6. II рода слева – III рода справа.

X000(0) = X0(l) + hX(l) = 0; h > 0:

(6.1)

X (x) + X(x) = 0;

p

p

при < 0;

X(x) = c1e x + c2e x

X(x) = c1x + c2

при = 0;

При > 0 имеем

p

p

p

p

X0(x) = c1

cos(

x) c2 sin(

x)

И из краевого условия X0(0) = 0 следует, что c1

)

X(x) = c2 cos(p

x) )

= 0;

X0(x) = c2p

sin(p

x). Поэтому из второго краевого условия X0(l) + hX(l) = 0 по-

p

p

p

лучаем, что sin(

l) + h cos( l) = 0, откуда (очевидно, косинус не может быть

n > 0 решения уравнения

p

n

tg(p

n

l) = h;

n 2 N:

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = cos p

x ;

n 2 N:

n

При < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.

При = 0 имеем из краевого условия X0(0) = 0, что c1 = 0; ) X(x) = c2

) X0(x) =

0), и второе краевое условие X0(l) + hX(l) = 0 даёт требование c2 = 0, т.е. данная задача

Штурма–Лиувилля при = 0 также не имеет нетривиальных решений.

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

n x ;

n 2 N (6.2)

n > 0 решения уравнения

n tg( n l) = h;

Xn(x) = cos

p

p

p

X (x) + X(x) = 0;

X000(0) hX(0) = X(l) = 0;

h > 0:

(7.1)

Общее решение уравнения X00(x) + X(x) = 0 имеет вид

p

p

при > 0;

X(x) = c1 sin( x) + c2 cos( x)

p

p

при < 0;

X(x) = c1e x + c2e x

X(x) = c1x + c2

при = 0;

При > 0 имеем

p

p

p

p

X0(x) = c1

cos(

x) c2

sin(

x)

И из краевого условия X0(0) + hX(0) = 0 следует, что

p

p

c2

c1 h c2 = 0 )

= h

:

c1

С другой стороны, из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что

p

p

c2

p

c1 sin(

l) + c2 cos( l) = 0 )

=

tg(

l):

c1

Из двух последних равенств, наконец, получаем:

p

p

p

= h tg(

l);

c1 hc2 = 0:

p

p

Уравнение

= h tg(

l), как легко увидеть из графика, имеет бесконечно много

Лиувилля:

p

p

решения уравнения

n 2 N:

n > 0

= h tg( l);

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = h sin p

x + p

cos p

x ;

n 2 N:

n

n

n

При < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.

При = 0 имеем из краевого условия X0(0) hX(0)

=

0, что c1 hc2 = 0;

)

X(x) = c2(hx + 1), и второе краевое условие X(l) = 0 даёт требование c2(hl + 1) = 0.

Отсюда c2 = c1 = 0 (поскольку hl > 0 по условию задачи), и у данной задачи нетриви-

альных решений, соответствующих = 0 нет.

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

Xn(x) = h sin

p n x

+ p n

p

p

cos

n

N

p n x ;

n

> 0

решения уравнения

=

h tg(

l);

(7.2)

задачи (7.1).

2

X (x) + X(x) = 0;

X000(0) hX(0) = X0(l) = 0;

h > 0:

(8.1)

Общее решение уравнения X00(x) + X(x) = 0 имеет вид

p

p

при > 0;

X(x) = c1 sin( x) + c2 cos( x)

p

p

при < 0;

X(x) = c1e x + c2e x

X(x) = c1x + c2

при = 0;

При > 0 имеем

p

p

p

p

X0(x) = c1

cos(

x) c2

sin(

x)

И из краевого условия X0(0) hX(0) = 0 следует, что

p

p

c2

c1 h c2 = 0 )

= h

:

c1

С другой стороны, из второго краевого условия X0(l) = 0 получаем, что

p

p

c2

p

c1 cos( l) c2 sin( l) = 0 )

= ctg(

l):

c1

Из двух последних равенств, наконец, получаем:

p

p

p

= h ctg( l);

c1 = hc2:

p

p

Уравнение

= h ctg(

l), как легко увидеть из графика, имеет бесконечно много

Лиувилля:

p

p

решения уравнения

n 2 N:

n > 0

= h ctg(

l);

Им соответствует бесконечное множество собственных функций:

Xn(x) = h sin p

x + p

cos p

x ;

n 2 N:

n

n

n

При < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.

При = 0 имеем из краевого условия X0(0) hX(0)

=

0, что c1 hc2 = 0;

)

X(x) = c2(hx + 1), и второе краевое условие X(l) = 0 даёт требование c2(hl + 1) = 0.

Отсюда c2 = c1 = 0 (поскольку hl > 0 по условию задачи), и у данной задачи нетриви-

альных решений, соответствующих = 0 нет.

Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений

Xn(x) = h sin

p n x

+ p n

cos

p

;

p

N

p n x

n

n

> 0

решения уравнения

= h ctg(

l);

(8.2)

задачи (9.1).

2