1. Логика высказываний

   1. Высказывания

В качестве основы для представления концептуальных знаний в простейшей математической логике используются высказывания.

Простое высказывание – это утвердительное предложение, которое может быть либо истинно true, либо ложно false, но не то и другое вместе.

Например,

P: “Температура высокая.”

Q: “Влажность большая.”

R: “Будет дождь.”

Идентификаторы ( P, Q, R ), которые используются для обозначения высказываний, называются атомарными формулами.

Из имеющихся простых высказываний можно строить составные высказывания, используя следующие логические связки:

Название	Обозначение	Другие обозначения
отрицание	*		~	not	не
конъюнкция		&*	,	and	и
дизъюнкция	*	|	;	or	или
импликация		*			если
эквивалентность		*		тогда и только тогда

^*– эти обозначения далее в тексте приняты для логических операций.

2. Формулы

Правильно построенные при помощи логических связок составные высказывания называются формулами.

Например, предложение “Будет дождь, если температура высокая и влажность большая” можно записать в виде следующей формулы ( P & R )  Q.

Помимо логических связок в формуле могут быть использованы символы круглых скобок ( ), при помощи которых определяется порядок правил построения формул. Для упрощения записи вводится старшинство связок (, &, , , ), и лишние скобки опускаются.

Формулы логики высказываний с использованием формализма Бэкуса-Наура (БНФ) имеют следующий синтаксис:

< формула > :: = И | Л |

< атомарная формула > |

(  < формула > ) |

( < формула > & < формула > ) |

( < формула >  < формула > ) |

( < формула >  < формула > ) |

( < формула >  < формула > )

Пусть P и Q некоторые атомарные формулы, для которых известны их логические значения, тогда функция истинности для логических связок может быть вычислена по таблице истинности:

P	Q	 P	P & Q	P  Q	P  Q	P  Q
false	false	true	false	false	true	true
false	true	true	false	true	true	false
true	false	false	false	true	false	false
true	true	false	true	true	true	true

Импликация – очень важная связка; она отражает структуру рассуждений. Первый её операнд называется посылкой, а второй – заключением. Ясно, что если посылка истинна, то импликация принимает значение истинности заключения. Однако может вызвать удивление, что импликация бывает истинна и тогда, когда её посылка ложна. Импликация является единственной связкой, удовлетворяющей следующим требованиям:

1. Если первый операнд истинный, то значение истинности совпадает со значением второго операнда.

2. Значение истинности зависит от двух операндов.

3. Связка некоммутативна.

Последнее требование легко иллюстрируется примером из естественного языка со связкой «потому что». Например, справедливо высказывание «Земля мокрая, потому что идёт дождь», но нельзя считать истинным высказывание «Идёт дождь, потому что земля мокрая».