§3.3. Потенциальные барьеры
Одномерный
потенциальный барьер определяется
зависимостью потенциальной энергии от
координаты
.
Если на каком-то участке координатыx
потенциальная энергия возрастает (или
падает), то говорят об одномерной
потенциальной ступеньке.
Рассмотрим
задачу, когда на одномерную потенциальную
ступеньку налетает частица. Если
выполняется условие, что размер области
изменения потенциальной энергии x
мал по сравнению с волной де Бройля
частицы
,
то тогда можно считать барьер
прямоугольным, для которого
.
В
классическом случае, если энергия
налетающей частицы E
< U0,
то частица с достоверностью отражается
и в правую область не проникает. Если
ее энергия E
>
U0,
тогда частица с достоверностью проходит
над барьером и в правой области она
движется с меньшей скоростью
.
В рамках квантово-механического
рассмотрения решается уравнение
Шредингера в области до порогаx
< 0 и после порога x
> 0, а затем решения “сшиваются” на
границе (x
= 0).
Прямоугольный потенциальный барьер.
Пусть
на прямоугольный потенциальный барьер
(Рис.3.6) слева падает поток частиц с
полной энергией
,
меньшей величины барьера.
Рис.3.6. Прохождение частицы сквозь прямоугольный потенциальный барьер.
Потенциальная энергия
(3.25)
Разобьем пространство на три части I, II и III. В I и III областях имеем уравнение Шредингера для свободной частицы:
.
(3.26)
Его решения:
I
область
, (3.27)
III
область
. (3.28)
Во II области имеем:
.
(3.29)
Соответствующее решение под барьером
(3.30)
Волна exp(ikx) движется в положительном направлении оси x, а волна exp(-ikx) - в обратном. В III области не будет волны в обратном направлении оси x, т.к. из бесконечности нет потока частиц. Окончательно
.
(3.31)
На границах полная волновая функция и ее первая производная непрерывны. Эти граничные условия дают систему уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D и G.
При
x
= 0
. (3.32)
При
x
=
a
.
(3.33)
Введем коэффициенты отражения и прохождения как отношение плотностей потока
.
(3.34)
В
I
области поток вправо определяется
волной, распространяющейся вдоль оси
x,
.
Поэтому
(3.35)
Поток
влево в I
области определяется волной
,
а
(3.36)
Коэффициент отражения определяется
(3.37)
Коэффициент
прохождения
(поток пройденной волны определяется
волной
):
(3.38)
В первой паре уравнений (3.32) сложим два уравнения, избавляясь от коэффициента В.
Во второй паре уравнений (3.33) делим на второе уравнение, затем складывая и вычитая, получаем следующие два соотношения:
Выражая отсюда 2С и 2D и подставляя их в предыдущее уравнение, имеем
Раскрывая скобки, получаем
Введем гиперболический косинус и гиперболический синус:
Для
них выполняется теорема Пифагора
Тогда:
Теперь, раскрывая скобки и учитывая теорему Пифагора, получаем для отношения квадратов:
.
(3.40)
Здесь
.
Результирующее выражение для коэффициента прохождения имеет вид
.
(3.41)
Исследование коэффициентов прохождения и отражения. То, что коэффициент прохождения не равен нулю при полной энергии частицы меньшей потенциального барьера E < U0 – называется туннельным эффектом. В классической физике ничего подобного нет, туннельный эффект – чисто квантовый эффект.
При условии a >> 1 можно получить для коэффициента прохождения Т:
,
или
Коэффициент
отражения определяется соотношением
.
Подставляя решения системы уравнений
(3.32) - (3.33), получаем
.
(3.42)
Как и должно быть из закона сохранения вероятности
.
(3.43)
Случай E > U0.
Решение
получается тем же путем, как и ранее,
только в области II
имеем решение, описывающее движение
свободной частицы с
.
В итоге мы получаем те же формулы для
коэффициентов прохождения и отражения,
только ""
меняем на "i"
и "Sh"
на "-iSin":
,
(3.44)
.
(3.45)
В
общем случае мы имеем коэффициент
отражения не равный нулю
(и
),
т.е. частица может отразиться от барьера
и при энергии, превышающей величину
барьера, когда по классической механике
частица проходит с достоверностью над
барьером.
Однако, есть характерные энергии, когда коэффициент отражения равен 0, а коэффициент прохождения равен 1:
(3.46)
При
таких энергиях частица пролетает над
барьером с достоверностью и при квантовом
рассмотрении. Заметим, что при этом
целое число полуволн де Бройля укладывается
на барьере, чему соответствует условие
.
Аналогичное решение для коэффициентов прохождения и отражения получаем для барьера в виде прямоугольной ямы, при этом меняется только "U0" на "-U0".
Отметим, что в общем случае коэффициент отражения не равен нулю. Коэффициент прохождения обращается в единицу только для таких энергий когда на размере ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.
Барьер произвольной формы.
Если
барьер U
= U(x)
произвольной формы, то задачу о прохождении
частицы можно решить приближенно. Пусть
E
= const
и тогда равенство E
= U(x)
определяет 2 точки a
и b,
где частица классически “входит” и
“выходит” из барьера. Сам барьер можно
представить в виде суммы прямоугольных
барьеров, причем каждый из них рассматривать
отдельно, как ранее. 
Рис.3.7. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер произвольной формы.
Приближенно
задачу можно решить, если барьеры
достаточно широкие, и при этом импульс
p(x)
и соответствующая волна де Бройля
медленно меняются на расстоянии ~.
Это условие называется условием
применения квазиклассического
приближения. В самом деле, воспользуемся
описанием изменения волновой функции
при распространении частицы в пространстве
с постоянным потенциалом, а именно:
,
где
p(x)
= const
(временной множитель
не существенен для определения
координатной зависимости). Разбивая
барьер на маленькие прямоугольные
барьеры ширинойx,
можно считать, что на ширине x
такого барьера U(x)
= const
и импульс частицы не меняется
.
Можно записать последовательность
приближенного изменения волновой
функции при переходе от одного барьера
к другому:
………
Тогда связь волновой функции на выходе из барьера с волновой функцией на входе записывается, как
.
Коэффициент прохождения через барьер произвольной формы
Здесь мы поменяли местами потенциальную и полную энергии частицы. В итоге
.
(3.47)
Выражение (3.47) позволяет найти коэффициент прохождения через барьер произвольной формы в квазиклассическом приближении.