Окончание табл. 1.8

1

2

3

Нахождение

1.3

Вариант 3. Наилучший результат, т. е. минимальный

медианы

общий пробег, получим, если поставим бензоколонку

на 78-м километре, что будет соответствовать

медиане (по 100 поездок в каждом направлении).

Тогда пробеги составят 3820 км и 990 км. Общий

пробег равен 4810 км, т. е. он оказался меньше общих

пробегов, рассчитанных по предыдущим вариантам

ожидания и дисперсии случайной величины (табл. 1.9).

И

Таблица 1.9

Свойства числовых характеристик

Свойства

Определение

Задание

Свойства средней

1.Средняя арифметическая

ана выборка объемом n.

арифметической

постоянной

равна

самой

Если

каждый

элемент

постоянной.

выборки увеличить в 3 раза,

2.

kxB

k

x

B.

Дкак

изменятся

выборочное

3.

xB c

x

B c.

среднее

x

B и исправленная

выборочная дисперсия S2?

4. x

B

y

B

x

y

B АB

Решение.

По

свойствам

Свойства

1.Д сперс я

постоянной

С

исправленной

равна нулюб.

числовых

характеристик

выборочной

2.Skx2

k2Sx2.

имеем

дисперсии

и

2

3xB 3 xB

увеличится в 3

2 2

3. S

xB

x

B

раза;

S32x

32Sx2

9Sx2 увеличится

в 9 раз

Теоретические моменты случайных величин

Таблица 1.10

Виды

Определение

Начальный момент

k M(X k ) –

математическое ожидание k-й степени

порядка k

величины.

Тогда М(Х) 1

– начальный момент первого порядка

Центральный момент

k M(X M(X))k

–

математическое

ожидание

порядка k

величины (Х М(Х))k .

Тогда дисперсия

D(X) M(X M(X ))2

2

–

центральный момент второго порядка

Асимметрия

Коэффициентом

асимметрии («скошенности») А

случайной величины Х называется величина

3

И

А

.

3

3

Д

Если A 0, то кривая распределения более полога справа

от M0 . Если A 0, то кривая распределения более полога

слева от M0

А

A 0

A 0

f (x)

A

0

б

M0

Эксцесс

С

эксцесса («островершинности») Е

Коэфф ц ентом

случайной величины Х называется величина

и

E

4

3

M(X M(X))4

3,

(D(X))2

4

характеризующая

островершинность

или

плосковершинность распределения. Для нормального

закона A E 0, остальные распределения сравниваются

с нормальным

f (x)

E 0

E 0

E 0

M0

Эмпирические моменты распределения

Таблица 1.11

Виды

Код

Задание

Начальный

эмпирический

1.3

Начальный момент первого порядка,

момент k-го порядка

асимметрия и эксцесс для выборки, полигон

1

xkn

xk

.

относительных

частот

которой задан на

q

q

k

i

i

i

i

рисунке, равны...

ni 1

i 1

i

В частности, 1 xB

Центральный эмпирический

1.3

0,4

момент k-го порядка

0,3

1

q

kn

x

x

0,2

k

ni 1

i

B

i

0,1

q

k

x

x

B

.

x

0 1

2

4

5

i

i

i

Коэффициент асимметрии

1.3

Решение. 1 1 0,3 2 0,2 4 0,4 5 0,1 2,8.

A

3

.

2

2

2

(1 2,8)

0,3 (2 2,8)

0,2

s3

А

,

значит,

–

распределение

(4

2,8)

2

0,4

(5

2,8)

2

0,1

2,16

A 0

DB 2,16.

И

симметрично, т.е. варианты,

равноудаленные

от

x

B ,

S

2

4

Д

s 1,7.

имеют одинаковую частоту;

3

2,16

2,88

A 0

( A 0)

–

3

(1 2,8)3

0,3 (2 2,8)3

0,2

правосторонняя

(4 2,8)3 0,4 (5 2,8)3 0,1 0,096.

(левосторонняя) асимметр я

б

(1 2,8)4

0,3 (2 2,8)4

0,2

Коэффициент

эксцесса

1.3

4

4

характеризует

(4 2,8)4

0,4 (5 2,8)4

0,1 6,4.

E

3

0,096

s4

и

A

0,02 0,

следовательно,

«крутость»

вариационного

(1,7)3

ряда

по

сравнению

с

распределение

характеризуется

незна-

нормальным

С

чительной левосторонней асимметрией.

распределением.

E

6,4

3 2,2 0,

следовательно,

E

0

–

для

нормально

1,74

распределенной

случайной

распределение

имеет

более

пологую

величины;

вершину

по

сравнению

с

нормальной

E

0

(E 0)

– полигон

кривой

имеет

более

крутую

(пологую) вершину по

сравнению

с

нормальной

кривой

Варианты ответа: 1) 18; 2) 14; 3) 7; 4) 11.

И

Д

Задание 4. (Выберите несколько вариантов ответа)

Укажите статистические исследования, в которых объем выборки

одинаковый.

А

xi

1

2

3

ni

2

5

6

xi

4

6

8

10

12

14

ni

10

15

20

25

30

n6

xi

2

3

4

5

x

i

0,1

0,6

3

И

0,1

Варианты ответа:1) 0,1; 2) 0,2; 3) 1; 4) 0,3.

Д

Задание 8. (Выберите один вариант ответа)

2

А

7

10

i

3

ni

4

7

5

4

б

2 равна …

Тогда относительная частота варианты x1

распределению выборки.

а)

и

б)

xi

1

С

4

xi

1

2

3

4

2

3

в)

i

0,05

0,5

0,2

0,15

г)

i

0,15

0,5

0,3

0,15

x

1

2

3

4

xi

1

2

3

4

i

i

0,15

0,5

0,2

0,15

i

0,15

0,3

0,2

0,15

xi

2

3

4

5

i

0,1

0,2

0,5

0,2