Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Задачи Штурма-Лиувилля.pdf

Скачиваний:

240

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

270.69 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I

Тогда, вспомнив, что p	= H c2	, получим:

	c1

p p

= H tg + l ;

	p
= arcsin		:	(9.3)
= arcsin	+ h2	:	(9.3)
	+ h2

Каждое из уравнений (9.2) и (9.3), как легко увидеть из графика, имеет бесконечно много положительных решений n, n 2 N.

Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма– Лиувилля:

n > 0

решения уравнения

ctg(p l) =

n 2 N:

H + h

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = H sin p

x + p

cos p

x ;

n 2 N:

При < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.

При = 0 имеем из краевого условия X0(0) HX(0) = 0, что c1 Hc2

= 0; )

X(x) = c2(Hx + 1), и второе краевое

условие X0(l) + hX(l)

= 0 даёт требование

c2(H + hHl + h) = 0. Отсюда c2 = c1 = 0 (поскольку H; h; l > 0 по условию задачи),

и у данной задачи нетривиальных решений, соответствующих = 0 нет.

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

(

n > 0 решения уравнения

ctg(

l) =

(9.4)

H+h

+ p

x ;

Xn(x) = H sin

cos

задачи (9.1).

2 N

10.Разложение функций в ряд Фурье по собственным функциям задач Штурма – Лиувилля

Теорема 10.1 (В.А. Стеклов).

Усл.	fXkgk1=1 – ортогональная система собственных	функций задачи Штурма–
	Лиувилля.
Утв.	8f(x) 2 C2[a; b], удовлетворяющей краевым условиям,	9fckgk1=1 :
	1
	f = XckXk(x);

k=1

причём последний ряд сходится к f(x) абсолютно и равномерно на [a; b], а для ck верно представление

					b
ck =	(f; Xk)			=	Ra	f(x)Xk(x)dx
	2					b
	k	Xk	k			Ra Xk2(x)dx

-9-

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I

Доказательство. Выведем формулу для вычисления ck.

В силу общих свойств рядов Фурье, их (как сходящиеся равномерно на любом отрезке, где нет точек разрыва f(x)) можно интегрировать почленно. Поэтому, в силу ортогональности системы fXkg в L2[0; l]:

	L2[0; l] Z0	l	kXnk2	;	при	k = n:
(Xk; Xn)		Xk(x)Xn(x)dx =	0;		при	k 6= n;	(10.1)

Преположим, что ряд ckXk(x) действительно сходится на [0; l] к функции f(x), то есть

k=1

верно равенство:

f = ckXk(x); x 2 [0; l]:

k=1

Домножим это равенство на Xn в смысле скалярного произведения в L2[0; l], то есть

домножим его на Xn и

проинтегрируем по [0; l].

Всилу (10.1), получим

(f; Xn) = ck (Xk; Xn) = cn (Xn; Xn) = cnkXnk2:

k=1

Отсюда сразу получается доказываемая формула

(f; Xk) ck = kXkk2 :

В силу данной теоремы, нам достаточно один раз вычислить kXkk2 для каждой задачи Штурма-Лиувилля, чтобы знать вид коэффициентов разложения ck.

11.Коэффициенты разложения функций в ряд Фурье по собственным функциям задач Штурма – Лиувилля

11.1. I–I

kXkk2 = Z0

dx =

sin2

1 cos

2 kx

0x l

sin

2 kx

x=l

x=0

2 k

}

-10-

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I

11.2. I–II

sin2

dx = 2

dx =

kXkk2 = Z0

1 cos

1)x

(2k

sin

(2k 1)x

x=l

(2k

x=0

}

11.3. I–III

sin2

dx = 2

1 cos

k x

dx =

kXkk2 = Z

= 2

x=0! =

2p k

sin

k x

x=l

2 sin(p

l) cos(p

cos2(p

= hp k = h tg(p k l)i =

l +

2h tg(p

l +

cos2

! =

;

tg(

k l) =

l +

1 + tg2

1 +

l (h2 + k) + h

p k

l +

h2 + k

2 (h2 + k)

11.4. II–I

cos2

dx = 2 Z0

dx =

kXkk2 = Z0

1)x

1 + cos

1)x

(2k

x=l

sin

(2k 1)x

(2k

x=0

}

11.5. II–II

cos2

1 + cos

dx =

kXkk2 = Z0

dx = 2 Z0

0x l

sin

2 kx

x=l

x=0

2 k

}

-11-

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I

11.6. II–III

cos2

k x

dx = 2 Z

1 + cos

k x

dx =

kXkk2 = Z

l +

x=0! = 2

l +

2p k

= 2

2p k sin

k x

sin

x=l

2p k l

откуда, пользуясь тождествами cos

1+tg2

, sin 2 = 2 sin cos , получаем:

tg(

sin

2p k l

sin

p k l

cos

p k l

l +

k =

= l +

tg(

k l) =

= l +

= cos2 = 1 + tg2

sin

p k l

cos

p k l

1+tg

(

k l)

k+h2

= l +

= htg

k l

i = l +

2 h

) + h

= l +

l ( k + h

h ( k

)

+ h

В итоге получаем:

l ( k + h2) + h

kXkk

k + h2

11.7. III–I

h sin

k x

k cos

2 dx = = arccos ph2h+ k =

kXkk2 = Z

sin2

1 cos

+ k

k x +

dx =

x + 2

dx =

2p k

sin

k x + 2

x=0! =

h2 +

x=l

h2 +

sin(2p

l) cos 2 + cos(2

l) sin 2

sin 2

Преобразуем выражения

sin(2 k l) cos 2

cos(2

k l) sin 2

= h

l)i =

sin(2

k l) cos 2

h tg(

2 sin(

k l) cos(

2p k

2h tg

p k l

cos(2 ) =

= h cos2(

cos2 = 1 + tg2

1 + h2

cos(2 ) =

k l) cos(2 ) =

= h

+ k h2

+ k

= cos 2 = cos2

sin2 =

-12-

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I

cos(2p

l) sin 2

1 tg2

cos 2 = 2 cos2

1 =

2p k

1 + tg2

2p k

1 + tg2

2p k

p k l

+ k

1 tg2

sin 2

tg(

l) =

h k

sin 2

2 sin cos

2p k

h2 + k

Таким образом,

sin 2

h2 +

l +

l (h2 +

) + h

kXkk2

h2 + k

11.8. III–II

kXkk2 = Z

h sin

k cos

2 dx = = arccos ph2h+ k =

= h2

sin2

1 cos

+ k

k x +

dx =

x + 2 dx =

2p k

sin

k x + 2

x=0! =

h2 +

x=l

h2 +

sin(2p

l) cos 2 + cos(2p

l) sin 2

sin 2

Преобразуем выражения

sin(2 k l) cos 2

cos(2

k l) sin 2

= h

sin(2 k l) cos 2

2 sin(

l) cos(

k l)

= h ctg(

2p k

l)i =

2h ctg

p k

cos(2 ) =

sin2(p k l) cos(2 ) =

sin2 =

cos(2 ) =

1 + ctg2

1 +

h2 + k

+ k

h2 + k

cos 2 = cos2

sin2 =

cos(2p

l) sin 2

1 ctg2

cos 2 = 1

2 sin2

= 1

2p k

1 + ctg2

p k

2p k

+ k

2p k

1 ctg2

sin 2

l) =

sin 2

ctg(

sin 2

2 sin cos

h2 + k

2p k

h2 + k

Таким образом,
		h2	+	k	l	sin 2
kXkk2	=					2p
			2
							k

l +

(

+ k) +

h2 + k

-13-

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I

11.9. III–III

H sin

k x

k cos

k x

dx =

= arccos pH2 + k

kXkk2 = Z

= H2

sin2

H2 +

1 cos

+ k

k x +

x + 2

dx =

2p k

sin

k x + 2

x=0!

H2 +

x=l

H2 +

sin(2p

l) cos 2 + cos(2p

l) sin 2

sin 2

Преобразуем выражения

sin(2

k l) cos 2

cos(2

k l) sin 2

ctg(

sin(2 k l) cos 2

k l) =

2p k

H + h

kp k

H + h

2 sin(

l) cos(

k l)

H + h

cos2(p k l) cos(2 ) =

cos(2 ) =

k Hh

k 2

2 tg

ctg

= cos =

1 + tg2

1 + ctg2

H + h

( k Hh)2

cos(2 ) =

k (H + h)2

1 +

( k Hh)2

k(H+h)2

cos 2 = cos2

sin2 =

H2 k

(H + h) ( k Hh)

H2 k

H2 + k

k (H + h)2 + ( k Hh)2

H2 + k

cos(2p

l) sin 2

1 ctg2

cos 2 = 1

2 sin2

= 1

2p k

1 + ctg2

1 ctg2

sin 2

k Hh

ctg(

l) =

1 + ctg2

p k l

2p k

p k(H + h)

)

k (

(

sin 2

k (H + h)2 + ( k Hh)2

2p k

sin 2

2 sin cos

k (H + h)2 ( k Hh)2

H2 + k

k (H + h)2 + ( k Hh)2 H2 + k

2p k

-14-

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I

Поэтому

sin(2

k l) cos 2 + cos(2 k l) sin 2 sin 2 =

H2 k

k (H + h)2 ( k Hh)2

(H + h) ( k Hh)

k (H + h)2 + ( k Hh)2

H2 + k

k (H + h)2 + ( k Hh)2

H2 + k

(H + h) ( k Hh) (H2 k) H k (H + h)2 ( k Hh)2

H k (H + h)2 + ( k Hh)2

( +

)

+ (

)

(

)

= (H +

) (

k) 2

k (

)

(H + h)2 + ( k

Hh)2

(H2

+ k)

=(H2+ k)(h2+ k)

}

(H + h) k

+ kH(H + h) H h 2H k (H + h)

(H2 + k)2 (h2 + k)

(H + h) k2 + kH(H + h) + H3h

(H + h) ( k + Hh) ( k + H2)

(H2 + k)2 (h2 + k)

Наиболее простой вид это выражение принимает при H = h. В этом случае (он встречается в № 653, 658, 693)

sin(2

k l) cos 2 + cos(2

k l) sin 2 sin 2

2p k

h2 + k

Итак, в общем случае (при H 6= h)

kXkk

l (H2

+ k)2 (h2

+ k) + (H + h) ( k + Hh) ( k + H2)

2 (H2 + k) (h2 + k)

А в случае H = h

l (h2 + k) + 2h

kXkk

-15-

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
28.06.2014270.69 Кб240Задачи Штурма-Лиувилля.pdf
#
28.06.20142.15 Mб75Кузнецов Л. Сборник заданий по высшей математике (типовые).djvu
#
28.06.20141.25 Mб101Лекции.pdf
#
28.06.20141.25 Mб71Лекции_2.pdf
#
28.06.2014652.43 Кб385Типовые.pdf
#
28.06.201427.65 Кб20Экзаменационная программа.doc