- •Введение
- •КОДИФИКАТОР РАЗДЕЛА «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
- •ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Основные законы распределения непрерывных случайных величин
- •Законы распределения случайных величин, связанные с нормальным распределением
- •Глава 1. ВЫБОРКИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
- •1.1. Справочный материал
- •Задачи математической статистики
- •Основные понятия математической статистики
- •Графическое изображение статистического ряда распределения
- •Эмпирическая функция распределения
- •Числовые характеристики статистического ряда
- •Моменты случайных величин
- •1.2. Задания в тестовой форме
- •Элемент 1.1. Статистическое распределение выборки
- •Элемент 1.2. Основные числовые характеристики выборки
- •Элемент 1.3. Дополнительные числовые характеристики выборки
- •1.3. Варианты заданий для расчетной работы «Первичная обработка статистических данных»
- •1.4. Образец для выполнения расчетной работы «Первичная обработка статистических данных»
- •Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОЦЕНОК
- •2.1. Справочный материал
- •Понятие статистической оценки и ее свойства
- •Точечные оценки и их нахождение
- •Выравнивание статистического ряда
- •Интервальные оценки
- •2.2. Задания в тестовой форме
- •Элемент 2.1. Точечные оценки
- •Элемент 2.2. Интервальные оценки
- •2.4. Образец для выполнения расчетной работы «Выравнивание статистических рядов»
- •Глава 3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
- •3.1. Справочный материал
- •Понятие статистической гипотезы и ее виды
- •Критическая область и ее нахождение
- •Проверка параметрических гипотез
- •3.2. Задания в тестовой форме
- •Элемент 3.1. Статистические гипотезы
- •Элемент 3.2. Ошибки проверки статистических гипотез
- •Элемент 3.3. Критическая область
- •Элемент 3.4. Проверка статистических гипотез
- •3.3. Варианты заданий для расчетной работы «Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий»
- •3.5. Варианты заданий для расчетной работы «Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона»
- •4.1. Справочный материал
- •Зависимости между случайными величинами
- •Корреляционное поле
- •Линейная парная регрессия
- •Нелинейная парная регрессия
- •Коэффициент корреляции и его свойства
- •Проверка значимости коэффициента корреляции
- •Корреляционная таблица
- •Корреляционное отношение и его свойства
- •4.2. Задания в тестовой форме
- •Элемент 4.2. Уравнение регрессии
- •Элемент 4.3. Коэффициент корреляции
- •Элемент 4.4. Корреляционное отношение
- •4.3. Варианты заданий для расчетной работы «Подбор уравнения регрессии для бесповторной выборки»
- •4.4. Образец для выполнения расчетной работы «Подбор уравнения регрессии для бесповторной выборки»
- •Библиографический список
3.5. Варианты заданий для расчетной работы «Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона»
Для разумного планирования и организации работы ремонтных мастерских специальной техники оказалось необходимым изучить длительность ремонтных операций, производимых мастерскими. Получены результаты (сгруппированные по интервалам) соответствующего статистического обследования (фиксированы длительности операций в 100 случаях):
|
x ,x |
1 |
|
|
x1;x2 |
|
… |
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|||||||||
|
i i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
|
|
n1 |
|
|
|
… |
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|||||||
|
Требуется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1) построить гистограмму частостей; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2) найти числовые характеристики выборки ( |
х |
В |
, S , A, |
E); |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3) по виду гистограммы и значениямИчисловых характеристик |
|||||||||||||||||||||||||||
выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины X – |
||||||||||||||||||||||||||||
длительности |
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
оценить |
параметры |
|||||||||||||||
|
|
|
ремонтных |
операций, |
|
|||||||||||||||||||||||
теоретического закона и записать его вид; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4) проверить основную гипотезу о законе распределения Х по |
|||||||||||||||||||||||||||
критерию Пирсона (уровень значимости выбрать самостоятельно); |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
гипотезы |
о |
|
законе |
|||||||||||
|
5) проверить две альтернативных |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
распределения Х по кр тер ю Пирсона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иВариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
xi,xi 1 |
|
[0;3) |
|
[3;6) |
|
|
[6;9) |
|
[9;12) |
|
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
|
[21;24) |
|
|||||||||||
|
ni |
|
|
3 |
|
|
17 |
|
|
20 |
|
22 |
|
13 |
|
|
12 |
|
|
|
10 |
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
xi,xi 1 |
|
[0;3) |
|
[3;6) |
|
|
[6;9) |
|
[9;12) |
|
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
|
[21;24) |
|
|||||||||||
|
ni |
|
|
24 |
|
|
22 |
|
|
16 |
|
12 |
|
10 |
|
|
9 |
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
xi,xi 1 |
|
[0;3) |
|
[3;6) |
|
|
[6;9) |
|
[9;12) |
|
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
|
[21;24) |
|
|||||||||||
|
ni |
|
|
23 |
|
|
21 |
|
|
15 |
|
11 |
|
9 |
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
6 |
|
85
Вариант 4
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
|||
ni |
|
2 |
6 |
|
9 |
|
27 |
30 |
|
11 |
9 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
|||
ni |
|
14 |
11 |
|
12 |
|
13 |
14 |
|
12 |
13 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
|||
ni |
|
25 |
20 |
|
14 |
|
11 |
10 |
|
8 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
|||
ni |
|
26 |
19 |
|
13 |
|
12 |
11 |
|
7 |
8 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
x ,x |
|
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
А |
|
|
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
|
|
|
[9;12) |
[12;15) |
||||||||||
i i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
ni |
|
24 |
21 |
|
14 |
|
11 |
|
9 |
|
10 |
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
и |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
||||
|
[6;9) |
|
|||||||||||
ni |
|
3 |
8 |
|
10 |
|
25 |
20 |
|
13 |
11 |
10 |
|
|
|
|
С |
|
бВариант 10 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
|||
ni |
|
7 |
8 |
|
9 |
|
25 |
20 |
|
15 |
10 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
|||
ni |
|
6 |
10 |
|
16 |
|
22 |
24 |
|
9 |
8 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 12 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
|||
ni |
|
11 |
13 |
|
12 |
|
14 |
11 |
|
13 |
12 |
14 |
86
Вариант 13
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
||
ni |
|
12 |
11 |
|
14 |
|
13 |
10 |
|
12 |
14 |
14 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 14 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
||
ni |
|
14 |
11 |
|
12 |
|
14 |
14 |
|
12 |
10 |
13 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 15 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
||
ni |
|
13 |
10 |
|
14 |
|
12 |
14 |
|
11 |
12 |
14 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 16 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
||
ni |
|
11 |
13 |
|
14 |
|
14 |
14 |
|
12 |
11 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 17 |
|
|
|
|
||
x ,x |
|
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
А |
|
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
|
|
|
[9;12) |
[12;15) |
|||||||||
i i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
ni |
|
4 |
9 |
|
15 |
|
28 |
20 |
|
12 |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
|
|
|
|
||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
и |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
|||
|
[6;9) |
|
||||||||||
ni |
|
28 |
20 |
|
15 |
|
12 |
10 |
|
9 |
4 |
2 |
|
|
|
С |
|
бВариант 19 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
||
ni |
|
30 |
18 |
|
14 |
|
13 |
11 |
|
7 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 20 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
||
ni |
|
27 |
19 |
|
16 |
|
13 |
11 |
|
8 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 21 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
||
ni |
|
38 |
20 |
|
10 |
|
9 |
8 |
|
7 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 22 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
[18;21) |
[21;24) |
||
ni |
|
33 |
22 |
|
12 |
|
10 |
9 |
|
7 |
4 |
3 |
87
Вариант 23
|
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
|
[18;21) |
[21;24) |
|
||
|
ni |
36 |
17 |
|
13 |
|
10 |
|
9 |
8 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 24 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
|
[18;21) |
[21;24) |
|
||
|
ni |
34 |
16 |
|
12 |
|
11 |
|
9 |
8 |
|
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 25 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
|
[18;21) |
[21;24) |
|
||
|
ni |
37 |
17 |
|
12 |
|
11 |
|
9 |
6 |
|
5 |
3 |
|
|
|
3.6. Образец для выполнения расчетной работы |
|
|
||||||||||
|
«Проверка гипотезы о законе распределения генеральной |
|||||||||||||
|
|
|
совокупности по критерию Пирсона» |
|
|
|
||||||||
|
Получены |
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
||||
|
результаты (сгруппированные по интервалам) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
статистического обследования длительностиИ100 ремонтных |
||||||||||||||
операций, производимых мастерскими: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xi,xi 1 |
[0;3) |
[3;6) |
[6;9) |
|
[9;12) |
[12;15) |
[15;18) |
|
[18;21) |
[21;24) |
|
||
|
ni |
43 |
21 |
|
и |
|
12 |
|
3 |
4 |
|
2 |
1 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
||||||||
|
Требуется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) построить г стограммубчастостей; |
|
|
|
|
|
2) |
найти числовые характеристики выборки ( |
х |
В , S , A, E); |
||||
3) |
по виду гистограммы и значениям числовых характеристик |
||||||
выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины X – |
|||||||
длительности |
Сремонтных |
операций, |
оценить |
параметры |
|||
теоретического закона и записать его вид; |
|
|
|
|
|||
4) проверить выдвинутую гипотезу о законе распределения Х по |
|||||||
критерию Пирсона (уровень значимости выбрать самостоятельно); |
|||||||
5) |
проверить две альтернативных гипотезы о законе |
||||||
распределения Х по критерию Пирсона. |
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Для |
построения гистограммы |
строим вспомогательную |
табл. 3.6.
88
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.6 |
||
|
|
|
|
Расчетная таблица для построения гистограммы частостей |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Разряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
* |
|
|
i |
|
|
– середина |
|||||||
|
|
i |
|
xi,xi 1 |
|
|
|
|
ni |
|
|
i |
|
|
|
|
f |
(x) h |
|
|
xi |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
интервала |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
[0;3) |
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
0,43 |
|
|
|
|
|
|
0,143 |
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
[3;6) |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
0,21 |
|
|
|
|
|
|
0,07 |
|
|
|
|
|
|
4,5 |
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
[6;9) |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
0,14 |
|
|
|
|
|
|
0,046 |
|
|
|
|
|
|
7,5 |
|
|||||||||||
4 |
|
|
|
[9;12) |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
0,12 |
|
|
|
|
|
|
0,04 |
|
|
|
|
|
|
10,5 |
|
|||||||||||
5 |
|
|
|
[12;15) |
|
|
|
|
3 |
|
|
0,03 |
|
|
|
|
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
13,5 |
|
|||||||||||||
6 |
|
|
|
[15;18) |
|
|
|
|
4 |
|
|
0,04 |
|
|
|
|
|
|
0,013 |
|
|
|
|
|
|
16,5 |
|
|||||||||||||
7 |
|
|
|
[18;21) |
|
|
|
|
2 |
|
|
0,02 |
|
|
|
|
|
|
0,007 |
|
|
|
|
|
|
19,5 |
|
|||||||||||||
8 |
|
|
|
[21;24) |
|
|
|
|
1 |
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
0,003 |
|
|
|
|
|
|
22,5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контроль |
|
|
– |
|
8 |
|
|
=100 |
8 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|||||||||||
|
|
|
ni |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
По данным табл. 3.6 строим гистограмму частостей (рис. 3.2). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
9 |
12 |
|
15 |
|
|
18 |
|
|
21 |
|
24 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.2. Гистограмма частостей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2) Находим числовые характеристики выборки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
1,5 0,43 4,5 0,21 ... 22,5 0,01 5,58; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
xB xi i |
|
|
|
|
|
|
|
i1 k
DB (xi)2 i (xB)2 1,52 0,43 4,52 0,21 ... 22,52 0,01 5,582 24,22;
|
|
i 1 |
|
|
|
100 |
|
|
||
B |
|
|
|
|
|
4,92; S2 |
|
24,22 24,46; |
S 5; |
|
|
DB |
24,22 |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
100 1 |
|
3 (1,5 5,58)3 0,43 ... (22,5 5,58)3 0,01 1,127;
A 3 1,127 0,009; S3 125
89
4 (1,5 5,58)4 0,43 ... (22,5 5,58)4 0,01 2448,99;
E |
|
|
|
2448,99 |
|
3 0,92. |
|
4 |
3 |
|
|
||
S4 |
625 |
|
||||
|
|
3) |
Близость к |
нулю полученного значения коэффициента |
асимметрии говорит в пользу нормального закона распределения генеральной совокупности. Однако, учитывая вид гистограммы и близость статистического среднего xB и выборочного среднего квадратического отклонения B по своим значениям, выдвигаем основную гипотезу в пользу показательного закона распределения,
функция плотности которого имеет вид |
|
|
0,x 0; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
f (x) |
x |
,x 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Найдем |
|
оценку |
|
|
параметра |
|
показательного |
закона |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
распределения. |
Выборочное |
|
среднее |
|
|
|
k |
|
|
|
5,58 |
– |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
xB xi i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
несмещенная |
|
и |
состоятельная |
оценка |
математического |
|
ожидания. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
М(Х) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Используя |
метод |
|
|
|
|
И |
|
|
B . |
Тогда |
||||||||||||||||||||||
моментов, |
имеем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
* |
|
1 |
|
1 |
|
0,18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
B |
5,58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Заменяя |
|
|
оценкой |
|
, |
получаем теоретический |
закон |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,x 0; |
|
|
|
|
|
|
0,x 0; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
распределения f (x) |
т.е. |
|
|
|
0,18x |
,x 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
,x |
0, |
|
|
|
0,18e |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
В качествеимеры расхождения |
между |
статистическим |
и |
гипотетическим (теоретическим) распределениями возьмем критерий
Пирсона 2. |
|
|
|
|||
|
Мера |
расхождения |
в |
этом критерии определяется равенством |
||
2 |
k |
(n np )2 |
|
|
||
|
i |
i |
, где |
n |
– объем выборки (у нас n=100); ni – |
|
|
npi |
|||||
|
i 1 |
|
|
|
|
эмпирические частоты (число элементов в i-м интервале); k – число интервалов (у нас k=8); pi – теоретические вероятности попадания значений случайной величины в i-й интервал; npi – теоретические частоты.
В рассматриваемом эмпирическом распределении (см. табл. 3.6) имеются частоты, меньшие 5. При использовании критерия Пирсона
90
такие интервалы целесообразно объединять с соседними. После объединения интервалов с низкой степенью частоты получим интервальный ряд:
|
xi,xi 1 |
|
|
[0;3) |
|
|
[3;6) |
|
|
|
[6;9) |
|
|
[9;12) |
|
|
[12;24) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
12 |
|
|
10 |
|
|
|
|
100 |
||||
|
|
|
Находим теоретические вероятности Pi |
по формуле |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
|
|
xi |
|
* |
e |
*x |
dx е |
х |
x |
e |
x |
|
e |
*x |
|
|||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| i |
i 1 |
|
i , |
||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0,18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Для нахождения вероятностей воспользуемся прил. 6. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|||
p |
0,18e 0,18xdx e 0,18x |
(e 0,18 3 e0) 1 e 1 1 0,5827 0,42; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p |
e 0,18x |
|
|
6 |
e 1,08 |
e 0,54 0,365 0,583 0,22; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p |
e 0,18x |
|
|
|
|
|
9 |
|
e 1,62 |
e 1,08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,198 0,365 0,17; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
e 0,18x |
|
|
12 |
e 2,16 |
e 1,62 |
0,198 0,115 0,08; |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p |
e 0,18x |
|
|
24 |
e 4,32 |
e 2,16 |
0,018 0,115 0,097. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Дальнейшие выч слен я, необходимые |
для |
|
|
определения |
|||||||||||||||||||||||||||||||
расчетного |
|
|
|
|
|
|
значения |
|
|
выборочной |
статистики |
|
|
, |
|
проведем |
||||||||||||||||||||||
в табл. 3.7. |
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.7 |
|||||
|
|
|
Расчетная таблица для проверки гипотезы о показательном законе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределения генеральной совокупности |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
xi,xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
[0;3) |
|
|
[3;6) |
|
|
|
[6;9) |
|
|
[9;12) |
|
|
[12;24) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
12 |
|
|
10 |
|
|
|
|
100 |
|||||
|
|
|
npi |
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
17 |
|
|
8 |
|
|
9,7 |
|
|
|
|
98,7 |
|||||
(ni npi )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
4 |
|
|
0,09 |
|
|
|
|
|
– |
||||||
|
n np 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
набл2 |
|
||||
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
|
|
0,05 |
|
|
|
0,53 |
|
|
0,33 |
|
|
0,009 |
|
|
|
|
0,939 |
||||||||
|
|
|
npi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
Распределение 2 зависит от числа степеней свободы r k l 1 (k – число интервалов после объединения) и уровня значимости α.
В нашем примере k=5; l=1 (так как функция плотности распределения зависит только от одного параметра ); r = 5-1-1=3.
Зададим уровень значимости α=0,05 и найдем по таблице значений 2 (см. прил. 4) критическое значение для α=0,05 и r=1. Имеем 0,05;32 7,8. Так как набл2 0,05;32 , то предполагаемая гипотеза о показательном законе распределения генеральной совокупности не противоречит опытным данным и принимается на уровне значимости
α=0,05.
5) |
Проверим |
|
|
альтернативную |
|
гипотезу |
о распределении |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
генеральной |
совокупности |
|
|
|
|
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
функция |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
нормальному |
закону, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(x a)2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
||||||||||||
плотности которого имеет вид f (x) |
|
|
|
2 |
e |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Оценим |
по |
|
|
выборке |
|
|
параметры |
|
|
|
|
нормального |
закона |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
распределения а и . По методу моментов в качестве оценок а и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
примем |
соответственно |
|
выборочную |
|
|
среднюю |
x |
В 5,58 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S 5. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Заменяя |
а и найденными оценками, получаем вид теоретического |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
и |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(x 5,58)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
закона распределен |
|
|
я: f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
2 62 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Находим теорет ческ е вероятности pi по формуле |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
B |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(х) |
|
|
|
||||||||||||||
pi P xi |
X xi 1 Ф |
i 1 |
|
|
|
|
Ф |
|
i |
|
|
|
|
, |
|
где |
– |
функция |
|||||||||||||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
S |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Лапласа (см. прилС. 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p ( X 3) Ф |
3 5,58 |
Ф |
5,58 |
|
|
0,5-0,1985=0,30; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
6 5,58 |
|
|
|
|
|
|
3 5,58 |
0,0319+0,1985=0,23; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
p2 (3 X 6) Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
p (6 X 9) Ф |
9 5,58 |
|
Ф |
6 5,58 |
0,2517-0,0319=0,22; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
12 5,58 |
|
|
9 5,58 |
|
|
0,3997-0,2517=0,15; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p2 (9 X 12) Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
92
p |
(12 X ) Ф |
|
5,58 |
Ф |
12 5,58 |
|
0,5-0,3997=0,10. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
5 |
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Все вычисления, необходимые для определения расчетного значения выборочной статистики 2 , проведем в табл. 3.8.
Таблица 3.8
Расчетная таблица для проверки гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности
|
xi,xi 1 |
|
[0;3) |
[3;6) |
|
[6;9) |
[9;12) |
[12;24) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ni |
|
43 |
21 |
|
14 |
12 |
10 |
100 |
||||
|
|
npi |
|
30 |
23 |
|
22 |
15 |
10 |
100 |
||||
|
(ni |
npi )2 |
|
169 |
4 |
|
64 |
9 |
|
0 |
|
– |
||
|
n np 2 |
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|||
|
i |
i |
|
|
5,6 |
0,17 |
|
2,9 |
0,6 |
|
0 |
набл2 |
9,27 |
|
|
|
npi |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Зададим уровень значимости α = 0,05 и найдем по таблице |
||||||||||||
значений 2 |
(см. прил. 4) |
критическое значение для |
α = 0,05 и |
r = 5-2-1=2 (k = 5; l = 2, так как функция плотности распределения
зависит двух от параметров). Имеем |
2 |
|
|
6,0. |
Так |
как 2 |
2 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Д0,05;2 |
|
|
|
|
|
|
набл |
кр |
|||||
то альтернативная |
гипотеза |
о |
нормальном законе распределения |
|||||||||||||||||
генеральной |
|
|
|
и |
противоречитА |
|
опытным данным и |
|||||||||||||
|
совокупности |
|
||||||||||||||||||
отвергается на уровне знач мости α= 0,05. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Проверим альтернатбвную гипотезу о распределении |
||||||||||||||||||||
генеральной |
|
совокупности |
по |
равномерному |
закону, |
функция |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
x a;b ; |
|
|
|
|
|||||
плотности которого имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
f (x) b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
С |
|
|
|
x a;b . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Оценим по выборке параметры |
а |
и |
b |
равномерного закона |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 B; |
|
||
распределения по |
методу моментов, |
имеем |
a xB |
Тогда |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b xB |
3 B. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 3,08; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a 5,58 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Заменяя а |
и |
|
найденными |
оценками, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
b 5,58 |
3 5 14,24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
получаем |
|
вид |
теоретического |
|
|
закона |
|
|
|
распределения |
||||||||||
f (x) 0,057; |
|
x 3,08;14,24 . Находим теоретические вероятности |
93
pi по формуле p |
xi |
f (x)dx |
xi |
|
|
|
x ,x |
3,08;14,24 . |
||||||||||||
|
0,057dx, где |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
xi 1 |
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
i i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
p1 0,057dx 0,057 3 0,171; |
p2 0,057dx 0,057 3 0,171; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 0,057dx 0,057 3 0,171; |
|
p4 |
0,057dx 0,057 3 0,171; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p5 |
14,24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,057dx 0,057 2,24 0,128. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее вычисления, необходимые для определения расчетного |
|||||||||||||||||
значения выборочной статистики 2 , проведем в табл. 3.9. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
Таблица 3.9 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Расчетная таблица для проверки гипотезы о равномерном законе |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
распределения генеральной совокупности |
|
|
|
|
|||||||||||
|
xi,xi 1 |
|
[0;3) |
|
|
[3;6) |
|
|
[6;9) |
Д |
|
[12;24) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[9;12) |
|
|
||||||||||
|
|
|
ni |
|
43 |
|
|
21 |
|
|
14 |
|
|
12 |
|
10 |
|
100 |
||
|
|
npi |
|
17,1 |
|
|
17,1 |
|
|
17,1 |
|
|
17,1 |
|
12,8 |
|
81,2 |
|||
|
(n np )2 |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
|
i |
|
671 |
|
|
15,21 |
|
|
9,61 |
|
|
26,01 |
|
7,84 |
|
|
– |
|
|
ni |
npi 2 |
|
39,24 |
|
и |
|
0,56 |
|
|
1,52 |
|
|
|
|
набл2 |
42,67 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
npi |
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
Пусть уровень знач мости α=0,05, найдем критическое значение |
||||||||||||||||||
для α = 0,05 и r =5-2-1=2 (k = 5; l = 2, так как функция плотности |
||||||||||||||||||||
распределения зависит от двух параметров). Имеем 0,05;2 |
6,0. Так |
|||||||||||||||||||
как |
|
2 |
2 , то |
альтернативная гипотеза о |
|
равномерном |
законе |
|||||||||||||
|
|
|
набл |
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределения генеральной совокупности противоречит опытным данным и отвергается на уровне значимости α=0,05.
94