Определени: Задача многокритериальной оптимизации формулируется следующим образом:

где это () целевых функций. Векторы решений относятся к непустой области определения .

Задача многокритериальной оптимизации состоит в поиске вектора целевых переменных, удовлетворяющего наложенным ограничениям и оптимизирующего векторную функцию, элементы которой соответствуют целевым функциям. Эти функции образуют математическое описание критерия удовлетворительности и, как правило, взаимно конфликтуют. Отсюда, «оптимизировать» означает найти такое решение, при котором значение целевых функций были бы приемлемыми для постановщика задачи.

Эталонные точки

Для возможности оценки качества найденных решений обычно рассматривают такие точки в области значения целевой функции: идеальная точка ,утопическая точка ,надир .

В некоторых случаях эти точки могут быть решениями.

Идеальная точка определяется как вектор , каждая из координат которого имеет оптимальное значение соответствующей составляющей целевой функции:

Точка надир определяется как вектор:

Утопическую точку вычисляют на основе идеальной:

где ,  — единичный вектор.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F-Многокретериальная оптимизация.

Пример: « Покупка автомобиля »

	VW Golf	Opel Astra	Ford Focus	Toyota Corolla
Цена (1000 Euro)	16.2	14.9	14.0	15.2
Расход топлива (на 100 км)	7.2	7.0	7.5	8.0
Мощность (kW)	66.2	62.0	55.0	71.0

Какой автомобиль выбрать, чтобы он был мощным, недорогим, с малым расходом топлива?

Пример OpelиFord

эффективный выбор или Парето*-оптимальный решения

X = fV W; Opel; F ord; T oyotag — допустимое множество

fi : X ! R, i = 1;2 — критерии оптимизации f = (f1; f2)

Y := f(X) := fy 2 R2: y = f(x) для x 2 Xg — образ множества X или допустимое множество в пространстве критериев minx2X(f1(x); f2(x))

http://math.nsc.ru/~alekseeva/TPR-FIT-2012/L6_fit.pdf