Аналитическая геометрия
I семестр
Системы координат
Координатной осью называется прямая, на которой:
Указано положительной направление.
Отмечено начало отсчёта.
З
адана
масштабная единица.
Направленным отрезком на
прямой называют отрезок, для которого
указано, какая из его граничных точек
является началом и какая – концом.
Обозначение:
.
Величиной направленного
отрезка будем называть его длину, взятую
со знаком «+», если отрезок сонаправлен
с координатной прямой и «–» - если нет.
Обозначение:
- величина,
- длина.
Координатой точки A
на координатной прямой называется
величина отрезка
.
Основное тождество: При
любом расположении точек A,
B
и C
справедливо тождество
.
П
усть,
например, точки расположены так, как
показано на рисунке. Тогда
,
,
.
Пусть даны
и
.
Тогда
.
В силу основного тождества
.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
П
рямоугольной
ДСК на плоскости называют две взаимно
перпендикулярные координатные оси с
общим началом и одинаковой масштабной
единицей. Ox
– ось абсцисс, Oy
– ось ординат.
Координатой точки на
плоскости называют пару чисел x
и
y,
где
.
Записываются так:
.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Пусть даны две точки
и
.
Найти расстояние между ними.
Согласно теореме Пифагора,
.
Деление отрезка в данном отношении.
Говорят, что точка C делит отрезок AB внутренним образом, если C лежит внутри AB и внешним, если C лежит вне AB.
Говорят, что точка C
делит отрезок AB
в отношении ,
если
.
При этом, если
,
то
,
иначе
.
Замечание:
и
.
Пусть даны две точки:
и
и пусть C делит AB
в отношении .
Найдём точку C. Пусть
.
Тогда по теореме Фаллеса
,
и
.
Полярная система координат
П
олярной
системой координат называют точку O
(полюс) и луч Ox
(полярная ось), выходящий из этой точки
с масштабной единицей.
П
олярными
координатами точки M
называют пару чисел
и ,
где
- расстояние от M
до полюса,
- угол между
радиус-векторами OM
и Ox,
отсчитываемый от полярной оси против
часовой стрелки (
,
).
Связь между декартовыми и полярными
координатами:
,
.
Векторная алгебра
Основные понятия:
Вектором называют отрезок прямой, если указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.
,
если начало совпадает с концом.
Коллинеарными называют
векторы, лежащие на параллельных прямых.
Компланарными – лежащие на одной или
параллельных плоскостях. Равными
называют векторы сонаправленные и
имеющие одинаковую длину. Противоположные
– противоположно направленные и имеющие
одинаковую длину. Ортом
называют единичный вектор, сонаправленный
с
.
Линейные операции над векторами:
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.
Умножение вектора на число.
Произведением вектора
на число
называют вектор
такой,
что 
и
,
если
и
,
если
.
Если
,
то
.
У
произвольное направление.
Линейной комбинацией
векторов
называют сумму произведений этих
векторов на произвольные числа:
.
Если
является линейной комбинацией векторов
,
т.е.
,
то говорят, что
разложен по векторам
,
а
- разложение.
Базис. Координаты вектора в базисе
Необходимое и достаточное условие
коллинеарности двух векторов: Для
того чтобы
и
были коллинеарны, необходимо и достаточно,
чтобы
.
Пусть . Тогда, по определению произведения вектора на число,
.Пусть . Тогда можно взять
и
,
если
и
,
если 
.
Очевидно, что
существует.
Л
юбой
вектор на плоскости может быть единственным
образом по двум неколлинеарным векторам.
Из рисунка видно, что такое разложение
существует. Докажем единственность.
Действительно,
,
,
следовательно
Пусть также
,
где
.
Вычтем из первого уравнения второе.
Получим:
.
Т.к.
,
то
,
т.е.
,
что противоречит условию.
Любой вектор в пространстве может быть единственным образом разложен по трём некомпланарным векторам. Доказывается аналогично.
Совокупность векторов, обладающих двумя свойствами: любой вектор может быть выражен через эти вектора и это выражение будет единственным, называется базисом. Таким образом, базис образуют любые два неколлинеарных вектора на плоскости и любые три некомпланарных в пространстве.
Пусть
- базис в пространстве и вектор
.
Тогда числа ,
и
называют координатами вектора
в базисе
.
Базис образует аффинную систему координат.
Углом между векторами
называют наименьший из углов, на который
надо повернуть один вектор до совмещения
с другим по приведения из к общему
началу. Обозначение:
.
Орт оси – единичный вектор, сонаправленный с осью.
Углом между вектором и осью называют угол между вектором и ортом оси.
-
геометрическая проекция
на ось l.
-
скалярная проекция
на ось l.
Свойства проекции вектора на ось:
.
.
.
Координаты вектора в прямоугольной декартовой системе координат
ДСК – частный случай аффинной системы координат.
Разложим
по базису 
,
который образует декартову систему
координат и центр которого совпадает
с началом вектора
:
.
Здесь x, y
и z – координаты
вектора в базисе. Тогда
,
,
.
Направляющие косинусы вектора в прямоугольной декартовой системе координат
Пусть ,
и
- углы, которые образует
с осями ДСК (Ox,
Oy
и Oz).
Тогда
,
и
называют
направляющими косинусами
.
Пусть x, y
и z – координаты
вектора
в ДСК. Тогда
,
,
,
,
,
,
.
Линейные операции над векторами в аффинных координатах
Пусть
,
.
Свойства линейных операций:
.
.
.для
.
.
.
.
.
Пусть в пространстве выбран базис
и пусть
и
.
Тогда
,
,
,
.
Таким образом,
,
.
Скалярное произведение
Скалярным произведением
на
называется число
.
Второе определение:
.
Оба определения равносильны, т.к.
,
.
Алгебраические свойства скалярного произведения:
.
.
.
,
если
,
иначе
.
Необходимое и достаточное условие
ортогональности двух векторов: Для
того чтобы
и
были ортогональны, необходимо и
достаточно, чтобы 
.
Если или , то теорема справедлива, т.к. нулевой вектор имеет произвольное направление и
.Пусть . Тогда
и, т.к.
и
,
то
,
т.е.
.Пусть . Тогда
.
Пусть задана прямоугольная декартова
система координат
и пусть
и
.
Тогда
,
т.к.
,
и
.
Векторное произведение векторов
Три вектора называют упорядоченной тройкой векторов, если указано, какой из них первый, какой второй и какой третий.
Некомпланарная тройка
векторов
,
и
называется правой (левой) если после
приведения их к общему началу
расположен по ту сторону от плоскости
векторов
и
,
откуда наикратчайший поворот от
к
кажется осуществляемым против (по)
часовой стрелки.
Векторным произведение
и
называют вектор
такой, что
,
,
и векторы
,
и
образуют правую тройку. Обозначение:
.
Алгебраические свойства:
.
.
.
.
Необходимое и достаточное
условие коллинеарности двух векторов:
Для того чтобы
,
необходимо и достаточно, чтобы
.
Пусть , и . Тогда
,
т.е.
.Пусть . Тогда
.
Модуль векторного произведение равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
.
Выражение векторного произведения в ДСК
Если в ДСК
и
то
.
.
Смешанное произведение трёх векторов
Смешанным произведением
векторов
,
и
называют число
.
Модуль смешанного произведения векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах после приведения их к общему началу.
,
где
- орт
.
Пусть в ДСК
,
,
.
Тогда
.
Критерий компланарности трёх векторов:
Для того чтобы векторы
,
и
были компланарны, необходимо и достаточно,
чтобы
.
В самом деле, это означает, что объём параллелепипеда, построенного на этих векторах после приведения их к общему началу, будет равен нулю, а это возможно только когда все три вектора лежат в одной или параллельных плоскостях, т.е. компланарны.
Двойным векторным произведением
векторов
,
и
называют вектор
.
.