Поверхности вращения
Поверхность вращения – это поверхность, составленная из окружностей, центры которых лежат на одной прямой, а сами окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных этой прямой.
В
озьмём
эллипс, описываемый уравнением
,
и начнём вращать его вокруг большей
оси. Тогда точка
будет вращаться по окружности, описываемой
системой уравнений
.
Подставим эти значения в уравнение
эллипса:
- уравнение эллипсоида вращения . Начнём
теперь «прижимать» все точки эллипса
к плоскости xOz. В
результате точка
будет «вращаться» не по окружности, а
по эллипсу. В итоге мы получим уравнение
эллипсоида:
.
В
озьмём
теперь параболу, описываемую уравнением
,
и начнём её вращать вокруг оси Oz.
В результате точка
будет вращаться по окружности, описываемой
системой уравнений
.
Подставив эти выражения в уравнение
параболы, получим:
- уравнение параболоида вращения. Если
мы будем «сжимать» этот параболоид к
плоскости xOz, то точка
будет двигаться по эллипсу и уравнение
параболоида примет вид
.
И
сследуем,
наконец, гиперболу, описываемую уравнением
.
Если мы начнём вращать её вокруг оси z,
то точка
будет вращаться по окружности, описываемой
системой уравнений
.
Подставив эти значения в уравнение
гиперболы, получим:
- уравнение однополостного гиперболоида
вращения. «Сжимая» его к плоскости xOz,
получим уравнение однополостного
гиперболоида:
.
Если же мы начнём вращать гиперболу
вокруг оси Ox, то точка
будет вращаться по окружности, описываемой
системой уравнений
.
Подставив эти значения в уравнение
гиперболы, получим:
- уравнение двуполостного гиперболоида
вращения. «Сжимая» его к плоскости xOz,
получим уравнение двуполостного
гиперболоида:
Т
еперь
возьмём прямую, описываемую уравнением
и начнём вращать её вокруг оси Oz.
Тогда точка
опять будет вращаться по окружности,
описываемой системой уравнений
.
Подставив эти выражения в уравнение
прямой, получим:
или
- уравнение конуса.
П
оверхность,
описываемая уравнением
,
называется гиперболическим параболоидом.
Если расположить гиперболический
параболоид так, как показано на рисунке,
то сечение его плоскостью, параллельной
xOy будет представлять
собой гиперболу, причём если сечь
плоскостью, параллельной xOy,
сначала ниже самой плоскости xOy,
сечение будет представлять собой одну
гиперболу, то сечение плоскостью выше
xOy – ей сопряжённую.
Сечение плоскостью, параллельной zOy
и xOz представляет
собой параболу. Таким образом,
гиперболический параболоид – это
поверхность, которую образует одна
парабола, двигаясь по другой параболе,
расположенной относительно первой так,
как показано на рисунке.