Вычисление момента

Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам  и . Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

где — угол между  и , определяемый так, чтобы поворот от  к  производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем  в виде , где — составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а — аналогично, перпендикулярная ему.  является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора , которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору  и перпендикулярную ему . Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить ещё два выражения для .

Реактивное движение

Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение.

При стрельбе из орудия возникает отдача – снаряд движется вперед, а орудие – откатывается назад. Снаряд и орудие – два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс (рисунок 1). Если скорости орудия и снаряда обозначить через  и , а их массы через M и m, то на основании закона сохранения импульса можно записать в проекциях на ось OX

Рисунок 1

На принципе отдачи основано реактивное движение. В ракете при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью относительно ракеты. Обозначим массу выброшенных газов через m, а массу ракеты после истечения газов через M. Тогда для замкнутой системы “ракета+газы” можно записать на основании закона сохранения импульса:

где V – скорость ракеты после истечения газов.

Здесь предполагалось, что начальная скорость ракеты равнялась нулю.

Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно. На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.

Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет массу M и движется со скоростью  (рисунок 2(1)). В течение малого промежутка времени Δt из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относительной скоростью . Ракета в момент t+Δt будет иметь скорость а ее масса станет равной M+ΔM, где ΔM<0 (рисунок 2(2)). Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна –ΔM>0. Скорость газов в инерциальной системе OX будет равна . Применим закон сохранения импульса. В момент времени t+Δt импульс ракеты равен , а импульс испущенных газов равен . В момент времени tимпульс всей системы был равен Предполагая систему “ракета+газы” замкнутой, можно записать:

, или

Величиной  можно пренебречь, так как |ΔM|<<M. Разделив обе части последнего соотношения на Δt и перейдя к пределу при Δt→0, получим

Рисунок 2

Величина  называется расходом топлива в единицу времени. Величина  называется реактивной силой тяги . Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение

выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад (рисунок 2), то в скалярной форме это соотношение принимает вид:

Ma=μ>u,

где u – модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу для конечной скорости υ ракеты:

где  – отношение начальной и конечной масс ракеты. Эта формула называется формулой Циолковского. Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости υ=υ₁=7,9·10³м/с при u=3·10³м/с стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости υ=4u отношение  должно быть равно 50.

Значительное снижение стартовой массы ракеты может быть достигнуто при использовании многоступенчатых ракет, когда ступени ракеты отделяются по мере выгорания топлива. Из процесса последующего разгона ракеты исключаются массы контейнеров, в которых находилось топливо, отработавшие двигатели, системы управления и т.д. Именно по пути создания экономичных многоступенчатых ракет развивается современное ракетостроение.

Несложные преобразования закона изменения импульса приводят к уравнению Мещерского:

Здесь m – текущая масса ракеты,  – ежесекундный расход массы, υ – скорость газовой струи (т.е. скорость истечения газов относительно ракеты), F – внешние силы, действующие на ракету. По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе  добавляется дополнительный член  , который может быть истолкован как реактивная сила.

Применив уравнение Мещерского к движению ракеты, на которую не действуют внешние силы, и проинтегрировав уравнение, получим формулу Циолковского:

Релятивистское обобщение этой формулы имеет вид 

где c – скорость света. При малых скоростях v оно переходит в формулу Циолковского.