3.3. Метод Рунге - Ромберга

Этот метод позволяет, применяя формулы р-го порядка точности, получить результат (р+1)-го порядка точности.

Пусть приближенное значение некоторой величины на сетке с шагом h вычисляется по формуле

(13)

Вычислим z на другой сетке с шагом rh :

(14)

Исключив из системы уравнений (13), (14) главный член погрешности О(h^p), получим

(15)

При этом можно оценить погрешность формулы (13), вычитая из уравнения (13) уравнение (15):

(16)

Это - первая формула Рунге - Ромберга, формулу (15) называют второй формулой Рунге - Ромберга.

Особенно удобно применение этих формул, когда r - целое. Тогда узлы новой сетки будут попадать в узлы старой и не потребуется вычислять новые узловые значения функций.

Из приведенных рассуждений не следует, что метод Рунге - Ромберга применим только для вычисления производных. Его можно применять для любых вычислений, связанных с сетками.

3.4. Вычисление частных производных

Для вычисления частных производных таблично заданной функции z(x,y) следует сначала аппроксимировать ее

(17)

а затем вычислить приближенные значения нужных производных:

(18)

Если же функция z(x,y) задана на равномерной прямоугольной сетке

(19)

с шагами h по х и l по y, то частные производные в узлах находятся последовательным применением конечноразностных формул для обыкновенных производных по одной и по другой переменным. Например,

(20)

4. Вычисление интегралов

4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Даже если функция f(x) задана аналитически, вычислить интеграл

(1)

точно удается не всегда, так как часто первообразная функции f(x) в аналитическом виде либо трудно находится, либо может не существовать.

Для приближенного вычисления интеграла подынтеграль­ная функция сначала интерполируется формулой Лагранжа

(2)

где r(x) — главный член погрешности. Затем, после подстановки (2) в (1), степенная функция легко интегрируется и получается квадратурная формула Ньютона-Котеса:

(3)

Здесь — веса,x_i - узлы, а — главный член погрешности квадратурной формулы. В зависимости от числа узлов интерполяции (2) и их расположения, существуют разнообразные частные случаи формул Ньютона-Котеса.

4.2. Формула средних

Самая простая квадратурная формула — одноузловая. Наиболее рационально выбирать этот узел посредине интервала, в точке х=(a+b)/2. Для вывода формулы разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х:

(4)

Подставим ряд (4) в интеграл (1). После интегрирования получим формулу средних (прямоугольников)

(5)

где первое слагаемое имеет смысл площади прямоугольника высотой f(х) с основанием b-a. Второе слагаемое _— главный член погрешности, имеющий второй порядок малости по отношению к основной формуле.

Так как b-a обычно не мало, то сначала следует разделить интервал интегрирования на n подынтервалов с узлами х_i (i= 0,n); x₀=a, x_n=b_n применить формулу средних на каждом подынтеграле, получив обобщенную формулу средних:

(6)

Здесь h_i=x_i-x_i-1 - шаг сетки, х_i=(x_i=1+x_i)/2 - средняя точка i-го подынтервала, f_i=f(x_i).

Для равномерной сетки формула (6) принимает вид

(7)

Если подынтегральная функция задана аналитически, то погрешность квадратурной формулы (7) можно оценить апостериорно:

(8)

Это слагаемое можно учесть в основном результате. Тогда точность формулы повысится и погрешность ее будет определяться слагаемым с более высоким порядком малости

(9)