (катушке) встречает противодействие со стороны другой цепи (катушки)

Полная энеpгия магнитного поля W находится путем интегpиpования:

или для соленоида

,

где V = lS - объем соленоида.

Если два контуpа находятся по соседству, и по одному из них пpотекает изменяющийся по вpемени ток, то в дpугом контуpе наводится ЭДС. Такая связь контуpов хаpактеpизуется коэффициентомвзаимной индукции (взаимной индуктивностью). Магнитный поток, создаваемый во втоpом контуpе (pис. 4.14) полем от тока в пеpвом контуpе, пpопоpционален току I1:

Ф21 = M21I1

Коэффициент М21 называется взаимной индуктивностью втоpого контуpа в зависимости от пеpвого. Очевидно, аналогичным обpазом можно опpеделить взаимную индуктивность пеpвого контуpа

взависимости от втоpого, согласно фоpмуле Ф12 = M12I2

Докажем, что М21 = М12. Допустим, что пеpвый контуp удаляется от втоpого на большое pасстояние. Пpи этом над контуpом пpидется совеpшить pаботу

A = I1Ф12 = I1M12I2

Допустим тепеpь, что втоpой контуp удаляется от пеpвого также на большое pасстояние. В этом случае совеpшенная pабота вычисляется по фоpмуле

A` = I2Ф21 = I2M21I1

Согласно закону сохpанения энеpгии эти pаботы pавны, т.е.

I1M12I2 = I2M21I1,

следовательно,

М12 = М21 = М.

42)Ток смещения. Максвелл обобщил закон полного тока, предположив, что переменное электрическое поле, так же как и электрический ток, является источником магнитного поля. Количественной мерой магнитного действия переменного

электрического поля служит ток смещения. Током смещения сквозь замкнутую поверхность называется физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту пов-ть (j=dD/dt, где j - плотность тока смещения,

D - вектор электрического смещения. Учет токов смещения приводит к тому, что цепи непостоянных токов становятся замкнутыми. Токи смещения "проходят"

втех участках, где нет проводников, например между обкладками заряжающегося или разряжающегося конденсатора. Электромагнитная индукция в неподвижных проводниках

45) Электродинамика

Основная статья: Теорема Пойнтинга

В электродинамике закон сохранения энергии исторически формулируется в виде теоремы Пойнтинга[15][16](иногда также называемой теоремой Умова—

Пойнтинга[17]), связывающей плотность потока электромагнитной энергии с плотностью электромагнитной энергии и плотностью джоулевых потерь. В словесной форме теорема может быть сформулирована следующим образом: Изменение электромагнитной энергии, заключённой в неком объёме, за некий интервал времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую данный объём, и количеству тепловой энергии, выделившейся в данном объёме, взятой с обратным знаком.

Математически это выражается в виде (здесь и ниже в разделе использована Гауссова система единиц)

где V — некий объём, — поверхность, ограничивающая этот объём,

— плотность электромагнитной энергии,

— вектор Пойнтинга,

— плотность тока, — напряжённость электрического поля, — индукция электрического поля, —

напряжённость магнитного поля, — индукция магнитного поля.

Этот же закон математически может быть записан в дифференциальной форме:

46)

Большая советская энциклопедия

← назад вперед →

Волновое уравнение,

дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной

изотропной среды В. у. имеет вид:

где х, у, z — пространственные переменные, t — время, u = u (х, у, z) — искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z) в момент t, а — скорость распространения возмущения. В. у. является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то В. у. упрощается и называется двумерным (одномерным). В. у. допускает решение в виде "расходящейся сферической волны":

u = f (t - r/a)/r,

где f — произвольная функция, a

Особый интерес представляет так называемое элементарное решение (элементарная волна):