Чепуренко В.А. Учебное пособие по курсу Теория вероятности
.pdf
|AB| = 5
A + B
A |
B |
|A + B| = 22 |
|||
A \ B |
|||||
|
|
A |
|||
|
B |
|
|
|
|
|A \ B| = 10 |
|
|
|
||
|
|B \ A| = 7 |
¯ |
|
|
|
|
|
A B |
|||
|
|
¯ ¯ |
|
|
|
|
C D = CD + CD |
||||
|
¯ |
¯ ¯ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
A B = AB + AB = AB + A + B. |
||||
|A B¯| = |AB| + A + B = 5 + 36 − 22 = 19.
P(AB) = |
5 |
, P(A + B) = |
11 |
, P(A |
\ B) = |
5 |
, |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
36 |
18 |
18 |
||||||||||
P(B \ A) = |
7 |
, P |
A B¯ = |
19 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
36 |
36 |
|
|
|||||||||
AB AB
|
|
|
|
|
|
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|
70% |
||
|
|
|
|
|
75% |
|
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|
80% |
|
85% |
|
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|
N |
|
|
|
| | > 75N |
| | > |
||||||
|
| | > 70N |
|||||||||||
> 80N |
| | > 85N |
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6 30N |
|
|
|
6 25N |
|
|
6 |
|
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||||||
6 20N |
|
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|
6 15N |
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||||||||||||
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· |
· · |
|
|
= + + + 6 |
||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
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|
6 (30 + 25 + 20 + 15) N = 90N |
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|||||||||||||
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
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||||||||||||
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> 10N |
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|||||||||
| · · |
· |
| |
|
% |
|
|
|
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|
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||||||||||
|
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|
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k |
|
|
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|
|
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↑ |
↑ |
|
|
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|
|
|
|
↓ |
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|
|||
(N1, N2, . . . , Nk) Ni |
i |
k
,, ...,
|{z} |{z} |
|{z} |
|
|||||||
1 2 |
|
k |
|
||||||
|
|
|
|
|
k − 1 |
k |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
k − 2 |
k |
||||
|
|
|Ω| = k × (k − 1) × . . . × 1 = k! = Akk |
|||||||
k |
k |
|
|||||||
P(A) = |
||AΩ|| |
= |
1 |
P(B) = |
||BΩ|| |
= |
2 |
|
|
k! |
k! |
|
|||||||
|
|
|
|
C = { |
|
||||
|
|
|
|
} |
C = C1+ |
||||
+C2 |
|
C1 = |
k − 1, |
|
k |
|
, |
, ... |
C2 |
= k |
, k − 1, |
, ... |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
{z } |
|{z} |
2|{z} |
|
|
|
|
|
|{z} | {z } |{z}! |
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
C1 |
| |
= C2 |
| |
= Ak−2 |
= (k |
− |
2)! |
|
|
|
|
|
P (C) = |
2×(k−2)! |
= |
|||||||||||||||||||
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
k |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k(k−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m + 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(k1, k2, . . . , kn) |
|
ki {0, 1, 2} |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|Ω| = 3 × 3 × . . . × 3 = 3n |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
| |
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
0 , . . . , 0 , . . . , 0 , . . . , |
|
0 , . . . , 0 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|{z} |
|
|
|
|
|
|{z} |
|{z} |
|
|
|
|{z} |
|
|
|
|{z} |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n m |
2 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
A = Cn−2 ×2 − − |
|
|
|
Cn−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−2 |
||||||||||||||||||
m |
m − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2n−m−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
P(A) = Cn−2 |
|
3n |
|
= Cn−2 |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
2n−m−2 |
|
|
m |
|
|
1 |
|
|
m |
|
|
2 |
|
n−2−m |
|
|
|||||||||
([ ] − |
) |
|
B = B0 + B1 + . . . + Bk |
Bi |
= |
||
|Bi| = Cn × Cn−i |
= |
(i!)2(n−2i)! |
|
|
|||
= { |
|
i |
i |
} |
n! |
k = |
n2 |
|
|
|
i i |
|
|
|
|
n − i
k
= P n! 3−n
i=0 (i!)2(n−2i)!
E
i |
n |
i |
P(B) =
k= n2
|
|
|
|
| |
Ω |
= C4 |
= |
|
5 · 6 · 7 · 8 |
= 70. |
||||||||||||
| |
|
|
8 |
|
1 |
· |
2 |
· |
3 |
· |
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A1 = { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
A |
= C3 |
= |
5 · 6 · 7 |
= 35. |
|||||||||||||
|
| |
1| |
|
|
7 |
|
|
1 |
· |
|
2 |
· |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P (A1) = |
35 |
|
= 0.5. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
70 |
|
|||||||||||||||
A2 = { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
A |
|
= C2 = |
|
5 · 6 |
|
= 15. |
|||||||||||
|
| |
2| |
|
6 |
|
|
|
|
1 |
· |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P (A2) = |
15 |
= |
3 |
. |
|
|
|||
70 |
14 |
E
|
8! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|Ω| |
= A85 = |
|
|
= 4 · 5 · 6 · 7 |
· 8 = 6720. |
||||||||
3! |
|||||||||||||
|
A1 = { |
|
|
|
} |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
P (A1) = |
|
|
|
= 0.00015. |
|
|||||||
|
6720 |
||||||||||||
A2 = { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|A2| = A74 = |
7! |
= 4 |
· 5 · 6 |
· 7 = 840. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
3! |
|||||||||||||
|
P (A2) = |
|
4 · 5 · 6 · 7 |
|
= |
1 |
. |
||||||
|
|
|
8 |
||||||||||
|
|
|
|
4 · 5 · 6 · 7 · 8 |
|
||||||||
A3 = { |
} |
|A3| = 5 · A47 = 5 · 7!3! = 5 · 4 · 5 · 6 · 7 = 4200.
P (A3) = |
5 · 4 · 5 · 6 · 7 |
= |
5 |
. |
|
4 · 5 · 6 · 7 · 8 |
8 |
||||
|
|
|
|||
A4 = { |
|
|
} |
||
|A4| = 4 · A63 = 4 |
· |
6! |
= 4 · 4 |
· 5 · 6 = 480. |
||||
|
|
|||||||
3! |
||||||||
P (A4) = |
|
4 · 4 · 5 · 6 |
= |
1 |
. |
|||
|
|
14 |
||||||
4 |
· |
5 · 6 · 7 · 8 |
|
|
||||
|
|
Ω |
= C4 |
|
= C |
4 = |
8 · 9 · 10 · 11 |
= 330. |
||||||||||||||
|
|
| | |
|
(8) |
|
|
11 |
|
|
|
1 |
· |
2 |
· |
3 |
· |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 = { |
} |
||||||
|
|
|
|
|A1| = C(1)4 |
= C44 = 1. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
P (A1) = |
1 |
|
|
= 0.003. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
330 |
|
|
||||||||||||||||
C1 |
= 8 |
A2 = { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (A2) = |
8 |
= |
|
4 |
|
= 0.024. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
330 |
165 |
||||||||||||||||||
|
C4 |
A3 = { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
A |
= C4 = |
5 · 6 · 7 · 8 |
= 70. |
|||||||||||||||
|
|
|
3| |
|
|
8 |
|
|
1 |
· |
2 |
· |
3 |
· |
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
P (A3) = |
70 |
|
= |
|
7 |
|
= 0.212. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
330 |
|
33 |
|
||||||||||||||||
|
|
A4 = { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
4| |
= C2 |
= |
7 · 8 |
= 28. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
| |
|
|
8 |
|
|
|
1 |
· |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (A4) = |
28 |
|
= |
14 |
|
= 0.085. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
330 |
|
165 |
|
|||||||
A5 = { |
|
|
|
|
|
|
|
} |
||
A82 = 8 · 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (A5) = |
56 |
|
= |
28 |
|
= 0.17. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
330 |
165 |
|||||||||
A6 = { |
} |
|
|
|
|
C81 · C72 = 8 · |
16··27 |
= 168 |
||
C2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (A6) = |
168 |
|
= |
84 |
|
= 0.509. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
330 |
|
165 |
|
|
|
|||||
P (A3) |
A2, A3, A4, A5, A6 |
|
P (A2) + P (A3) + ... + P (A6) = 1. |
|
E |
|
|Ω| = A(8)5 = 85 = 32768. |
||||||||
A1 |
= { |
|
|
|
|
|
} |
||
|
|
1 |
|
= 0.00003. |
|||||
|
P (A1) = |
|
|
||||||
|
32768 |
||||||||
A2 |
= { |
|
|
|
|
|
} |
||
|
|A2| = A(8)4 = 84 = 4096. |
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
P (A2) = |
8 |
|
= |
. |
|||
|
|
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|
||
|
A3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
A3 = { |
|
|
|
|
|
|
||
A¯3 |
= A(7)5 = 75 |
|
|
|
|||||
|
= 16807. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (A3) = 1 − |
75 |
|
= 0.487. |
|||||
|
85 |
|
|||||||
A4 = {
}
|A4| = 4 · A3(6) = 4 · 63 = 864.
864
P (A4) = 32678 = 0.026.
k
N = 365 |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ k |
|
|
|
|
|
|
|
} |
¯ Ak |
= |
||
k > N + 1 |
|
|
|
|
|
Ak = |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N − 1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
k |
N − k + 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
A¯k |
= ANk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|Ω| = A(kN) = Nk. |
|
|
|
|
||||
P (A ) = 1 |
|
ANk |
|
= 1 |
− |
N(N − 1)...(N − k + 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
− A(kN) |
|
Nk |
|
|
|||||
P (Ak) |
k |