Глава 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

ментарные части

Vi. В каждой части

Vi

выбираем по одной точке

Pi i , i, i

выч

сляем в ней значение плотности i , i , i

. То-

гда масса

элементарного объема

Vi

приближенно будет

равна

прибл

получим

i , i , i

Vi. Для массы, заключенной во всем объеме V ,

Сжен е [6]

m i

, i, i

Vi .

(2.1)

бА

i

Как

в предыдущ х случаях, можно принять

m lim i , i, i

Vi ,

(2.2)

0 i

где наибольший из диаметров элементарных областей

Vi при

данном разбиении.

Выражение вида (2.2) возникает при решении других задач. В

Д

связи с этим даются следующие определения.

Пусть функция f x, y,z определена в некоторой пространст-

венной ограниченной замкнутой области V . Разделим область V на

n элементарных частей Vi. В каждой части

Vi выберем по одной

точке Pi i , i , i и составим выражение

Sn f ( i , i , i ) Vi .

(2.3)

Определение. Выражение (2.3) называется интегральной сум-

мой для функции f x, y,z в области V .

И

Определение. Если существует предел

S lim f i, i, i Vi,

(2.4)

0 i

который не зависит от способа деления области V на части

Vi

и вы-

С

, i , то этот предел называется тройным интегра-

бора точек Pi i, i

лом от функции по области V и обозначается

f x,y,z dV , или

f x, y,z dxdydz.

или

V

V

Здесь f x, y,z называется подынтегральной функцией; V об-

ластью

нтегр рован я;

x,y и z переменными интегрирования; dV

(

образом

dxdydz)

элементом о ъема.

Так м

, по определению,

f x,y,z dxdydz lim f i, i , i Vi .

(2.5)

V

0 i

Функция

f x, y,z называется интегрируемой в области V . Вся-

кая

непрерывная

в ограниченной

замкнутой области V

функция

f (x, y,z)

интегрируема в ней. В дальнейшем мы ограничимся рас-

Д

смотрением только непрерывных функций.

Многие отмеченныеАв § 1 гл.1 свойства двойных интегралов

справедливы и для тройных интегралов, поэтому приведем только те

их свойства, которые несколько отличаются от свойств двойных ин-

тегралов.

1. Таким образом, тройной интеграл (2.5) от произвольной

функции

f x, y,z

по области V можно интерпретировать как массу

материальной области V

с плотностью распределения массы,

задан-

ной функцией

f x, y,z .

В случае, когда подынтегральная функция

f x, y,z

задает плотность x, y,z тела, занимающего область V,

тройной интеграл выражает массу этого тела:И

m x, y,z dxdydz.

(2.6)

V

x,y

x, y,z

m m x, y dxdy

dz dxdy.

x,y

Сдругой стороны, ыло доказано

m lim

i , i

, i dVi

x, y,z dxdydz.

образом

0

i

V

иТак м , для вычисления тройного интеграла от функции

f x,y,z по области V получим следующую формулу:

А

x,y

(2.8)

f x, y,z dxdydz

f x, y,z dz dxdy.

V

x,y

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного координат-

2

Д2

z y2

ными плоскостями, плоскостью 2x 3y 6 0

и поверхностью

(рис. 58).

Решение. Данное тело ограничено

снизу плоскостью z 0, сверху – поверх-

z

2x 3y 6 0

ностью z y2, т.е.

имеем

x, y 0,

И

x, y y . По формуле (2.7) имеем

z y

z|y2 dxdy y2 dxdy.

у

0

y

xх

y 6 2x

Полученный двойной интеграл вы-

3

числяем по области , которая является

проекцией

данного тела

на плоскость

Рис. 58

2

2

1

1

2

2

V x

y

dxdy

x

y

dy

dx

1 x2

1

2

1

y3

1

1

2

1 x

2

1 x6

y|

2

|

3

x

3

x

dx

x

3

dx

1

x

1

3

1

2

4

1

x3

1

2

1

4

1 1

x

dx x

dx

dx

x

dx x

1

3 3

1

1

3

1

1

3

x

5

1

1

1

1

x

7

1

С1 6 x 1

x dx

|

|

x

|

|

3 1

3 1

5

1

3

1

3 7

1

3

5

1

1

1 1 7

1

1

1

1

1

1

4

и3 3 5 5 3

1

1

1

1

1

1

1

1

88 .

3

3

5

5

3

3

21

21

105

На основании рассмотренных выше примеров можно выделить

основные этапы при решении таких задач:

Д