Плоскость в пространстве

Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору . Пусть - произвольная точка плоскости. То, что M принадлежит плоскости, означает, что . Раскрыв скобки и обозначив , получим - общее уравнение плоскости, если , или . Ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости называется нормальным вектором этой плоскости.

Составим теперь уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам и . Возьмём , принадлежащую нашей плоскости. Это значит, что , и компланарны, т.е. - уравнение плоскости, проходящей через данную точки параллельно двум данным векторам.

Для того чтобы провести плоскость через три данные точки , , достаточно взять и . Тогда и есть искомое уравнение плоскости.

Частные случая общего уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости называется полным, если , , и . Тогда можно получить уравнение плоскости в отрезках: , где , и . Здесь a, b и c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно.

Рассмотрим неполные уравнения плоскости:

1. - плоскость параллельна оси Ox.

2. - плоскость параллельна оси Oy.

3. ­ - плоскость параллельна оси Oz.

4. - плоскость проходит через начало координат.

5. - ось Ox принадлежит плоскости.

6. - ось Oy принадлежит плоскости.

7. - ось Oz принадлежит плоскости.

8. - плоскость xOy.

9. - плоскость yOz.

10. - плоскость xOz.

Нормальное уравнение плоскости

Уравнение вида называют нормальным уравнением плоскости, если , а , и ­ - направляющие косинусы нормального вектора, направленного из начала координат в сторону плоскости.

Чтобы вычислить расстояние l от точки до плоскости, нужно привести уравнение плоскости к нормальному виду и тогда .

Прямая в пространстве

Составим уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Пусть принадлежит этой прямой. Это значит, что , т.е. - канонические уравнения прямой.

Чтобы составит уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , достаточно взять . Тогда - канонические уравнения этой прямой.

Если взять , то система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой.

Прямую можно также задать как множество точек, общих для двух плоскостей системой уравнений вида , где оба уравнения представляют собой уравнения пересекающихся плоскостей. Чтобы перейти от этого вида к каноническому, достаточно найти одну точку, удовлетворяющую этому неравенству и взять её как точку и положить .

Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

П усть и - уравнения прямых и . Тогда и - направляющие векторы этих прямых. Поместим на прямую , а начало совместим с началом . На трёх векторах , и построим параллелепипед. Расстояние между прямыми будет равно высоте полученного параллелепипеда: .

Пусть даны канонические уравнения двух прямых и . Если , то , иначе и либо пересекаются, либо скрещиваются. В этом случае достаточно вычислить смешанное произведение направляющих векторов этих прямых и вектора, соединяющего эти прямые. Если оно не равно нулю, то прямые скрещивающиеся, иначе – пересекающиеся.