Прямая на плоскости

Составим уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярно данному вектору .

З апишем условие принадлежности точки прямой l: . Это значит, что - векторное уравнение прямой, проходящей через точку . . Обозначив , получим: - общее уравнение прямой, если или .

Ненулевой вектор, перпендикулярной данной прямой называют нормальным вектором прямой.

Приняв и , можно получить уравнение . При этом , где  - угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, а b = величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

Составим теперь уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно .

З апишем условие принадлежности точки прямой l: . Это значит, что - векторное уравнение прямой. Раз , то - каноническое уравнение прямой.

Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и . В качестве точки возьмём одну из них, а в качестве возьмём . Тогда - уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Если мы преобразуем канонические уравнения прямой следующим образом: , то получим - параметрические уравнения прямой.

Угол между прямыми

Это угол, на который нужно повернуть одну прямую до совмещения её с другой прямой.

1. Пусть , . Тогда .

2. Пусть , . Тогда .

3. Пусть , . Тогда .

Полные и неполные уравнения прямой

Общее уравнение прямой называют полным, если , и .

Полное уравнение прямой можно привести к уравнению прямой в отрезках: обозначим , . Тогда . Здесь a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно.

Неполные уравнения прямой:

1. – параллельна оси x.

2. – параллельна оси y.

3. – проходит через начало координат.

4. ­– ось x.

5. – ось y.

Нормальное уравнения прямой это уравнение прямой , , где  - угол между нормалью к прямой и осью Ox, причём нормаль направлена из начала координат в сторону прямой и p – расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой получается из полного следующим образом:

Вывод нормального уравнения прямой:

Введём сразу две системы координат – полярную и цилиндрическую так, чтобы их начала совпадали, и ось полярной системы совпадала с осью Ox цилиндрической. Тогда выражение справедливо для . Преобразуем это выражение: (Т.к. и ), или .

Нормальное уравнение прямой применяется для вычисления расстояния от данной точки плоскости до прямой. Рассмотрим случай, когда точка и точка O лежат по одну сторону от прямой. Расстояние от то l равно . Рассмотрим нормальное уравнение прямой, параллельной l ( ): , где . Т.к. точка , то – верное равенство, значит, . . Если точка и точка O лежат по одну сторону от прямой l, то расстояние от до l равно . Следовательно, расстояние от до l равно .

Приведём общее уравнение прямой к нормальному виду ( к ). Очевидно, что коэффициенты пропорциональны, т.е. . Тогда и знак  противоположен знаку C.

Отклонением точки от прямой называется расстояние от этой точки до прямой, взятое со знаком «+», если эта точка и начало координат располагаются по одну сторону от прямой и «–» - если по разные стороны, т.е. отклонение равно .

С помощью нормальных уравнений прямой можно составлять уравнения биссектрис, образованных двумя прямыми:

Пусть - первая прямая, - вторая прямая. Для того чтобы получить одну из биссектрис, необходимо приравнять левые части уравнений: . Для второй: .