48

1. Погрешность

1.1. Определение погрешности

Физические величины почти всегда известны приближенно, с погрешностью, если только речь не идет о целочисленных величинах или физических эталонах.

Погрешность (ошибка) некоторой величины- это разность между приближенными точнымзначениями некоторой величины.

. (1.1)

Абсолютная погрешность величины - абсолютная величина погрешности:.

Относительная погрешность величины - это отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения:

(1.2)

В соответствии с определением (1.1) погрешность бывает известна точно только тогда, когда известно точное значение интересующей нас величины. В практических расчетах такая ситуация лишена смысла и поэтому обычно погрешность находят приближенно. Как правило, достаточно знать значение погрешности, округленное до первой значащей цифры. Более того, часто достаточно указать порядок величины абсолютной погрешности или оценку сверху и проводить исследования с запасом точности.

Под понятием точность понимают количество верных значащих цифр в значении величины.

Приближенную величину можно рассматривать как переменную, принимающую значения в некоторой окрестности точки . Тогда, если задана некоторая функция , то оценить ее погрешность можно с помощью формулы для дифференциала:

. (1.3)

Аналогично для функции, зависящей от нескольких переменных , погрешность имеет вид

. (1.4)

1.2. Источники погрешности

В теоретических исследованиях выделяют следующие источники погрешности:

- погрешность исходных данных;

- погрешность математической модели, связанную с тем, что не рассматриваются факторы и явления, мало влияющие на исследуемые процессы;

- погрешность метода, связанную с тем, что идеальные математические объекты и операции могут заменяться их приближенными аналогами (производная - на отношение разностей, интеграл - на конечную сумму и т.п.);

- погрешность округления, связанную с количеством удерживаемых значащих цифр в расчетах, которая при машинном счете зависит от типа используемых переменных.

Считается рациональным, если каждый из этапов преобразования данных несущественно увеличивает погрешность. Поэтому погрешность каждого из перечисленных типов должна быть меньше погрешности предыдущего типа.

После получения результатов расчетов следует сравнить их погрешность с допустимой погрешностью, которая обычно диктуется конкретными условиями. Если погрешность велика (больше допустимой), то нужно найти главный источник погрешности и, устранив его, повторить исследование.

При оформлении результатов расчетов числовые данные следует записывать с количеством значащих цифр, соответствующим точности исходных данных.

1.3. Способы оценки погрешности

Различают априорную и апостериорную оценки погрешности.

Априорная оценка погрешности - та, которая может быть получена до решения задачи. Она позволяет сначала определить, при каких параметрах математической модели может быть получена удовлетворительная точность и только после этого провести решение поставленной задачи. Такая последовательность действий является наиболее рациональной. Однако на практике получить априорную оценку погрешности удается нечасто.

Апостериорная оценка погрешности - та, которая получается после (в результате) решения задачи. Для этого, как правило, необходимо получить несколько решений задачи с различными параметрами математической модели. Такой подход более трудоемок, но обычно он бывает единственно возможным.