1835
.pdf
А. М. ЗАВЬЯЛОВ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ЧАСТЬ 3
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)
А. М. Завьялов
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Учебное пособие
Часть 3
Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Допущено учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 230105 (220400) «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»
Омск Издательство СибАДИ
2006
УДК 517
ББК 22.1
М ЗЗ
Рецензенты:
А.К. Гуц, д-р физ.-мат. наук, профессор, декан факультета компьютерных наук, заведующий кафедрой кибернетики
Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского;
В.К. Окишев, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и механики Омского государственного университета путей сообщения
Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве конспекта лекций для студентов инженерных и экономических специальностей.
Завьялов А.М. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ: Учебное пособие. Омск: Изд-во СибАДИ, 2005. Ч.3. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. 98 с.
Такой объем лекционного курса читается, как правило, в третьем семестре для ряда инженерных и экономических специальностей вузов.
Тематика и содержание лекций отвечают требованиям образовательных стандартов второго поколения.
Данная книга окажет помощь в освоении указанного раздела высшей математики студентами, будет полезна преподавателям в качестве пособия по методике чтения лекционного курса и ведения практических занятий. Книга проиллюстрирована большим количеством рисунков и удачно подобранных примеров. Достаточная краткость и сжатость сочетаются в ней с высоким уровнем строгости и полноты изложения материала.
Ил. 58. Библиогр.: 4 назв.
ISBN 5- 93204 -177-3 |
© Завьялов А.М., 2005 |
|
© Издательство СибАДИ, 2005 |
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ………………………………………………………... |
4 |
|||||
Интегральное исчисление функций одного переменного |
|
|||||
Лекция №1. Первообразная и неопределенный интеграл ………. |
5 |
|||||
Лекция №2. Интегрирование подстановкой и по частям ……….. |
8 |
|||||
Лекция №3. Комплексные числа, представление комплексных |
|
|||||
чисел, формула Эйлера …………………………………………… |
13 |
|||||
Лекция №4. Многочлены, каноническое разложение |
|
|||||
многочленов. Рациональные дроби и их разложение |
|
|||||
……………………... |
|
|
|
|
18 |
|
Лекция №5. Интегрирование рациональных дробей, |
|
|||||
иррациональных |
и |
тригонометрических |
|
выражений |
|
|
……………………. |
|
|
|
|
22 |
|
Лекция №6. Задачи, приводящие к понятию «определенный |
|
|||||
интеграл». Определенный интеграл и его свойства |
|
|||||
……………….. |
|
|
|
|
|
30 |
Лекция №7. Связь между определенным и неопределенным |
|
|||||
интегралами, вычисление определенных интегралов |
|
|||||
……………... |
|
|
|
|
|
36 |
Лекция №8. Несобственные интегралы ………………………….. |
43 |
|||||
Лекция №9. Геометрические приложения определенного |
|
|||||
интеграла |
(вычисление |
площадей |
|
фигур) |
|
|
…………………………...... |
|
|
|
48 |
||
Лекция №10. Геометрические приложения определенного |
|
|||||
интеграла |
(вычисление |
длин |
дуг) |
|
||
……………………………………. |
|
|
|
54 |
||
Лекция №11. Геометрические приложения определенного |
|
|||||
интеграла (вычисление |
объемов и площадей поверхностей). |
|
||||
Физические |
|
|
|
|
приложения |
|
………………………………………………... |
|
|
59 |
|||
Дифференциальное исчисление функций |
|
|
|
|||
нескольких переменных |
|
|
|
|
|
|
Лекция №12. Определение функции нескольких переменных, |
|
|||||
предел, непрерывность ………………………………………….... |
66 |
|||||
Лекция №13. Частные производные функции нескольких |
|
|||||
переменных |
|
и |
полный |
дифференциал |
|
|
……………………………….. |
|
|
|
70 |
||
Лекция №14. Частные производные и полные дифференциалы сложных функций, дифференцирование неявных функций …… 76 Лекция №15. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора ……………………………. 81 Лекция №16. Экстремумы функций нескольких переменных …. 84 Лекция №17. Метод наименьших квадратов. Скалярное поле и его основные характеристики …………………………………… 90 Вопросы к экзамену ……………………………………………….. 96
Посвящается 75летию СибАДИ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Уважаемый Читатель! Данная книга представляет собой третью часть учебного пособия «Конспект лекций по высшей математике». В этой части излагаются следующие разделы математики: «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».
Внастоящем учебном пособии учтен накопленный автором опыт чтения курса лекций по математическому анализу.
Вкниге дано систематическое изложение соответствующих разделов курса высшей математики на достаточном для втуза уровне строгости, применены элементы инновационных технологий обучения, разобраны примеры.
Автор рекомендует студентам не ограничиваться разбором примеров, содержащихся в учебном пособии, а обращаться к задачнику, указанному в списке литературы.
По мнению автора, принятая в книге форма изложения будет способствовать лучшему восприятию материала студентами высших технических учебных заведений и, возможно, доставит им истинное интеллектуальное наслаждение от занятий математикой.
А.М. Завьялов,
доктор технических наук,
профессор
В любой науке столько истины, сколько в ней математики.
Иммануил Кант
В математике нет символов для неясных мыслей.
Анри Пуанкаре
Рекомендуемая литература
1.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Интеграл-пресс, 1997. – Т. 1. – 416 c.
2.Шипачев В. С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 c.
3.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.–
М.: Наука, 1982. – Т. 1. – 616 с.
4.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985. – 384 c.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Лекция №1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вматематике для каждой операции рассматривают обратную:
+и – , * и / , an и n
a , loga b и aloga b b. Операция, обратная
операции дифференцирования, называется интегрированием.
|
d |
: |
f (x) f |
|
|
|
|||
dx |
(x); |
|||
f(x) f (x) |
|
|
|
|
|
|
: |
f (x) F(x), |
|
причём F (x) f (x).
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором интервале, если для точек этого интервала F (x) f (x).
Т е о р е м а. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то функция F(x)+С , где С – произвольная постоянная, тоже первообразная для f(x) и никаких других первообразных для функции f(x) нет.
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
|
|
|
|
|
|
||
По условию |
F (x) f (x), |
тогда |
(F(x) C) F (x) C |
||||||
|
|
|
|
первообразная |
для f(x). |
Пусть |
|
две |
|
F (x) f (x) F(x)+С – |
|||||||||
различные |
первообразные |
F(x) |
и Φ(x), т.е. |
F (x) |
f (x) и |
||||
'(x) f (x) . Рассмотрим функцию (x) (x) F(x). |
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
(x) 0 |
и |
по |
|
(x) (x) F (x) f (x) f (x) 0 |
||||||||
следствию из теоремы Лагранжа (x) C (x) F(x) C(x) F(x) C , что и требовалось доказать.
Определение. Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределённым интегралом и обозначается
f (x)dx,
где – знак интеграла, стилизованная буква S; f(x) называется
подынтегральной функцией; f(x)dx – подынтегральным выражением. В силу доказанной теоремы имеем
|
f (x). |
(1) |
f (x)dx F(x) C, где F (x) |
Свойства неопределённого интеграла
10. Производная от неопределённого интеграла равна
подынтегральной функции: |
|
f (x)dx) f (x). |
|
||
|
|
( |
(2) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
|
|
|
|
( f (x)dx) |
(1) |
|
|
|
|
(F(x)) C) |
|
F (x) f (x). |
|
||
20. d и |
– взаимно-обратные операции, то есть: |
|
|||
|
|
d( |
|
f (x)dx) f (x)dx; |
(3) |
|
|
df (x) f (x) C. |
(4) |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о
(2)
d( f (x)dx) ( f (x)dx) dx f (x)dx.
df (x) f |
|
f (x) C, так как f(x) – первообразная для |
f |
|
(x). |
|
|||||
(x)dx |
|
|
|||||||||
30. Свойства линейности: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx; |
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
k f (x)dx k f (x)dx, k const. |
|
|
|
(6) |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
|
|
(x) g(x), тогда |
|
|
|
|
|
|
||
F (x) |
f (x) и G |
|
|
|
|
|
|
||||
[ f (x) g(x)]dx F(x) G(x) C, |
так |
как |
|
|
|
|
|
||||
[F(x) G(x)] |
|||||||||||
|
|
(x) f (x) g(x). Очевидно, что |
F(x) C1 f (x)dx, |
а |
|||||||
F (x) G |
|||||||||||
G(x) C2 |
g(x)dx, следовательно, верно (5). |
|
|
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о
f (x)dx F(x) C.
k f (x)dx x C k f x x k F x x k F x ,
следовательно, верно (6).
Таблица неопределённых интегралов
Вычисление неопределённых интегралов ведётся на основании следующей таблицы.
1. dx x C.
|
|
n |
|
xn 1 |
|
|
||
2. x |
|
|
|
|
C, |
n 1. |
||
|
|
|
||||||
|
dx |
|
n 1 |
|
|
|||
3. |
ln | x| C. |
|
||||||
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
4. exdx ex C. |
|
|||||||
5. axdx |
ax |
C. |
|
|||||
lna |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
6.sinxdx cosx C .
7.cosxdx sin x C.
8. |
dx |
|
tgx C . |
cos2 |
|
||
|
x |
||
9. |
|
|
|
|
dx |
|
ctgx C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
arctgx C. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10а. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
arctg |
x |
C. |
|
|
|||||||||||||||||||
a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||
11. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
arcsinx C. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11а. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
|
C. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||
12. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
a x |
|
C. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
||||||||||||||||||||
a |
2 x2 |
|
a x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
x2 a2 |
|
C. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Все формулы этой таблицы проверяются непосредственно дифференцированием правой части.
Пример.
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2x |
|
|
|
1 |
|
|
|
(ln |
x |
x2 a2 |
|
) |
|
(1 |
|
) |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x x2 a2 |
2 x2 a2 |
x2 a2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычисление интегралов только с помощью их свойств и таблицы называется непосредственным.
Примеры:
|
(5) |
|
|
x |
4 |
|
3 |
|
|
1. (x3 x |
|
2)dx x3dx x |
|
|
|
x2dx 2 dx |
|||
x |
xdx 2dx |
|
|||||||
|
|
||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
x4 2 x52 2x C. 4 5
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
(11) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
C. |
||||||||||||||||||||
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
(12) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
3 |
|
|
C. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( 3) |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
(11) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
C. |
||||||||||||
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
3 |
) x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||