Глава 5. Физика атомов

§5.1. Уравнение Шредингера в центральном поле

В центральном поле потенциальная энергия зависит только от модуля разности координат взаимодействующих частиц. Известно, что задача о движении двух взаимодействующих тел сводится к решению задачи о движении одной частицы с эффективной массой  в поле центральных сил. Если масса одного тела значительно больше массы другого M >> , то можно рассматривать движение частицы массы = в полеU(r), где r ее расстояние от второй частицы. Для атома водорода, которым мы интересуемся в первую очередь, – это масса свободного электрона.

Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера в центральном поле:

(5.1)

В сферической системе координат оператор Лапласа имеет вид

, (5.2)

где угловая часть оператора Лапласа, называемая иногда оператором Лежандра, равна

. (5.3)

Сравнивая (5.3) с (4.14), замечаем, что .

Оператор Лежандра не зависит от радиусаr и конкретного вида потенциала U(r), что позволяет разделить уравнение Шредингера на две части, одна из которых зависит только от радиуса, а другая от угловых переменных. Для этого подставим в уравнение Шредингера (5.1) волновую функцию вида

. (5.4)

Перепишем (5.1) в более удобном виде

, (5.5)

где параметр

(5.6)

зависит только от радиуса r. Умножив уравнение (5.5) на и, сокращая соответствующие части волновой функции, получим

(5.7)

Левая и правая части этого уравнения зависят от разных переменных. Их равенство возможно только тогда, когда они равны константе, которую называют постоянной разделения . Учитывая, что , получаем, заменяя большие буквы маленькими, что.

§5.2. Уравнение для радиальной части волновой функции

Введя постоянную , запишем уравнение для радиальной части

(5.8)

Это уравнение зависит от потенциала U(r). Поэтому, чтобы решать данное уравнение необходимо знать конкретный вид центрального потенциала. Для атома водорода Естественная система единиц включает в себя фундаментальные постоянные .

Введем атомную систему единиц, где:

• единицей длины является (боровский радиус),

• единицей энергии - ,

• скорости где- постоянная тонкой структуры.

Чтобы перейти к этой системе единиц надо во всех формулах положить

.

Тогда

(5.9)

Это уравнение можно также записывать в виде

Величина, заключенная в скобки, называется эффективным потенциалом Благодаря второму слагаемому возникает центробежный барьер, не позволяющий электрону “упасть” на ядро.После замены , получаем для радиальной функции уравнение, не содержащее первой производной:

(5.10)

Будем решать уравнение Шредингера для случая, когда энергия собственных состояний отрицательна (E<0) и введем параметр

Тогда

(5.11)

Найдем асимптотику функции при. Для этого в (5.11) следует пренебречь вторым и третьим членами уравнения, в результате чего получаем уравнение,решением которого будет функция

В пределе надо рассмотретьЭтому уравнению удовлетворяет функция. Из условияследует, чтоили. При отрицательном значенииk в нуле стремится к бесконечности, поэтому, аДля функцииимеем

(5.12)

Решение ищем в виде ряда

(5.13)

После подстановки этого ряда в (5.12) получаем рекуррентное соотношение

2(5.14)

Таким образом, и, если ряд не оборвать, он сходится к функции. В этом случае функциятакже стремится к бесконечности, хотя из физических соображений она должна стремиться к нулю. Чтобы обеспечить правильное поведение волновой функции в этом пределе ряд (5.14) надо оборвать на некоторомs = n_r. Тогда

(5.15)

Полином при подходящем выбореназывается полиномом Лагерра - ). Собственные значения энергии в атоме водорода определяются соотношением

(5.16)

В последней формуле мы ввели новое целое квантовое число которое может принимать целые положительные значенияЭто число, от которого зависят уровни энергии, получило названиеглавного квантового числа. Окончательное решение радиального уравнения Шредингера для атома водорода имеет вид:

, (5.17)

где .

Рассмотрим состояния с , для которыха– константа, которую можно легко найти из условия нормировки,

используя известный интеграл . Таким образом, получим

В этих состояниях В основном состоянии (n=1) Зная, из (5.14) можно найти все остальныеи. Для значенийn = 1, 2 и 3 радиальные функции атома водорода имеют вид:

Энергии стационарных состояний водородоподобного атома определяются только главным квантовым числом n (для водорода Z=1)

.

В естественных единицах

В общем случае решение радиального уравнения Шредингера для атомов выполняется численно, что связано с необходимостью учета внутриатомных эффектов взаимодействия между электронами.