Законы распределения случайных величин, связанные с нормальным распределением

Понятие

Определение

Распределение 2

Распределение суммы квадратов k независимых

(хи-квадрат)

с

k

случайных

величин

Zi ,

распределенных

по

степенями свободы

стандартному нормальному закону:

2 k

Zi2 , где

Zi N(0,1)

i 1

Закон распределения

1

xk/2 1e x/2, x 0;

f x

2k/2

Г(k / 2)

f x

И

0, x 0,

где Г(y)

e tty 1dt

– гамма-функция Эйлера

0

Д

для целых положительных значений y )

(Г(y) (y 1)!

А

f(x)

б

и

0,5

0,4

С

0,3

k =1

k =2

0,2

k =6

0,1

x

2

4

6

8

10

12

14

Числовые

M( 2) k; D( 2) 2k

характеристики

Понятие

Определение

Распределение

Распределение случайной величины

Фишера–Снедекора

1 2(k )

2(k ) и

2(k

(F-распределение)

k1

1

k2

2(k1),

где

) –

F(k1,k2)

1

2

1

2

k 2(k

)

(k2)

1

2

k2

случайные величины, имеющие 2-распределение с k1

и k2 степенями свободы

Закон распределения

k k

2

k1

k2

f x

Г

1

k

2 k 2

k1

1 k x k

k k

2

f (x)

1

2

x 2

1

2

2

2

k

k

2

1

Г

1

Г

И

2

2

f(x)

k1

Д

=1; k2

=4

0,8

А

x

k1 =10; k2 =50

1

2

3

При

k2

F-распределение приближается к

нормальномубзакону

Числовые

и

M(F(k1,k2)) k2 /(k2 2)

характеристики

С

Таблица 8

Распределение Стьюдента

Понятие

Определение

1

2

Распределение

Распределение

случайной

величины

t

Z

,

где

Стьюдента

1

2

(t-распределение)

2

–

Z

k

Z N(0,1)

независимая;

от

случайная

величина,

имеющая 2-распределение с k степенями свободы

1

2

Закон

Г

k 1

k 1

f(x)

распределения

x

2

2

f (x)

2

1

.

f x

k

k

Г

k

Z

2

При k 30

t

t-распределение

можно

считать

приближенно

нормальным

x

Числовые

M(t) 0; D(t) k / (k 2)

характеристики

Глава 1. ВЫБОРКИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Д

1.1. Справочный материал

А

Задачи математической статистикиИ

б

1

2

3

может

содержать

конечное

4)

при

изучении

длительности

или

бесконечное

число

случайно отобранных фильмов получены

элементов

следующие результаты в минутах: 120,

Число объектов (наблюдений)

99, 124, 86, 94, 112, 106.

в совокупности,

генеральной

Решение.

n1 8

–

число

посетителей в

или выборочной,

называется

магазине;

n2 8

–

число

студентов;

её объемом и обозначается N

n3 9 –

число

взвешенных

больных;

и n соответственно

n4 7 – число изученных на длительность

фильмов. Одинаковое число наблюдений

n 8

соответствуют

первой

и второй

реализациям

Выборку называют повторной,

если отобранный объект перед

представляли пропорции генеральной совокупности, т.е выборка

б

должна быть репрезентативной (представительной).

и

Выборка будет репрезентативной, если:

каждый объект вы оркиАотобран случайно из генеральной

совокупности;

С

одинаковую вероятность попасть в

все объекты меют

Дискретный статистический ряд

Таблица 1.2

Понятия

Код

Задание

Пусть из генеральной совокупности

1.1

Дана выборка: 9, 9, 1, 6, 13, 9, 6, 9,

X извлечена выборка

x1,x2, ,xk ,

1, 13, 13, 1, 6, 9, 9, 9, 1, 6, 13, 13, 1,

причем значение x1 наблюдалось n1

9, 1, 9, 9, 13, 9, 13, 13, 9.

раз, x2 – n2 раза, …, xk

– nk

раз.

Тогда её объем n 30, варианты: 1,

6, 9, 13

k

n1 n2 nk ni n,

i 1

где n – объем выборки. Вариантами

называют наблюдаемые значения xi

признака X

Вариационным

рядом

называется

1.1

Проранжируем

статистические

последовательность

вариантов,

данные

для

получения

записанных

по

неубыванию

вариационного ряда: 1, 1, 1, 1, 1, 1,

(операция ранжирования)

6, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

Д

9, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13

Частотой

называют

число

1.1

Подсчитаем

частоту

каждой

наблюдений n варианты x

А

варианты.

Варианта

х 1

i

i

И

1

повторилась

6 раз, т.е.

n1 6.

налогично

находим

n2 4;

n3 12;

n4 8

и

1.1

Подсчитаем

частость

каждой

Относительная частота (частость)

варианты x

– это отношен е

варианты:

n1

6

i

n

0,2.

частоты к объему выборки:

ni

1

30

Аналогично

находим 2 0,13;

бi

n

3 0,4;

4 0,27

Дискретным статистическим

рядом

1.1

Составим статистическое

называется

перечень

вариант

и

распределение частот и частостей:

соответствующих им частот