3. Смеси идеальных газов

Физической моделью идеального газа, приводящей к уравнению Клапейрона, является система материальных точек, взаимодействующих только путем упругих соударений; другие механизмы взаимодействия отсутствуют. В отсутствие химического взаимодействия смесь одноатомных или многоатомных идеальных газов также является идеальным газом, для которого справедливо уравнение Клапейрона.

Уравнение состояния отдельной компоненты газа в смеси

Ввиду отсутствия сил взаимодействия каждый газ «не чувствует» присутствия других компонент смеси и занимает весь объем сосуда (V_см). В силу термодинамической равновесности температура (T) компонент и смеси одна и та же. Следовательно, давление (P_j), оказываемое на стенки сосуда только j-й компонентой k-компонентной смеси, определяется из уравнения

(3.1)

Здесь n_j – количество киломолей j-й компоненты в смеси. Эти давления называют парциальными.

Уравнение состояния смеси

В соответствии с законом Дальтона (закон парциальных давлений) полное давление рассматриваемой смеси газов равно сумме парциальных давлений:

.

Суммируя отдельно левые и правые части уравнений (3.1) по j, получим

Здесь – масса смеси; M_j/M_см=g_j – массовая доля j-й компоненты в смеси. Это и есть уравнение состояния смеси идеальных газов (Менделеева-Клапейрона). С учетом закона Дальтона оно имеет вид

– эффективная или кажущаяся молярная масса газовой смеси.

Вне смеси любой газ при заданном давлении и температуре смеси (P_см, T) занимал бы объем V_j, определяемый из уравнения

(3.2)

Эти условные для смеси объемы называют парциальными объемами. Из уравнений (3.1), (3.2) ввиду равенства их правых частей следует, что

или .

Суммируя это уравнение по j, с учетом закона Дальтона получаем

.

Эффективную молярную массу смеси можно рассчитать, если известны объемные доли компонентов смеси r_i=V_j/V_см. Перепишем уравнение (3.2) в виде

Суммируя по j левые и правые части этого уравнения, с учетом вида уравнения состояния газовой смеси находим

.

Замечание 1. Выше было получено, что . Из уравнения (3.1) и уравнения состояния смеси следует, что , т.е. объемные и молярные (n_j / n) доли совпадают:

.

Замечание 2. Реальными величинами газовой смеси являются количества молекул каждой компоненты смеси (N_j). Общее количество молекул смеси . Поскольку каждый киломоль любого вещества по определению содержит одно и то же число молекул (N_A), то общее число киломолей в смеси равно сумме киломолей компонент смеси (n_j):

.

По определению μ_см:

a)

б)

Теплоемкость смеси идеальных газов

Удельная теплоемкость вещества определяется как теплоемкость

а) единицы его массы (кг) – массовая удельная теплоемкость, с_m [Дж/(кг·K)];

б) единицы его количества (кмоль) – молярная (мольная) удельная теплоемкость, с_μ [Дж/(кмоль·K)];

в) единицы его объема (м³) – объемная удельная теплоемкость, с* [Дж/(м³·K)].

Для смеси идеальных газов или любой другой ее компоненты, имеющей массу M (кг), содержащей n киломолей и занимающей объем V (м³), изменение количества тепла Q и соответствующее изменение температуры T связаны уравнениями (с_m, с_μ , с* – средние значения)

Q= с_m·M·T= с_μ ·n·T= с*·V_н·T.

Здесь V_н – объем, который занимает газ массой M при нормальных физических условиях: P₀=101325 Па, T₀=273,15 К. Отсюда получаем соотношения:

Для смеси , следовательно,

,

,

Если смесь задана объемными долями, то

и

Здесь V_j – парциальные объемы.

Задачи

3.1. Смесь 10 кг кислорода и 15 кг азота имеет давление 0,3 МПа и температуру 27ºC. Определить мольные доли z_i каждого газа в смеси, кажущуюся молярную массу смеси, газовую постоянную, общий объем смеси, парциальные давления и объемы газов.

3.2. Определить газовую постоянную смеси газов, состоящей из 1 м³ генераторного газа и 1,5 м³ воздуха, взятых при нормальных физических условиях, и найти парциальные давления составляющих смеси. Плотность генераторного газа принять равной 1,2 кг/м³.

3.3. Газ коксовых печей имеет следующий объемный состав: H₂=57%, CH₄=23%, СО=6%, CO₂=2%, N₂=12%. Определить кажущуюся молярную массу смеси, массовые доли составляющий смеси, газовую постоянную, плотность смеси, парциальные давления газов при 15ºC и 1 бар.

3.4. Воздух объемом 0,3 м³ смешивается с 0,5 кг углекислого газа. Оба газа до смешения имели параметры P=0,6 МПа, t=45ºC. Определить парциальное давление углекислого газа после смешения.

3.5. Определить удельный объем пара натрия при P=1 МПа, t=927ºC, если известно, что при этих параметрах пар натрия является смесью одноатомных и двухатомных молекул мольного состава: r(Na)= 0,8628, r(Na₂)=0,1372. Найти парциальные давления одно- и двухатомных паров натрия. Вычислить, как велика была бы ошибка в значении удельного объема, если бы пар натрия считался одноатомным. Молярная масса μ=23 кг/кмоль.

3.6. В энергетических установках, работающие по парогазовому циклу, в качестве рабочего тела используется смесь водяного пара и горячих продуктов сгорания топлива. Массовая доля продуктов сгорания g=0,7. Принять, что продукты сгорания обладают свойствами воздуха. Определить теплоемкость смеси c_p при температуре 500 и 800ºC, а также удельный объем смеси при P=0,1 МПа и t=500ºC.

3.7. В сосуде находится смесь газов, образовавшаяся в результате смешения 10 кг азота, 13 кг аргона и 27 кг двуокиси углерода. Определить мольный состав смеси, ее удельный объем при нормальных условиях, кажущуюся молярную массу смеси и газовую постоянную, отнесенную к 1 м³ при нормальных условиях.

3.8. Влажный воздух представляет собой смесь сухого воздуха и перегретого водяного пара. Известно, что на каждый килограмм сухого воздуха во влажном воздухе приходится d граммов водяного пара. Определить массовые и объемные доли сухого воздуха и водяного пара, плотность при нормальных условиях, газовую постоянную и кажущуюся молярную массу смеси, если d=10 г/кг сухого воздуха.

3.9. Смесь газов, образовавшаяся при сжигании 1 кг мазута в топке парового котла, имеет состав, определенный парциальными объемами составляющих V(CO₂)=1,85 м³, V(O₂)=0,77 м³, V(N₂)=12,78 м³. Определить массовые доли и парциальные давления составляющих, если общее давление P=0,1 МПа.

3.10. Сосуд разделен перегородкой на две части, объемы которых V₁=1,5 м³, V₂=1,0 м³. В части объемом V₁ содержится двуокись углерода при P₁=0,5 МПа и t₁=30ºC, а в части объемом V₂ – кислород при P₂=0,2 МПа и t₂=57ºC. Определить массовые и объемные доли двуокиси углерода и кислорода, кажущуюся молярную массу смеси и ее газовую постоянную после того, как перегородка будет убрана и процесс смешения закончится.

3.11. Горючий газ, полученный при подземной газификации угля, имеет следующий объемный состав: N₂=63,6%, H₂=14,5%, СО=10,0%, СO₂=9,5%, H₂S=0,6%, CH₄=1,8%. Рассчитать приведенный к нормальным условиям объем воздуха, теоретически необходимый для сгорания 1 м³ газа, взятого также при нормальных условиях.

3.12. 2 м³ воздуха при давлении 5 бар и температуре 50ºC смешивается с 10 м³ воздуха при давлении 2 бар и температуре 100 ºC. Определить давление и температуру смеси.

3.13. В двух разобщенных между собой сосудах A и B содержатся следующие газы: в сосуде А – 50 л азота при P₁ = 20 бар и t₁ = 200ºC; в сосуде В – 200 л углекислого газа при P₂ = 5 бар и t₂ = 600ºC. Определить давление и температуру, которые установятся после соединения сосудов. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

3.14. Три разобщенных между собой сосуда A, B, C заполнены различными газами. В сосуде А, имеющем объем 10 л, находится сернистый ангидрид SO₂ при давлении 60 бар и температуре 100ºC, в сосуде B объемом 5 л – азот при давлении 4 бар и температуре 200ºC и в сосуде C объемом 5 л – азот при давлении 20 бар и температуре 300ºC. Определить давление и температуру, которые установятся после соединения сосудов между собой. Считать, что теплообмен со средой отсутствует.

3.15. В сборном газоходе котельной смешиваются уходящие газы трех котлов, имеющих атмосферное давление. Для упрощения принимается, что эти газы имеют одинаковый состав, а именно: CO₂=11,8%, O₂=6,8%, N₂=75,6%, H₂O=5,8%. Часовые расходы газов составляют Q₁=7100 м³/ч, Q₂=2600 м³/ч, Q₃=11200 м³/ч, а температуры газов соответственно равны t₁=170ºC, t₂=220ºC, t₃=120ºC. Определить температуру газов после смешения и их объемный расход через дымовую трубу при этой температуре.

3.16. Определить средние объемную, мольную и массовую теплоемкости для смеси газов, состоящих из CO₂ – 9%, CO – 1%, N₂ – 81%, O₂ – 9%. Давление смеси равно 1,5 бар, а температура 560ºF.

3.17. Определить парциальное давление кислорода, находящегося в смеси следующего объемного состава: Ar – 25%, CO₂ – 39%, O₂ – 36%. Смесь находится под давлением 1,5 атм при температуре 275ºR. Определить также плотность смеси.

3.18. В первом сосуде объемом 5 м³ содержится смесь газов N₂ – 81%, O₂ – 19%, давление в сосуде равно 15 МПа. Во втором сосуде объемом 150 л содержится He при температуре 137ºC. Определить, какое давление и температура установятся в системе из двух сосудов, если их соединить между собой.