Задачи для решения в аудитории

1.

Вычислить объем тела,

ограниченного цилиндром x y2 и

плоскостями x z 1,

z 0.

2.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

сферами

x2 y2

z2

1;x2

y2

z2

16

и конусом

z2 x2 y2 (тела, лежа-

щего внутри конуса).

3.

Найти коорд наты центра масс части однородного шара ра-

диусом R с центром в начале координат, расположенного выше плос-

Найти

кости 0ху.

С4. коорд наты центра масс однородного тела, ограничен-

ного плоскостями x y z а; x 0; y 0;z 0.

5. Выч сл ть момент

инерции

относительно

оси

однородного

бА

круглого прямого конуса весом Р, высотой Н и радиусом основания R.

Ответы.

8

28

2

3

1 1

1

1. V

. 2.

V

C 0,0,

R . 4. C

a,

a,

a .

15

3

2

8

4 4

4

5. Iz

3 P

R

2

.

10 g

Контрольная работа по разделу «Тройные интегралы»

Вариант 1

1. Расставить пределы интегрированияДв тройном интеграле

f х, y,z dxdydz,

если область V ограничена указанными поверхно-

V

стями:

x 2, y 4х, у 3

,z 0,z 4. Начертить область интегри-

х

рования.

2. Вычислить с помощью тройного интегралаИобъём тела, огра-

ниченного поверхностями z у2,х 0,z 0,x y 2.

3. Вычислить y2 х2 dxdydz,

где V ограничена поверхностя-

V

ми: x2 y2 16, 1

x2 y2

z 1

x2 y2

.

4.

Вычислить

массу

тела,

ограниченного

поверхностью

x2 y2

z2 4(x 0, y 0,z 0), если плотность задается функцией

х, у,z x2 y2 z2.

Вариант 2

1.

Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле

f х, y,z dxdydz, если область V ограничена указанными поверхно-

V

x 1, y 3х, у 0,z 0,z 2 х2 у2 .

стями:

Начертить область ин-

Ся.

2.

Выч сл ть с помощью тройного интеграла объём тела, огра-

ниченного поверхностями z 0; z x2;x 2y 2 0;x y 7.

тегрирован3. Выч сл ть

1

dxdydz, где V ограничена поверхно-

2

2

3

V

y

х

стями x2 y2 16; 1 x2

y2

z 1 x2

y2 .

4.

Вычислить

массу

тела,

ограниченного

поверхностями

4 x2 y2 z2 36;

x 0; y х; z 0,

если

плотность задается

функцией х, у,z y.

бА

V

стями: x2 y2

z; x 3; y х; у 0;z 0. Начертить область интег-

рирования.

Д

V

x2 y2

36; 3

x2

y2

z 1

x2 y2

.

4.

Вычислить

массу

тела,

ограниченного поверхностями

4 x2 y2 z2 36;

x 0; y

х; z 0, если плотность задается

3

функцией х, у,z

у2

.

x2 y2

z2

Вариант 6

1. Вычислить тройной интеграл (27 54y3)dxdydz, где

V

V : y x; y 0; x 1; z

; z 0.

xy

С

z

2. Найти объем тела, ограниченного

поверхностями

x

5

; x

5

y ; z 0; z

5

(3

) .

y

y

x

yповерхностями0; y 2; z 0 ( . 74), если плот-

2

6

6

3.

Выч сл ть

массу тела, ограни-

y

бА

ченного

z

2

x

; x 0;

2

ность

задается

функцией

Рис. 74

(x, y,z) y z.

Вариант 7

1.

Вычислить

тройной

Д

интеграл

z

y dxdydz, где

V

V : y 15x ; y 0; x 1, z xy ; z 0.

И

2. Найти объем тела, ограниченно-

y

го поверхностями:

x

x2 y2 2; x

; x 0 , z 0; z 30y.

y

3.

Вычислить массу тела, ограни-

Рис. 75

ченного

поверхностями

x 2;y 0;

y 2;z

0;

z x

(рис.

75),

если плотность задается функцией

Вариант 10

1.

Вычислить

тройной

интеграл:

(4 8z3) dxdydz,

V

где V : y x; y 0; x 1; z

; z 0.

xy

С

z

2. Найти объем тела, ограниченного по-

верхностями

y

5

; y

5

x ; z 0 ; z

5

(3

).

x

x

y

поверхностями(x, y,z) 2y z.

3

9

9

3. Выч сл ть массу тела, ограниченного

x 0;

x y2

1;

z 0

; z 2

бА

(рис. 73), если плотность задается функцией

x

Рис. 78

Вариант 11

1. Вычислить тройной интеграл

(4 8z3) dxdydz, где

Д

V

V : y x; y 0; x 1; z

xy

; z 0.

2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

y

5

; y

5

x ; z 0 ; z

5

(3 x).

x

z

3

9

9

3. Вычислить массу тела, ограни-

И

ченного

поверхностями

z 1 y;

z 2 2y;

y x2 (рис. 79),

если плот-

ность

задается

функцией

(x, y,z) 2z x.

y

x

Рис. 79

Вариант 12

1.

Вычислить

тройной

интеграл

z

21xz dxdydz,

V

где V : y x ; y 0; x 2; z xy ; z 0.

2. Найти объем тела, ограниченного

поверхностями

x y 4; y

; z 3y ; z 0.

y

2x

С

x

3. Выч сл ть массу тела, ограничен-

ного

x 1;

y 0;

y x;

Рис. 80

z 0;z 1 (

. 80),

если плотность зада-

ется функц ей (x, y,z) 2z y.

поверхностями

Вариант 13

1. Вычислить тройной интеграл

z

(x2

3y2) dxdydz, где

V

V : z 10x ; x y 1; x 0 ; y 0;

z 0.

бА

y

2. Найти объем тела, ограничен-

x