Добавил:

InExtremo2023 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Обнинский институт атомной энергетики НИЯУ МИФИ

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Чепуренко В.А. Учебное пособие по курсу Теория вероятности

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.01.2021

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

A = A

{An}	nlim An
	→∞

lim An = A = A .

n→∞

A1 A2 ... An ...

	∞
	\
lim An =	An.
n→∞	n=1

A1 A2 ... An ...

	∞
	[
lim An =	An.
n→∞	n=1

lim ↓ An lim ↑ An

AΩ

		A
A1	Ω A
A2	A A B A A + B A AB A;

A3	A A A A

				A			σ
				∞		∞
A′		A		S	A	T	A
A′	An		n = 1, 2, ...	An		An		.
2				n=1		n=1
				n=1		n=1
	A1 A2 A3
A1 A2′	A3			σ
			γ			A (γ)
			σ			A (γ)
γ			σ
γ

A + A = Ω

A (A) = , Ω, A, A .

		} B = {			A = {
}		} B = {
}			A + B AB
				A
B		}			Ci = {i
		}			B = C1C2C3
A = C1 + C2 + C3 = C1C2C3 = B					AB =
A + B = Ω
	A = {				}

B = {		}
AB A + B A B			A + B
Ω = {	}		A B
	A = {	} B = {	A B
	A = {	} B = {	}
AB = {	} = {		}
}	A + B = {		}
C = { }	A + B	} = {
C = { }	A B = {	} = {
}

AB = A

A A · AB = = A · A = AB = = A = = A = Ω = B =

AB =

	A = {	}	B = {	}
	A = {	}	C = {	}
				Ω
	A B			A + B =
= Ω AB =
A (A, B) = { , Ω, A, B}
			A	C
ω1 = A \ C = {		} ω2 = AC = { } ω3 = C \ A = { }
ω4 = Ω \ (A + C) = { }
		ω1, ω2, ω3, ω4

Ω ω1, ω2, ω3, ω4

ωi + ωj

(i 6= j)

ωi + ωj + ωk(i 6= j, i 6= k,

{

j = k)

(A, C) =

, Ω, ω1, ω2, ω3, ω4, ω

+ ω2, ω1 +ω3, ω1 +

{

}

+ω4, ω2 + ω3, ω2 +ω4, ω3 +ω4

, ω1

+ω2+ω3, ω1 +ω2+ω4, ω1 +

+ ω3 + ω4, ω2 + ω3 + ω4 =

= { , Ω, ω1, ω2, ω3, ω4, A, ω1 +ω3, ω1 +ω4, C, ω2 +ω4, ω3 +ω4,

ω1 + ω2 + ω3, ω1 + ω2 + ω4, ω1 + ω3 + ω4, ω2 + ω3 + ω4}.

∞

lim sup An =

Am =

∞

n=1 m=n

∞

= S

= lim inf

n=1 m=n

					ω lim sup An
				0
n0	:		m (ω			Am)
∞		m>n		∞
		∞				∞	∞
S				S
		Ak			Ak
k=m		S		k=1		T	S
ω
			Am			ω
		m=n				n=1 m=n

				ω lim inf An
ω lim inf An					n =
		0		k=m
				∞
	m		ω	S	Ak
m>n
n N			n

Am = lim sup An

	A, B, C
A	A B	C
	A, B, C
	A, B, C
A, B, C		A, B, C
	A, B, C	A, B, C

B, C		A

	¯ ¯	¯ ¯
	A + B = AB	AB = A + B

	¯ ¯	A B =

A + B = AB + A B A B = AB + AB

		n
¯	¯	S
		Ai =
= AB AB

i=1

r1 > r2 > ... > r10 rk} = {

n			n	n
T			T	S		B + C
	Ai		Ai =		Ai
i=1			i=1	i=1
				¯		¯
		A = (B + C) B + C

rk(k = 1, 2, ..., 10)

Ak = {

k }(k = 1, 2, ..., 10)

B1 =

i=1

= A10

= A5 A6

B4 = A1A2

B5 = A2iA2i−1

i=1

B = { }

A = { }

X + A + X + A = B; X−?

AX + Y = A + Y + X; X, Y −?

X + AY = A + X + Y + Y ; X, Y −?

−

XY Y Z XZ = (

¯ ¯

X + Y = Y X + AX ; X, Y −?

¯ ¯ ¯

X Y Z) XY Z + XY Z; X, Y, Z ?

XY¯

+ Y

A+B =

A+B = Ω

AB =	¯	AB = A
AB =	AB = Ω A+B = A A+B = A	AB = A
¯
AB = A

AA + B

A \ (AB) = A

A, AB, A + B

		X ·
		X ·	X + A · X	+ Y	=
			¯ ¯
			¯ ¯	AB
			A + AB	AB
	An
	∞	lim sup Bn = lim sup An lim sup Bn =
	S	lim sup Bn = lim sup An lim sup Bn =
Bn =	Ak
	k=n
= lim inf Bn	lim Bn = lim An =
	n→∞		n→∞

Ak = {N 6 k}

= 1, 2, ..., 100) B

= {N−

}

C = {N−

} Dr = {N r} = {N−

r} (r = 1, 2, ..., 100)

A5 · A7 · B;

A5 · B · C;

5 · B · C;

· D3;

(

A4 + A2) ·

· C;

A98

+ A2

A2 A98

· C;

+ A2)

A98

+ A2

A97 + A2

(A97

··D10;

\ A2

· C¯;

A89

\· A53 · B;

· A50 · C;

A50

A48

A5 + A7 · B;

A5 + A7 + B;

A20 · (D7 + D11) · C;

C · D7 · D5;

A25 · D3 · D7;

A15 · A7 · B;

(D25 D50) · A50;

A20 ·

D7 · B;

A95 + B + C;

A95 ·

A3 ·

· D11;

A4 + A2

A7 · B · D3;

· B · D47;

C · D25;

(A2 A5)

· C;

A95 + A97

B + C;

A97 + A2

D7 B;

(A97 \ A92) · B;

A89 · A95 · D10;

D7 · D5 \ C;	D25 · D3 + C;
D13 · C \ A55;		¯
	A95 A4 \ B;
	A6 · (D2 D3) \ C;
C · B · A3;
	A25 · D11 \ C;
A14 · C \ B;
(A25 A50) · D15;	A20 · D7 · B + C¯ .

A, B, C

A B

{1, 2, 3} ;	{2, 5} ;	{3, 4} ;
{4, 5, 6} ;	{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;	{8} ;
{1, 6, 7, 8} ;	{1, 3, 4, 6} ;	{1, 6, 7} ;
{1, 3, 7} ;	{2, 5, 7} ;	{3, 4, 7, 8} ;
{7} ;	{1, 8} ;	{6, 7} ;
{1, 2, 3, 8} ;	{2, 4, 6} ;	{5} ;
{1, 2, 4, 5, 6, 7} ;	{4} ;	{2, 3, 6, 7} ;

{4, 5, 6} ;	{2, 3, 4} ;	{1, 5} ;
{1} ;	{7, 8} ;	{1, 2, 4, 7} ;
{1, 4, 6, 7, 8} ;	{6} ;	{3, 8} ;
{2} ;	{3, 4, 7} ;	{3, 5} ;
{2, 4, 5} ;	{2, 3, 4, 5, 6, 7} ;	{4, 5, 6, 7, 8} ;
{5, 6, 8} ;	{1, 3, 4, 6, 7} ;	{2, 3, 6, 7} ;
{3} .

σA

P1 : P (A) > 0 A A
P2	: P (Ω) = 1		A, B A AB =
P3	: P (A + B) = P (A) + P (B)		A, B A AB =
P4	:	An A n = 1, 2, ... lim ↓ An =
		lim P (An) = 0
		n→∞
		P1, P2, P3, P4
		{Ω, A, P}	Ω	A

σP

A B P (B \ A) = P (B) − P (A)

A B P (A) 6 P (B)

A A P (A) [0; 1]

¯ −

P A = 1 P (A)

					P ( ) = 0
Ai A					AiAj		=	i 6= j
Ai A		i=1 Ai			i
	P	i=1 Ai			= i=1 P (Ai)
		n			n
		P			P			A1, ...An A
								A1, ...An A
					P i=1 Ai 6 i=1 P (Ai)
					n		n
					P		P
					P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)
								P1, P2,
P3, P4								P1, P2, P3
P	:				Ai	A		A1, A2...
3						A
		P	i=1 Ai = i=1 P (Ai) σ
			∞		∞
			P		P			Ai i = 1, ..., n
A								Ai i = 1, ..., n
A				Ai! = n
		P	n	Ai! = n		P	(Ai) −	P (AiAj ) +
			X		X			X
			i=1		i=1			16i<j6n
1		X
+			P (AiAj Ak) − ... + (−1)n+1 P (A1 · ... · An) .

6i<j<k6n

					A
			P3				P (A)
P (A) = P (A + ) = P (A) + P ( )							P (A)
						A = Ω
					P1	, P2, P3, P4	= P1, P2, P
				Ai		A		3
A1	, A2, ...			Ai		A
P i=1 Ai = i=1 P (Ai)
	∞		∞
	P 1	2	3P 4
	P , P , P , P
							∞
	∞			∞			∞
	∞			∞			P
							B1 =	Ai
	P			P			i=1
	P			P	P4
B2	=	Ai	Bn =	Ai
	i=2			i=n
	lim ↓	Bn	=	lim P (Bn)	=	0	P i=1 Ai	=
i=1 Ai = A1+A2 +...+An−1+Bn							P i=1 Ai	=
∞							∞	1.13
P							P
1.13							n	∞
=	P (A1) + P (A2) + ... + P (An−1) + P (Bn)						n	∞
	A1	A2					A
		P (A) > P (A1) + P (A2) − 1
		1.9		A1A2 A		1.15
	P (A1A2) 6 P (A)			P (A) > P (A1A2) = P (A1) +
				1.10
+ P (A2) − P (A1 + A2) > P (A1) + P (A2) − 1

2−n

A = {

}

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>