Курсовая работа по МАиОС2

Федеральное агентство по образованию РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И.Ульянова(Ленина)

Кафедра ЭУТ

Пояснительная записка

к курсовой работе по дисциплине

«Метода анализа и обработки сигналов»

Вариант №5

Выполнил: студентка

группы 9584

Дорофеева А.Д.

Преподаватель:

Коновалов С.И.

Санкт-Петербург

2012

Содержание

Задание …………………………………………………………...…………………………....

1.Определение параметров случайного процесса ………………………………………….…

1.1Вычисление математического ожидания, дисперсии и корреляционной матрицы случайной функции………………………………………………………………………...…

1.2Проверка стационарности функции X(t)………………………………………………….…

1.3Определение нормированной корреляционной функции.……………………………..…..

2.Определение структуры согласованного фильтра и параметров квазиоптимального фильтра, состоящего из 3 колебательных контуров………………….……………………

2.1Согласованный фильтр…………………………………………………………………….....

2.2Квазиоптимальный фильтр ………………………………….………………………………

3.Определение характеристик обнаружителя………………………………………………...

4.Выводы………………………………………………………………………………………..

5.Список литературы…………………………………………………………………………...

ЗАДАНИЕ.

1.Случайная функция X(t) задана 12 реализациями x_i(t) в 21 сечении. Значения реализаций с шагом 0,1 сек заданы в файле в виде матрицы. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную матрицу случайной функции, проверить, является ли функция X(t) стационарной, и в последнем случае определить ее нормированную корреляционную функцию.

2.На вход приемного устройства поступает сигнал

x(t)=s(t)+n(t), где

s(t) = A exp(-t²/_²) cos(_t+_)

A - случайная амплитуда, распределенная по закону Рэлея:

,

₀ = 2,5 мсек.; ₀- случайная начальная фаза, распределенная по закону:

n(t) - квазибелый гауссовский шум, имеющий спектральную плотность:

S()=N₀/2

в полосе || = ₂ - ₁, полностью перекрывающей спектр сигнала.

₀=2f₀; f₀ = 3*10⁴ Гц; || = 2*5*10⁴

Требуется определить:

А.Структуру согласованного фильтра и параметры (ширина полосы пропускания и изменение отношения сигнал/помеха на выходе по сравнению со входом) квазиоптимального фильтра, состоящего из 3 колебательных контуров.

В.Зависимость P_D, где^_s²/_n² на входе приемного тракта, если обнаружитель выполнен по схеме согласованный фильтр - линейный детектор - пороговое устройство. Результаты сравнить с работой простейшего обнаружителя Неймана-Пирсона. При этом с доверительной вероятностью P=0.9 должно быть не более n₀ = 0 ложного срабатывания регистратора за 8 часов работы при частоте посылок 6 импульсов в минуту.

1.Определение параметров случайного процесса

1. Вычисление математического ожидания, дисперсии и корреляционной матрицы случайной функции

Случайная функция X(t) задана 12 реализациями x_i(t) в 21 сечении. Значения реализаций с шагом 0,1 сек заданы в файле в виде матрицы (таблица 1).

Математическое ожидание случайного процесса X(t) для дискретного момента времени t_i определяется по формуле

,

Mx(t)	0,7677	0,0932	0,7681	0,5108	0,9839	0,8252	0,3653	0,72	0,05733	0,3734
0,2408	0,9166	0,0298	0,7893	0,7907	0,915103	0,8016	0,015	0,4988	0,5116	0,0025

,где – математическое ожидание.

Среднее мат. ожидание- 0,5227 Максимально мат. ожидание- 0,9839

Дисперсия определяется по формуле

,

где - значение k-реализации в дискретный момент времени t_i , - математическое ожидание для i – сечения.

D(x)	11,385	4,7634	12,727	3,4772	13,12	12,868	1,23	7,8169	1,615323	8,1281
15,794	13,571	14,975	3,3036	12,815	14,25263	13,603	7,2554	6,3199	13,306	4,5648

Средняя дисперсия- 9,3758

Элементы корреляционной матрицы вычисляются по формуле

=

По главной диагонали корреляционной матрицы будут располагаться дисперсии .

Корреляционная матрица представлена на таблице 2.

1.2. Проверка стационарности функции X(t)

В некотором приближении случайную функцию можно считать стационарной, если максимальное отклонение математического ожидания от среднего математического ожидания много меньше среднеквадратического отклонения.

>> и >>, следовательно, случайную функцию можно считать стационарной.

1.3 Определение нормированной корреляционной функции

Значения элементов нормированной корреляционной матрицы случайной функции X(t) определяются формулой:

_{Корреляционная матрица будет симметрична, т.к. функция стационарна и} , где

_{Нормированная корреляционная матрица представлена на таблице 3.}

2. Определение структуры согласованного фильтра и параметров квазиоптимального фильтра, состоящего из 3 колебательных контуров

2.1. Согласованный фильтр

Найдем выражение для спектра заданного сигнала S(t).

В общем виде:

Для вычисления интеграла преобразуем показатель экспоненты следующим образом:

Возведя выражение в скобках справа в квадрат, получим:

Взаимно уничтожив одинаковые члены и сократив на t, получим:

Выражение для спектра сигнала, с учетом полученных выражений, примет вид:

Произведем замену переменных:

Тогда:

Частотная характеристика согласованного фильтра для сигнала определяется следующим выражением:

Подставляя сюда спектр сигнала, получим:

Для построения реального фильтра необходимо выполнение принципа физической возможности:

.

Построение согласованного фильтра не возможно, так как условие не соблюдается.

2.2. Квазиоптимальный фильтр

В случаях, когда построение согласованного фильтра невозможно, строят фильтр близкий к оптимальному по отношению сигнал-помеха. Такой фильтр называется квазиоптимальным. Ухудшение отношения сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с этим отношением на выходе оптимального фильтра равно:

Запишем выражение для передаточной функции квазиоптимального фильтра:

где , - добротность, n – количество высокодобротных контуров в фильтре.

По условию количество контуров в квазиоптимальном фильтре n = 3. С учётом этого перепишем выражение для передаточной функции.

Для спектра сигнала получим:

Подставим выражения для и в выражение для :

Пределы интегрирования найдем из выражения:

Получим y=659.835

max= 0.998 Qmax=81.043

Определим ширину полосы пропускания фильтра:

,

где n – число несвязанных контуров,

.

Тогда: .

Отношение сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра выражается через отношение сигнал/помеха на его входе:

где , a(t) – огибающая сигнала, b - изменение отношения сигнал/помеха на выходе по сравнению со входом.

Получим b= 12.517

3. Определение характеристик обнаружителя

Обнаружитель выполнен по схеме согласованный фильтр - линейный детектор - пороговое устройство. Результаты сравнить с работой простейшего обнаружителя Неймана-Пирсона. При этом с доверительной вероятностью P=0.9 должно быть не более n₀ = 0 ложного срабатывания регистратора за 8 часов работы при частоте посылок 6 импульсов в минуту.

Вероятность ложного срабатывания:, где в - среднее количество ложных регистраций, N₀ – число независимых точек контроля.

находится из уравнения . В данном случае n₀ = 0. Вероятность превышения порога для отдельного импульса при наличии сигнала:

4.Выводы:

В результате выполнения курсовой работы было выполнено:

1. Исследование случайного процесса заданного 12 реализациями x_i(t) в 21 сечении.

2. Определение структуры согласованного фильтра и параметров квазиоптимального фильтра, состоящего из 3 колебательных контуров.

3. Получена зависимость P_D­( δ)

5.Список литературы

1. Пигулевский Е.Д. Акустические сгналы и их обработка: Учеб. Пособие/ ЛЭТИ.-Л., 1984.

2. Добротин Д.Д., Паврос С.К. Методы анализа случайных сигналов: Учеб. Пособие. – СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006

3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – М.: Наука, 1986.

4. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Радио и связь, 1986.

5. Добротин Д.Д., Коновалов С.И. Методы обработки сигналов: Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Методы анализа и обработки сигналов» - СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008.