§ 5. Аналогия

В случае вывода по аналогии обычно даны два объекта и множество свойств (в отличие от перечислительной индукции, где дано одно или два свойства и множество объектов). Можно сказать, что перечислительная индукция – это обобщение по объектам, когда фиксируются свойства и изменяется множество объектов, а аналогия – обобщение по свойствам, когда, наоборот, фиксируются объекты и меняется множество свойств.

Рассмотрим следующий пример аналогии. Человек утверждает, что на Марсе есть жизнь, поскольку на Марсе, как и на Земле, есть атмосфера, вода, близкие к земным значения температур и силы тяжести. Такой вывод можно было бы представить следующим образом. Обозначим суждения

«Земля обладает атмосферой» - как А(з)

«На Земле есть вода» - как В(з)

«На Земле перепад температур в пределах Т» - как Т(з)

«На Земле перепад силы тяжести в пределах F» - какF(з)

«На Земле есть жизнь» - как Ж(з)

«Марс обладает атмосферой» - как А(м)

«На Марсе есть вода» - как В(м)

«На Марсе перепад температур в пределах Т» - как Т(м)

«На Марсе перепад силы тяжести в пределах F» - какF(м)

«На Марсе есть жизнь» - как Ж(м)

Тогда вывод по аналогии может быть представлен в следующей форме:

А(з), В(з), Т(з), F(з), Ж(з)

А(м), В(м), Т(м), F(м)

Ж(м)

Вывод по аналогии в общем случае может быть представлен в такой символической форме: есть два объекта о₁и о₂, и множество свойств Р₁, Р₂, …, Р_n,P_n+1; в посылках устанавливается, что объект о₁обладает всеми этими свойствами, а объект о₂– первымиnсвойствами. Тогда делается вывод, что о₂обладает и (n+1)-м свойством. Таким образом, получим:

Р₁(о₁), Р₂(о₁), …, Р_n(о₁), Р_n+1(о₁)

Р₁(о₂), Р₂(о₂), …, Р_n(о₂)

Р_n+1(о₂)

Как и неполная перечислительная индукция, аналогия является вероятностным выводом, т.е. мы только с какой-то вероятностью можем предполагать наличие у второго объекта свойства P_n+1. Так же как и в случае неполной перечислительной индукции, можно было бы говорить о популярной и научной аналогии, в зависимости от того, подкрепляется ли аналогия какими-то дополнительными обоснованиями, или нет. Обычно дополнительное обоснование вывода по аналогии предполагает обоснование некоторой связи между свойствами Р₁, Р₂, …, Р_nи свойствомP_n+1. Например, наличие жизни на планете с высокой вероятностью вытекает из определенных условий на этой планете (наличия атмосферы, воды и т.д.) в рамках абиогенной теории происхождения жизни, т.е. в предположении, что в результате различных метеорологических процессов в атмосфере могли синтезироваться органические соединения и возникнуть простейшие формы жизни.

§ 6. Парадокс лысого

Заканчивая этот раздел, посвященный индукции и ее видам, хотелось бы отметить, что проблема индукции как особой мыслительной операции до сих пор таит в себе множество неясностей и неоднозначностей. Некоторые философы, как например английский философ Карл Поппер, вообще отрицали индукцию как прием и метод научного познания. По-видимому, дело здесь в большом значении дополнительных методов обоснования, необходимых для полноценного использования индукции. Как мы видели, сама по себе индукция в чистом виде – в форме популярной индукции - вряд ли носит научный характер и всегда так или иначе должна подкрепляться еще чем-то. Необходимость в такого рода дополнительных подкреплениях индуктивного вывода и малая ясность общей логики их использования, по-видимому, и порождает повышенную проблемность индукции как логического вывода сравнительно с выводом дедуктивным.

Для иллюстрации проблемности даже, казалось бы, такого наиболее обоснованного ее вида, как математическая индукция, проинтерпретируем в ее терминах так называемый «парадокс лысого», известный еще со времен античной науки и философии.

Допустим, есть некий лысый человек, который применяет настолько замечательное лекарство против облысения, что оно каждый день прибавляет к его лысине по одному волосу. Перестанет ли в этом случае человек быть когда-нибудь лысым ? Кажется, что да. Если прибавлять каждый день по одному волосу, то рано или поздно лысина исчезнет и человек перестанет быть лысым. Но попробуем сформулировать это утверждение в форме математической индукции.

Пусть свойство Р – свойство «быть видимо лысым». Тогда Р(ч) есть утверждение «человек (ч) видимо лысый», т.е. лысый, если смотреть на его голову обычными глазами с некоторого расстояния. Пусть далее n– человек с числом волос на голове, равных числуn, которое добавилось к первоначальной лысине человека спустяnдней. Здесь мы можем доказать следующее:

1. Базис индукции: Р(1) – человек с одним волосом на голове видимо лыс. Это кажется очевидным.

2. Индуктивное предположение: пусть будет верно, что P(n), т.е., что человек сnчислом волос на голове видимо лыс. Тогда ясно, что добавление одного волоса не сделает в этом случае человека видимо не лысым, т.е. верным будет иP(n+1). Следовательно, еслиP(n), тоP(n+1) – мы доказываем индуктивное предположение.

Теперь, если мы принимаем аксиому математической индукции, мы обязаны сделать вывод: для любого nверноP(n), т.е. человек будет видимо лысым при любом числе волос у него на голове, что явно представляет из себя нелепицу!

Проблема здесь состоит в том, что состояние «быть видимо лысым» определяется особым состоянием количества – зрительно воспринимаемым числом волос, которое проявляет неоднозначные свойства, не вполне вписывающиеся в поведение обычных чисел.

В процессе прибавления волос и зрительного восприятия их массы есть некоторый момент, когда количество волос вот-вот готово появиться как некоторый зрительный образ, но еще таковым не является. Для простоты предположим, что таким свойством обладает некоторое конкретное число волос m. Тогда результат прибавления одного волоса к этому множеству начнет себя вести уже своеобразно. Число волос (m+1) будет готово впервые стать видимым, если его рассматривать с точки зрения одного волоса. В то же время это число волос зрительно не отличимо от числа волосm. Получается, что одно и то же число (m+1) может оцениваться как бы из двух точек отсчета – единицы и предшествующего числаm. Чтобы выразить различие этих состояний, обозначим черезnkчислоn, рассматриваемое с точки зрения числаk(это числоn, получаемое из числаkумножением на величину (n/k)). Тогда число (m+1) предстает в двух своих ипостасях – как (m+1)1 (с точки зрения единицы) и как (m+1)m(с точки зрения предшествующего числа). В первой ипостаси число волос (m+1) готово стать видимым. Если через В обозначить свойство видимости, то В((m+1)1). Во второй ипостаси число волос (m+1)mне отличается от числа волосm, которое невидимо, т.е. неВ(m). Это приводит к невидимости и (m+1)m, т.е. неВ((m+1)m). Итак, получаем, что число волос (m+1) в разных своих состояниях обладает противоположными свойствами – видимостью и невидимостью. Так можно пытаться использовать более сложные – относительные, или ипостасные, - сотояния количества (чисел). С этой точки зрения можно различать два вида математической индукции:

1. Безусловная математическая индукция. Формулируется для чисел, данных в состоянияхn1. В таких состояниях числа рассматриваются относительно единицы, т.е. как бы с абсолютной (безусловной) точки зрения. Аксиома математической индукции приобретет такой вид:

Свойство Р верно для 11

Если свойство Р верно для n1, то Р верно для (n+1)1

Свойство Р верно для любого n1

2. Условная математическая индукция. Этот вид индукции предполагает использование относительных (условных) состояний чиселnk, гдеk>1. Схема этой индукции может иметь, по-видимому, не единственный вид. Например, такой:

Свойство Р верно для 11

Если свойство Р верно для n1, то Р верно для (n+1)nили не верно для (n+1)1

Найдется такое m, что свойство Р верно для любогоn, гдеn≤m

В этом виде индукции мы уже не можем утверждать свойство Р для всех натуральных чисел, но только для некоторого начального отрезка множества натуральных чисел. Именно такого рода индукция необходима для разрешения парадокса лысого. Главное отличие ее будет состоять в более тонком и сложном представлении индуктивного предположения. Парадокс лысого может быть теперь представлен следующим образом:

1. Базис индукции: Р(11) – человек с одним волосом на голове видимо лыс.

2. Индуктивное предположение: пусть будет верно, что P(n1), т.е., что человек сnчислом волос на голове видимо лыс. Тогда может оказаться и так, чтоn– это то самое пороговое числоm, начиная с которого возникает видимость числа волос. В этом случае добавление одного волоса не сделает человека видимо не лысым с точки зрения предшествующего числа волос, т.е. верным будетP((n+1)n), и в то же время сделает впервые видимо не лысым с точки зрения одного волоса, т.е. неР((n+1)1). В целом для числа волосnвозникнет как бы «мерцание» то в состоянии видимости за счет оценкиnс точки зрения абсолютной системы отсчета («от единицы»), то в состоянии невидимости за счет сравнения с предшествующим числом.

Теперь, если мы принимаем аксиому относительной математической индукции, мы можем сделать лишь тот верный вывод, что человек будет видимо лысым при любом числе волос у него на голове в рамках некоторого начального их числа, не более того.

Видимая противоречивость парадокса лысого, как теперь можно предположить, была связана с неразличением относительных состояний чисел и невозможностью выразить более тонкий процесс зависимости свойства от условных числовых определений. В результате индуктивное предположение относительной индукции оказалось неверно представленным как предположение безусловной индукции, что и привело к противоречию. В общем случае количество подобно цвету, который на одном фоне может сделаться сильнее, на другом – слабее. В количестве есть не только абсолютные, но и относительные определения, вносящие свой вклад в суммарное выражение этого количества.

Уже на этом примере читатель мог убедиться, сколь не проста и далека от своего окончательного разрешения проблема индукции.