§ 20. Равномерная непрерывность функций

В определении непрерывности функции в точкезависит, вообще говоря, не только от, но и от точки, т.е.Такая ситуация имеет место в случае произвольной функции, т.е. в общем случае. Если же наложить на функциюнекоторые условия, о которых речь пойдет дальше, тои от точкине зависит. В этом случае мы получаем равномерно непрерывную на промежутке функцию.

Определение 1. Функция, заданная на некотором промежуткеХ, называетсяравномерно непрерывной на этом промежутке, если для любогонайдется такое, что неравенствовыполняется для любой пары точек, удовлетворяющих неравенству.

Теорема Кантора. Если функциянепрерывна на отрезке, то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.

Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик, основатель современной теории множеств.

Доказательство. Предположим противное, т.е. чтонепрерывна на отрезке,

но не является на нем равномерно непрерывной. Это значит, что существует такое, что при любомможно подобрать пару точек, таких, чтои.

Возьмем последовательность значений , сходящуюся к нулю:.

Для найдутся такие точки, что, но.

Для найдутся такие точки, что, но.

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

Для найдутся такие точки, что, но.

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

В результате из отрезка выделятся две ограниченные последовательности

, (20.1)

. (20.2)

Из последовательности (20.1) по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не вводить новых обозначений, будем считать, что уже сама последовательность (20.1) сходится к некоторой точке . Покажем, что тогда последовательность (20.2) тоже сходится к. Действительно, поскольку,имеемпри.

По условию непрерывна в точке. Следовательно,, поэтому, а это противоречит тому, что>0 для всех значенийn. Полученное противоречие доказывает теорему.

Установим теперь факт, который будет нам нужен в интегральном исчислении.

Определение 2. Если функцияопределена и ограничена на отрезке, то разность между ее точными границами на этом отрезке называетсяколебанием функции на, т.е. колебание, где,.

Следствие из теоремы Кантора. Если функцияопределена и непрерывна на отрезке, то по заданномуможно разбить этот отрезок на конечное число частей так, что на каждой из частей колебание функции не будет превышать.

Доказательство. По теореме Кантора функцияравномерно непрерывна на. Поэтому по заданномунайдетсятакое, что для любых точек, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство. Если отрезокразбить на такие части, чтобы длина каждой из них была меньше, то на каждой из отдельно взятых частей разность значений функции в любых двух точках по абсолютной величине будет меньше. В частности, это справедливо и для разности между наибольшим и наименьшим значениями функции на каждой из частей, которая и составляет колебание непрерывной функции на этой части. Следствие доказано.