Добавил:

CanyonE СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Векторная алгебра

Файл:

Рабкин Е. Л., Киселёва А. В., Тащиян Г. М. Векторная алгебра и квадратичные формы.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2020

Размер:

1.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

10. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1 1.1. Найти координаты заданного многочлена Р(х) в указанном базисе

е0, е1, е2, …, еп в пространстве многочленов степени не выше п.

Вариант 1. п = 3, Р(х) = 2х3– 3х + 5, е0 = х2(1 – х), е1 = х(1 – х)2, е2 = 1,

е3 = х3.

Вариант 2. п = 3, Р(х) = х3 + 2х + 3, е0 = х2(2 + х), е1 = х(3 – х)2, е2 = 1,

е3 = х3.

Вариант 3. п = 3, Р(х) = х3 + 4х–3, е0 = (1 + х)3, е1 = х(1 + х)2, е2 = 1 + х,

е3 = х3.

Вариант 4. п = 4, Р(х) = 2х4–3х2 + 1, е0 = 1, е1 = 1 + х, е2 = (1 + х)2, е3 = (1 + х)3, е4 = х4.

Вариант 5. п = 4, Р(х) = 2х4 + 2х2–х, е0 = 1, е1 = х3(1 – х), е2 = х2(1 – х)2,

е3 = х(1 – х)3, е4 = х4.

Вариант 6. п = 4, Р(х) = х4 + 3х3 + 1, е0 = х2(1 – х), е1 = х(1 – х)2, е2 = 1,

е3 = х3, е4 = х4.

Вариант 7. п = 3, Р(х) = 2х3 + 3х–4, е0 = х2(1 + х), е1 = х(1 + х)2, е2 = 1,

е3 = х3.

Вариант 8. п = 3, Р(х) = х3 + 2х + 3, е0 = 1, е1 = х(2 – х)2, е2 = х – х3, е3 = х3.

Вариант 9. п = 4, Р(х) = х4–3х + 5, е0 = х2–х3, е1 = х–х2, е2 = 1, е3 = х, е4 = х4.

Вариант 10. п = 4, Р(х) = 2х3 – 3х – 4, е0 = х3(1 – х), е1 = х(1 – х)3, е2 = 1, е3 = х3, е4 = (1 – х)4.

Вариант 11. п = 4, Р(х) = 2х4 + 4х – 1, е0 = (1 + х)4, е1 = х(1 + х)3, е2 = х2(1 + х)2, е3 = х3(1 + х), е4 = х4.

Вариант 12. п = 4, Р(х) = х, е0 = х4, е1 = х3(1 – х), е2 = х2(1 – х)2,

е3 = х(1 – х)3, е4 = х4.

Вариант 13. п = 4, Р(х) = х4 + 3х3 + 5, е0 = 1 – х, е1 = 1 + х, е2 = х – х2,

е3 = х2 – х3, е4 = х3– х4.

Вариант 14. п = 4, Р(х) = х4 + 3х3 + 5х2, е0 = 1, е1 = 1–х, е2 = х–х2, е3 = х2–х3, е4 = х3–х4.

Вариант 15. п = 4, Р(х) = х4– 3х3 + 5х2, е0 = х, е1 = 1 + х, е2 = 2х – х2, е3 = 3х2 – х3, е4 = 4х3– х4.

Вариант 16. п = 4, Р(х) = х4– 3х3 + 5х2, е0 = х, е1 = 1 + х, е2 = 2х – х2,

е3 = х3(1 + х), е4 = х4.

Вариант 17. п = 4, Р(х) = 4х4– 2х2– 4х – 1, е0 = (1 + х)4, е1 = х(1 – х)3, е2 = х2(1 + х)2, е3 = х3(1 – х), е4 = х4.

Вариант 18. п = 4, Р(х) = х4 – 2х3 + 2х – 1, е0 = (1 + х)4, е1 = х(1 + х)3, е2 = х2(1 + х)2, е3 = х3(1 + х), е4 = х4.

Вариант 19. п = 4, Р(х) = 2х4 + 3х3–х2– 2, е0 = (1 – х)4, е1 = х(1 – х)3, е2 = х2(1 – х)2, е3 = х3(1 – х), е4 = х4.

Вариант 20. п = 3, Р(х) = 2х3 + 4х – 1, е0 = (1 + х)3, е1 = х(1 + х)2, е2 = х2(1 + х), е3 = х3.

Вариант 21. п = 3, Р(х) = х3 + 3х3– 2х – 1, е0 = (1 – х)3, е1 = х(1 + х)2, е2 = х2(1 + х), е3 = х3(1 – х).

Вариант 22. п = 4, Р(х) = 3х4 + 4х3– х2– х, е0 = х4, е1 = х4– х3, е2 = х4– х2, е3 = х3– х, е4 = 1.

Вариант 23. п = 4, Р(х) = 2х4 + 3х2– 3х – 1, е0 = х4– х2, е1 = х – х3, е2 = 1 + х2, е3 = х3 + х, е4 = х4.

Вариант 24. п = 4, Р(х) = 2х4 + 4х2 – 4х – 1, е0 = (1 + х)4, е1 = х3, е2 = х2(1 + х)2, е3 = 1 + х, е4 = х4.

Вариант 25. п = 3, Р(х) = 2х3– 3х + 5, е0 = х2(1 – х), е1 = х(1 – х)2, е2 = 1,

е3 = х3.

1.2. Найти координаты заданной матрицы А в указанном базисе е1, е2,

е3, е4.
	1 2								1 1						1 1								1 0								0 1
Вариант 1.	A			,		e1							,	e2				,			e3						,	e4				.
		3 4							1 0						0 1								1 1								1 1
	1 1						e1				2 1					1		2						1 0							0 1
Вариант 2.	A	3 2				,	e1							, e2						,	e3						,	e4				.
		3 2								1 0						0 1									2 1						1	2
	3 2						e1			3 1						1		2						1 0							0	3
Вариант 3.	A					,	e1						, e2						, e3							,		e4				.
		3 3									2 0						0	3							2 3						1 2
	1 2							1 1							1		1				e3				1 0						0	1
Вариант 4.	A		,		e1								,	e2						,	e3				1 1			,	e4			.
	1 4									2 0					0			2							1 1						1	3
	1 1							1 2							2		1					2			0					0		2
Вариант 5.	A		,		e1						,	e2						,	e3						,		e4					.
	1 1								2		0				0		2					1			2						2	1
	1 0								1 1						1 1								1 0							0 1
Вариант 6.	A		,			e1					,			e2					,	e3						,	e4					.
		0 1							1 0							0 1							1 1							1 1
	0 1							1 1					e2		1 1								1 0							0 1
Вариант 7.	A	,			e1							,	e2						,	e3						,	e4					.
	1 0							1			0					0 1							1 1							1 1

		1 1								1 1								1 1									1 0							0 1
Вариант 8.	A				,		e1							, e2									,	e3							, e4						.
			0 1							1 1								0 1									1 1							1 1
		1 1									1 1							1					1		e3			1			0					0 1
Вариант 9.	A			,	e1					1 0				, e2									,								, e4							.
		1	1																	0		1								1 1					1 1
		A	1 0									1		2						2 1										1	0					0 1
Вариант 10.							,	e1						, e2											,		e3					, e4						.
			2 0									1		0						0 1										1 1						1 1
			1 2										1 1								1 1									1	0					1 1
Вариант 11.		A		3 4					, e1								, e2									,	e3					, e4						.
													1 0									0 1								1 1						1 1
				1 2									1 1								1		1							1 0							0 1
Вариант 12.		A					, e1								, e2												, e3						, e4					.
				3 4									1 0								0		1							1 1						1 1
			1 0										1 1								1 1									1 0					0 1
Вариант 13.		A						,	e1							, e2										,	e3						, e4					.
			2 0										1 1									0 1								1 1					1 1
			1 1										1 1								1 1									1 0					0		1
Вариант 14.		A						,	e1							, e2										,	e3				, e4							.
			2 0										1	0							0 1									1 1					1		1
			1 2									1 1							1 1							e3			2		0				0 1
Вариант 15.		A					,	e1							, e2									,							, e4							.
				2 1								1 0									0 1								1		2				1 1
			1 2										1 1							2			2							1	0						0 1
Вариант 16.		A						,	e1							, e2										,	e3					, e4						.
				2 0									2	0						0 1										1 1						1 1
			1 2									1 1								1 1										1	0				2 1
Вариант 17.		A						,	e1					, e2											, e3								, e4					.
				0 0								1 0								0 1										1	2				1 1
			1 1										1 1									1 1								1 0							0 1
Вариант 18.		A					, e1										, e2										, e3						, e4					.
			2 0										1 0										0 1							1 1						1 1
			1 0									1 1								1 1						e3			1 0						0		1
Вариант 19.		A						,	e1					, e2										,							, e4							.
			2 0									1 0								0 1									2 1						1			2
			1 0								1 1							1 2								e3			1		0				0			1
Вариант 20.		A				,		e1						, e2										,							, e4							.
			2 1								1 0							0				1							1 1						1 1
			1 1										1 1							1 1						e3			1 0						0 1
Вариант 21.		A						,	e1					, e2										,								, e4						.
			1 0										1 1							0 1									1 1						1 1
			1 1						e1			1 1							1 1									2			0				0		1
Вариант 22.		A			,										, e2								,			e3						, e4						.
				2 1								1 0									0 1							1 1							1		1
			1 0									1 1								1 1										1 0						0 1
Вариант 23.		A					,	e1						, e2												,	e3					, e4						.
				0 1								1 0								0 1										1 1						1 1

	1 1			1 1				1 1			1	0				0 1
Вариант 24.	A		, e1				, e2		, e3					, e4				.
	1 1			1 0				0 1			1	1				1	1
	1 0			1	1			1	1		1		0			0 1
Вариант 25.	A		, e1			, e2				, e3					, e4			.
		2 1		1	0			0	1		1		1			1	1

1.3. Найти координаты заданного 4-мерного вектора х в базисе линейной оболочки L(x1, x2, х3), где x1, x2, х3 – вектора; найти при этом те значения параметров λ, μ, при котором х принадлежит данной линейной оболочке.

Вариант 1. х = (1, 2, 3, λ), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1). Вариант 2. х = (λ, 2, 3, 1), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1, 1), х3 = (1, 1, 1, 0). Вариант 3. х = (1, λ, 3, 1), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1). Вариант 4. х = (1, 2, λ, μ), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1).

Вариант 5. х = (3, 2, 3, λ), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1). Вариант 6. х = (λ, μ, 3, 0), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1). Вариант 7. х = (1, 2, λ, 1), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1). Вариант 8. х = (λ, 1, 1, 1), х1 = (2, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 2, 1), х3 = (1, 2, 1, 0). Вариант 9. х = (1, λ, 1, 1), х1 = (1, 1, 0, 2), х2 = (0, 2, 0, 1), х3 = (2, 0, 1, 1). Вариант 10. х = (λ, 2, 3, 1), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1, 1), х3 = (1, 1, 1, 0). Вариант 11. х = (2, λ, 3, 1), х1 = (3, 1, 0, 1), х2 = (0, 2, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1). Вариант 12. х = (1, 2, λ, 1), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1, 1), х3 = (1, 1, 1, 0). Вариант 13. х = (1, 1, 3, λ), х1 = (1, 1, 0, 2), х2 = (0, 1, 0, 2), х3 = (1, 0, 1, 2). Вариант 14. х = (λ, 2, –2, 1), х1 = (2, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1, 1), х3 = (3, 1, 1, 0). Вариант 15. х = (0, λ, 3, 2), х1 = (1, 2, 0, 1), х2 = (0, 2, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1). Вариант 16. х = (1, 2, λ, 1), х1 = (1, 1, 2, 1), х2 = (0, 1, 1, 1), х3 = (1, 1, 1, 0). Вариант 17. х = (1, 1, 3, λ), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 2), х3 = (1, 0, 1, 3). Вариант 18. х = (λ, 3, 2, 1), х1 = (3, 2, 0, 1), х2 = (0, 1, 2, 3), х3 = (12, 3, 0). Вариант 19. х = (λ, μ, 3, 1), х1 = (2, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (3, 0, 1, 1). Вариант 20. х = (λ, 2, –2, 1), х1 = (3, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (2, 1, 1, 0). Вариант 21. х = (1, λ, μ, 1), х1 = (2, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 2). Вариант 22. х = (0, 2, λ, 1), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 2, 1), х3 = (1, 3, 1, 0). Вариант 23. х = (1, 0, 3, λ), х1 = (1, 1, 0, 4), х2 = (0, 1, 0, 3), х3 = (1, 0, 1, 2). Вариант 24. х = (λ, 2, 1, 1), х1 = (3, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1, 1), х3 = (2, 1, 1, 0). Вариант 25. х = (1, λ, μ, 1), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1).

Задание 2

Найти размерности и базисы четырех пространств: заданных X и Y, их суммы X+Y и пересечения X Y. (X и Y могут быть заданы: как линейные оболочки данных элементов, как множества решений данной однородной

системы линейных уравнений, как подмножество пространства многочленов, удовлетворяющих каким-либо дополнительным условиям).

Вариант 1. X = L(a, b, c, d), a = (0, 1, 2, 1), b = (2, 1, 0, 1), c = (1, 1, 1, 1), d = (1, 1, 0, 0);

Y = L(p, q, r), p = (3, 1, 0, 1), q = (0, 2, 1, 0), r = (0, 0, 1, ).

Вариант 2. X = L(a, b, c, d), a = (3, 2, 1, 0), b = (–1, 1, 0, 1), c = (1, 0, 2, 2), d = (1, 1, 1, 1);

Y = L(p, q, r), p = (2, 1, 0, 1), q = (0, 2, 1, –2), r = (0, –1, 1, 3).

Вариант 3. X = L(a, b, c, d), a = (0, 1, 2, 1), b = (2, 1, 0, 1), c = (1, 1, 1, 1), d = (1, 1, 0, 0);

Y = L(p, q, r), p = (3, 1, 0, 1), q = (0, 2, 1, 1), r = (0, 0, 2, 1).

Вариант 4. X = L(a, b, c, d), a = (3, 1, 2, 1), b = (2, 1, 0, 1), c = (1, 1, 1, 3), d = (2, 1, 3, 3);

Y = L(p, q, r), p = (3, 1, 0, 1), q = (0, 2, 1, 0), r = (1, 2, 1, 0).

Вариант 5. X = L(a, b, c, d), a = (3, 2, 1, 2), b = (2, 1, 0, 1), c = (1, 1, 1, 1), d = (1, 0, –1, 0);

Y = L(p, q, r), p = (1, 3, 1, 0), q = (0, –2, 1, 3), r = (0, 0, 1, 2).

Вариант 6. X = L(a, b, c, d), a = (0, 1, 2, 3), b = (2, 1, 0, 1), c = (1, 1, 1, 1), d = (1, 1, 1, 3);

Y = L(p, q, r), p = (3, 1, 0, 1), q = (0, 2, 1, 2), r = (0, 0, 2, 6).

Вариант 7. Х – множество решений 1-й системы, Y – множество решений 2-й системы:

3x1		2x2 x3 3x4 5x5 0					3x1 2x2 x3 3x4 5x5 0
		4x2 3x3 5x4			7x5 0				4x2 3x3 5x4				7x5 0
6x1		4x2 3x3 5x4			7x5 0	Y:	6x1		4x2 3x3 5x4				7x5 0
Х:					;	Y:								.
9x1		6x2 5x3 7x4 9x5 0					x3	x4 3x5			0
3x 2x 2x 2x 2x 0							3x 2x 2x 2x 2x 0
	1	2	3	4	5			1		2	3	4	5
Вариант 8. Х – множество решений 1-й системы, Y – множество ре-
шений 2-й системы:
x 2x 3x x x 0
	1	2	3	4	5	2x1 3x2 5x3 4x4 4x5 0
2x1		x2 x3 2x4 2x5 0									2x4 2x5 0 .
Х:					; Y: 3x1 4x2 x3						2x4 2x5 0 .
3x		x 4x x x 0				x 7x 6x 6x 6x 0
	1	2	3	4	5	x 7x 6x 6x 6x 0
	1	2	3	4	5	1
x 3x 2x 3x 3x 0						1			2	3		4	5
x 3x 2x 3x 3x 0
	1	2	3	4	5
Вариант 9. Х – множество решений 1-й системы, Y – множество ре-
шений 2-й системы:
3x1		2x2 x3 x4 5x5 0					x1 2x2 x3 x4 5x5 0
		4x2 2x3 5x4			7x5 0				4x2 3x3 5x4				6x5	0
6x1		4x2 2x3 5x4			7x5 0	Y:	2x1		4x2 3x3 5x4				6x5	0
Х:					;	Y:								.
9x1		6x2 x3 7x4 9x5 0					x1	3x2 x3			2x4 3x5			0
3x 2x x 4x 2x 0							2x 5x 2x x 8x 0
	1	2	3	4	5			1		2	3	4	5

Вариант 10. Х – множество решений 1-й системы, Y – множество решений 2-й системы:

x x 2x 3x x 0
	1	2	3	4 5	0	2x1 2x2 x3		x4 4x5		0
x1 4x2 x3 3x4 x5							4x2 2x3	2x4 x5		0 .
Х:	2x	3x	4x 3x		2x 0	; Y: x1
						x	2x x 3x 3x			0
	1	2	3	4	5
						1
3x x 5x 3x 0							2 3	4	5
	1	2	3	5

Вариант 11. Х – множество решений 1-й системы, Y – множество решений 2-й системы:

x 3x x 3x 2x 0
	1	2	3	4		5		x1 2x2 x3 3x4 5x5 0
2x1		x2 3x3		2x4	4x5		0		3x2	3x3 5x4		3x5 0 .
Х:	2x	2x 4x 3x x					0	; Y: 2x1	3x2	3x3 5x4		3x5 0 .
	2x	2x 4x 3x x					0	x x 4x 8x 2x 0
	1		2	3	4	5		x x 4x 8x 2x 0
	1		2	3	4	5		1
x x 3x 6x x 0								1	2	3	4	5
x x 3x 6x x 0
	1	2	3	4		5

Вариант 12. Х – множество решений 1-й системы, Y – множество решений 2-й системы:

3x1 2x2 x3 x4 5x5					0	x1	x2 x3 2x4 5x5 0
		4x2	3x3 2x4 x5 0			x1	x2 x3 2x4 5x5 0
4x1		4x2	3x3 2x4 x5 0
Х:	x 2x 2x			4x x	0	; Y: 2x1 4x2 3x3 2x4 x5 0.
	x 2x 2x			4x x	0	x	5x 2x 4x 6x 0
	1	2	3	4 5		x	5x 2x 4x 6x 0
3x 6x x 2x 0						1	2	3	4	5
	1	2	3	4

Вариант 13. X = L(a, b, c, d), a = (0, 1, 2, –1, 1), b = (2, 1, 0, 1, 3), c = (1, 1, 1, 3, 0), d = (1, 1, 1, 1, 0);

	x 2x x 3x 5x 0
		1	2	3	4	5
Y – множество решений системы	2x1 3x2			3x3	5x4	3x5 0 .
	x x 4x 8x 2x 0
		1	2	3	4	5
Вариант 14. X = L(a, b, c, d), a = (3, 2, 1, 0, –2), b = (–1, 1, 0, 1, 1),
c = (1, 0, 2, 2, 2), d = (1, 1, 1, 1, 3);
	3x1 2x2 x3 x4 5x5 0
			4x2	3x3	2x4 x5 0
Y – множество решений системы	4x1		4x2	3x3	2x4 x5 0
Y – множество решений системы
	x1 2x2 2x3 4x4 x5 0
	3x 6x x 2x 0
		1	2	3	4
Вариант 15. X = L(a, b, c, d), a = (0, 1, 2, 1, 0), b = (2, 1, 0, 1, 2),
c = (1, 1, 2, 1, 1), d = (1, 1, 0, 1, 1);
	x x x 2x 5x 0
		1	2	3	4	5
Y – множество решений системы	2x1 4x2			3x3	2x4 x5 0 .
	x 5x 2x 4x 6x 0
		1	2	3	4	5

Вариант 16. X = L(a, b, c, d), a = (1, 1, 3, 1, –1), b = (2, 1, 0, 1, 3), c = (1, 2, 1, 2, 2), d = (3, 2, 2, 2, 2);

3x1 2x2 x3 x4 5x5 0
		4x2	3x3	2x4	x5 0
4x1		4x2	3x3	2x4	x5 0	.
Y – множество решений системы						.
x1 2x2 2x3 4x4 x5 0
3x 6x x 2x 0
	1	2	3	4
Вариант 17. X = L(a, b, c, d), a = (3, 2, 1, 2, –2), b = (–1, 1, 0, 1, 2),
c = (1, 1, 1, 1, 2), d = (1, 0, 2, 0, 2);
2x1 3x2 5x3 4x4 4x5 0
		4x2	x3 2x4 2x5 0 .
Y – множество решений системы 3x1		4x2	x3 2x4 2x5 0 .
x 7x 6x 6x 6x 0
	1	2	3	4	5
Вариант 18. X = L(a, b, c, d), a = (0, 1, 2, 3, 1), b = (2, 1, 0, 1, –2),
c = (1, 1, 1, 1, 2), d = (1, 1, 1, –1, 3);
x1 2x2 3x3 x4 x5 0
		x2 x3 2x4 2x5 0
2x1		x2 x3 2x4 2x5 0				.
Y – множество решений системы		x2 4x3 x4 x5 0				.
3x1		x2 4x3 x4 x5 0
x 3x 2x 3x 3x 0
	1	2	3	4	5

Вариант 19. Х и Y – пространства многочленов степени не выше 4, Х – состоит из многочленов Р(х), удовлетворяющих равенствам

3Р(1) + 2Р΄(2) – 3Р΄΄(1) = 0, P΄(1) = P΄(2) – 2P΄΄(1),

Y – cостоит из четных многочленов, удовлетворяющих равенствам

Р(1) = Р΄(2) = 0.

Вариант 20. Х и Y – пространства многочленов степени не выше 4, Х – состоит из многочленов Р(х), удовлетворяющих равенствам

Р(1) = 0, P΄΄(2) = 0, P΄΄(1) = 0,

Y – cостоит из нечетных многочленов, удовлетворяющих равенствам

Р(1)+2Р΄(2) = 0, 2Р΄΄(2) – P΄΄(3) = 0.

Вариант 21. Х и Y – пространства многочленов степени не выше 4, Х – состоит из многочленов Р(х), удовлетворяющих равенствам

3Р(1) + Р΄(2) – 2Р΄΄(1) = 0, P΄(1) = 0, P΄(2) – 2P΄΄(3) = 0,

Y – cостоит из многочленов, удовлетворяющих равенствам

Р(1) = Р΄(2) = 0.

Вариант 22. Х и Y – пространства многочленов степени не выше 4, Х – состоит из многочленов Р(х), удовлетворяющих равенствам

Р(2) – 2Р΄΄(1) = 0, P΄(2) = P΄(3) – 2P΄΄(3),

Y – cостоит из четных многочленов, удовлетворяющих равенствам

Р(1) = Р΄(2) = 0.

Вариант 23. Х и Y – пространства многочленов степени не выше 4, Х – состоит из многочленов Р(х), удовлетворяющих равенствам

2Р(1) + Р΄(2) = 0, 2P΄(2) – P΄΄(3) = 0,

Y – cостоит из нечетных многочленов, удовлетворяющих равенству

Р(1) = 0.

Вариант 24. Х и Y – пространства многочленов степени не выше 4, Х – состоит из многочленов Р(х), удовлетворяющих равенствам

Р(1) = 2Р΄(2) – 3Р΄΄(3) = 0, P΄(1) = 0,

Y – cостоит из многочленов, удовлетворяющих равенству

Р(0) + Р΄(1) = Р΄(0) = 0.

Вариант 25. Х и Y – пространства многочленов степени не выше 4, Х – состоит из многочленов Р(х), удовлетворяющих равенствам

Р(1) – Р΄(1) = 0, Р΄΄(2) = 0,

Y – cостоит из многочленов, удовлетворяющих равенствам

Р(1) = Р(2) – Р΄(2) = 0.

Задание 3

Ортогонализовать набор данных элементов в данном унитарном пространстве:

а) набор векторов х1 , х2, х3, х4 в 4-мерном евклидовом пространстве; б) набор многочленов 1, х, х2, х3 в унитарном пространстве с данным

весом, т. е. в котором скалярное произведение вычисляется по формуле ( f (x), g(x)) ab p(x) f (x)g(x)dx , где a и b – данные числа, а р(х) > 0 – данная функция.

Вариант 1. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1), х4 = (0, 1, 2, 1); б) a = 0, b = 1, p(x) = 1 + x2.

Вариант 2. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1, 1), х3 = (1, 1, 1, 0), х4 = (0, 0, 1, 1); б) a = –1, b = 1, p(x) = 2 – x2.

Вариант 3. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1), х4 = (1, 1, 1, 0); б) a = 0, b = 1, p(x) = 1 + х + x2.

Вариант 4. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1), х4 = (2, 1, 1, 0); б) a = 0, b = 1, p(x) = ех.

Вариант 5. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1), х4 = (1, 1, 2, 1); б) a = 0, b = 1, p(x) = ех + 1.

Вариант 6. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1), х4 = (1, 0, 1, 0); б) a = 0, b = 1, p(x) = ех + x.

Вариант 7. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1, 1), х3 = (1, 0, 1, 1), х4 = (1, 1, 1, 0); б) a = 0, b = 1, p(x) = ех + x2.

Вариант 8. а) х1 = (2, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 2, 1), х3 = (1, 2, 1, 0), х4 = (1, 1, 1, 1); б) a = –1, b = 1, p(x) = ех.

Вариант 9. а) х1 = (1, 1, 0, 2), х2 = (0, 2, 0,	1),	х3	=	(2,	0,	1,	1),
х4 = (0, 0, 2, 1);
б) a = –π, b = π, p(x) = 2 + cosx.
Вариант 10. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1,	1),	х3	=	(1,	1,	1,	0),
х4 = (1, 0, 0, 1);
б) a = –π, b = π, p(x) = 3 + cosx.
Вариант 11. а) х1 = (3, 1, 0, 1), х2 = (0, 2, 0,	1),	х3	=	(1,	0,	1,	1),
х4 = (1, 0, 1, 2);
б) a = –π, b = π, p(x) = 2 + sinx.
Вариант 12. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1,	1),	х3	=	(1,	1,	1,	0),
х4 = (–1, 0, 1, 2);
б) a = –π, b = π, p(x) = 1 + x sinx.
Вариант 13. а) х1 = (1, 1, 0, 2), х2 = (0, 1, 0,	2),	х3	=	(1,	0,	1,	2),
х4 = (1, 1, 1, 1);
б) a = 0, b = 1, p(x) = 1 + e–x.
Вариант 14. а) х1 = (2, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1,	1),	х3	=	(3,	1,	1,	0),
х4 = (1, 0, 1, 2);
б) a = –1, b = 1, p(x) = e–x.
Вариант 15. а) х1 = (1, 2, 0, 1), х2 = (0, 2, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1), х4 = (1, 1, 1, 0);
б) a = 0, b = 1, p(x) = 1 + x2.
Вариант 16. а) х1 = (1, 1, 2, 1), х2 = (0, 1, 1,	1),	х3	=	(1,	1,	1,	0),
х4 = (1, 2, 1, 1);
б) a = 0, b = 1, p(x) = 1 + x4.
Вариант 17. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0,	2),	х3	=	(1,	0,	1,	3),
х4 = (1, 1, 1, 1);
б) a = 0, b = 1, p(x) = 1 – x + x2.
Вариант 18. а) х1 = (3, 2, 0, 1), х2 = (0, 1, 2,	3),	х3	=	(1,	2,	3,	0),
х4 = (1, 0, 0, 1);
б) a = 0, b = 1, p(x) = e2x.
Вариант 19. а) х1 = (2, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0,	1),	х3	=	(3,	0,	1,	1),
х4 = (1, 1, 1, 1);
б) a = 0, b = 1, p(x) = e–2x.
Вариант 20. а) х1 = (3, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1,	1),	х3	=	(2,	1,	1,	0),
х4 = (1, 1, 1, 1);
б) a = 0, b = 1, p(x) = 2 – x.

Вариант 21. а) х1 = (2, 1, 0, 1), х2	=	(0,	1,	0,	1),	х3	=	(1,	0,	1,	2),
х4 = (1, 1, 1, 0);
б) a = 0, b = 1, p(x) = 1 + 2x.
Вариант 22. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2	=	(0,	1,	2,	1),	х3	=	(1,	3,	1,	0),
х4 = (0, 1, 2, 3);
б) a = 0, b = 1, p(x) = 2 – x + x2.
Вариант 23. а) х1 = (1, 1, 0, 4), х2	=	(0,	1,	0,	3),	х3	=	(1,	0,	1,	2),
х4 = (2, 1, 1, 0);
б) a = –1, b = 2, p(x) = 1 + x2.
Вариант 24. а) х1 = (3, 1, 0, 1), х2	=	(0,	1,	1,	1),	х3	=	(2,	1,	1,	0),
х4 = (1, 0, 1, 2);
б) a = –1, b = 1, p(x) = ex + e–x.
Вариант 25. а) х1 = (1, 1, 0, 1), х2	=	(0,	1,	0,	1),	х3	=	(1,	0,	1,	1),
х4 = (1, 0, 1, 0);
б) a = 1, b = 2, p(x) = ex – e–x.

Задание 4

Даны 2 линейных оператора А и В в пространстве многочленов степени п, не выше указанной, вида Р(х) = с0 + с1х + с2х2 + с3х3 +…+ сп :

а) найти формулы, по которым действуют операторы АВ и ВА и их

разность, т. е. коммутатор С = АВ – ВА;

б) найти в стандартном базисе е0 = 1, е1 = х, е2 = х2, е3 = x3, …, еп = хп их матрицы, а также матрицы их произведения, т. е. операторов АВ и ВА, и разности матриц этих произведений, т. е. коммутатора С = АВ – ВА;

в) вычислить матрицу АВ – ВА и убедиться, что она действительно

совпадает с матрицей оператора С.

Вариант 1. п = 3, АР = (2х2 + х – 3)Р΄΄+ (х – 2)P΄+ Р;

BP = (x2+ 2x)P΄΄– xP΄+ 2Р.

Вариант 2. п = 3, АР = (х2 – 3х + 1)Р΄΄+ (2x – 1)P΄+ 2Р;

BP = (2x2 + x + 1)P΄΄– (x + 1)P΄+ Р.

Вариант 3. п = 4, АР = (2х2 + х – 3)Р΄΄+ (x – 2)P΄+ Р;

BP = (x2 – 2x)P΄΄– (3x – 1)P΄+ 2Р.

Вариант 4. п = 4, АР = (2х2– 3)Р΄΄+ 2(x – 2)P΄– Р;

BP = (x2 – x)P΄΄ – xP΄– 2Р.

Вариант 5. п = 4, АР = (х2 + 2х – 3)Р΄΄+ (x – 1)P΄– 2Р;

BP = (2x – 1)P΄΄– 2xP΄+ 2Р.

100

Вариант 6. п = 3, АР = 2х2Р΄΄+ 3(x – 2)P΄+ 3Р;

BP = x(2х + 1)P΄΄– (2x + 1)P΄– 3Р.

Вариант 7. п = 3, АР = (3х2+ 2х – 1)Р΄΄+ 2(x – 2)P΄+ Р;

BP = (x + 1)2P΄΄– (x + 1)P΄+ 2Р.

Вариант 8. п = 3, АР = (х2 + х – 1)Р΄΄– (x – 2)P΄– Р;

BP = (3x2 – 2x – 1)P΄΄– (x – 1)P΄– 2Р).

Вариант 9. п = 3, АР = (х2 + х + 2)Р΄΄+ 2(x – 2)P΄+ Р;

BP = (x – 2)2P΄΄– (x + 1)P΄+ 2Р.

Вариант 10. п = 4, АР = (х – 3)Р΄΄+ (x – 2)P΄+ Р;

BP = (x2 + 2x + 3)P΄΄– (3x – 1)P΄+ 3Р.

Вариант 11. п = 4, АР = ( –2х2 + х – 2)Р΄΄+ (2x – 1)P΄– Р;

BP = (x2 – 2x – 3)P΄΄– 3(x – 1)P΄– 3Р.

Вариант 12. п = 4, АР = –(2х2+ х – 3)Р΄΄+ (x + 2)P΄+ Р;

BP = –(x2 + 2x)P΄΄– 2xP΄+ 2Р.

Вариант 13. п = 4, АР = (х2 + х – 1)Р΄΄+ (x + 2)P΄– Р;

BP = –(x2 + 2x)P΄΄– 3xP΄+ Р.

Вариант 14. п = 3, АР = (х2 + х + 1)Р΄΄– (x – 2)P΄+ Р;

BP = –(x + 1)2P΄΄+ (2 – x)P΄– 2Р.

Вариант 15. п = 3, АР = (2х2– х – 3)Р΄΄+ (3x – 2)P΄+ Р;

BP = –(x2 + 2x – 2)P΄΄+ (3 – x)P΄+2 Р).

Вариант 16. п = 3, АР = –(х2 + х – 3)Р΄΄+ (2 – 3х)P΄– Р;

BP = –х(x + 1)P΄΄– (x – 3)P΄+ 3Р.

Вариант 17. п = 3, АР = –(2х2 + х + 3)Р΄΄+ (x – 1)P΄– 2Р;

BP = (–x2 + 2x + 1)P΄΄+ (1 – x)P΄+ 2Р.

Вариант 18. п = 4, АР = –(–х2 + 2х – 4)Р΄΄+ (4x – 1)P΄+ 4Р;

BP = (–x2+ x)P΄΄– (x + 4)P΄– Р.

Вариант 19.п = 4, АР = (4х2+ х – 3)Р΄΄+ (x – 4)P΄+ Р;

BP = (x2– 4x)P΄΄–(3x – 4)P΄+ 4Р.

Вариант 20. п = 4, АР = –(2х2– 3)Р΄΄+ 3(x – 2)P΄– Р;

BP = (x2 –x + 1)P΄΄– (4x – 3)P΄– 3Р.

Вариант 21. п = 4, АР = 3(х2– 2х – 3)Р΄΄– (x – 1)P΄– 4Р;

BP = (4x – 1)P΄΄– (3x + 4)P΄+ 2Р.

Вариант 22. п = 3, АР = –2х2Р΄΄+ 4(x – 2)P΄– 4Р;

BP = 2x(2х + 1)P΄΄– (2x + 1)P΄+ 3Р.

Вариант 23. п = 3, АР = –(3х2– 2х – 1)Р΄΄– 2(x – 2)P΄+ Р;

BP = (x + 1)2P΄΄– 3(x + 4)P΄– 3Р.

101

Вариант 24. п = 3, АР = –(х2 + 4х – 1)Р’’– (4x –1 )P΄– Р;

BP = –(3x2 – 2x – 4)P΄΄– 2(x – 3)P΄+ 2Р. Вариант 25. п = 4, АР = (4х2 + 3х + 2)Р΄΄+ 2(3x – 2)P΄– 3Р;

BP = –(x – 2)2P΄΄– (4x+ 1)P΄+ 4Р.

Задание 5

1)Привести к каноническому виду данное уравнение второго порядка от двух переменных; выяснить, какую кривую оно задает; указать ее полуоси или параметр; указать формулы перехода к канонической системе координат; построить эту кривую в исходной системе координат.

2)Привести к каноническому виду данное уравнение второго порядка от трех переменных; выяснить, какую поверхность оно задает; указать ее полуоси или параметры; указать формулы перехода к канонической системе координат; построить эту поверхность в канонической системе ко-

ординат.

Вариант 1. 1) 9x2 – 4xy + 6y2 + 16x – 8y – 2 = 0;

2) 7x2 + 6y2 + 5z2 – 4xy – 4yz – 6x – 24y + 18z + 30 = 0.

Вариант 2. 1) x2 –2xy + y2 – 10x – 6y + 25 = 0;

2) 2x2 –7y2 – 4z2 + 4xy –16xz +20yz + 60x –12y + 12z – 90 = 0.

Вариант 3. 1) 5x2 + 12xy –22x – 12y – 19 = 0;

2) 2x2 + 2y2 –5z2 + 2xy – 2x – 4y – 4z + 2 = 0. Вариант 4. 1) 4x2 – 4xy + y2 – 6x + 3y – 4 = 0;

2) 2x2 + 2y2 + 3z2 + 4xy + 2xz + 2yz – 4x + 6y – 2z + 3 = 0. Вариант 5. 1) 2x2 + 4xy + 5y2 – 6x – 8y – 1 = 0;

2) 4x2 + y2 + 4z2 – 4xy – 8xz + 4yz – 28x + 2y + 16z + 45 = 0. Вариант 6. 1) x2 – 4xy + 4y2 –4x – 3y – 7 = 0;

2) 2x2 + 5y2 + 2z2 – 2xy – 4xz + 2yz + 2x – 10y – 2z – 1 = 0.

Вариант 7. 1) 3x2 + 10xy + 3y2 –2x – 14y – 13 = 0;

2) 2x2 + y2 – 4xy – 4yz – 8x + 6y + 4z + 7 = 0.

Вариант 8. 1) 25 x2 – 14xy + 25y2 + 64x – 64y – 224 = 0;

2) x2 + 2y2 + 3z2 – 4xy – 4yz + 2x – 6z + 4 = 0.

Вариант 9. 1) 4xy + 3y2 + 16x + 12y – 36 = 0;

2) 3x2 + 4y2 + 5z2 – 4xy – 4yz – 12x – 4z + 8 = 0.

Вариант 10. 1) 7x2 + 6xy – y2 + 28x + 12y + 28 = 0;

2) 2x2 + 5y2 + 5z2 + 4xy – 4xz – 8yz + 4x – 2y + 13 = 0.

Вариант 11. 1) 19x2 + 6xy + 11y2 + 38x + 6y + 29 = 0;

2) x2 – 2y2 – 2z2 –4xy + 4xz + 8yz – 12x – 4y + 4z – 8 = 0.

Вариант 12. 1) 5x2 – 2xy + 5y2 – 4x + 20y + 20 = 0;

2) 5x2 + 6y2 + 4z2 – 4xy – 4xz – 6x + 4y – 4z + 5 = 0.

102

Вариант 13. 1) 14x2 + 24xy + 21y2 – 4x + 18y – 139 = 0;

2) 3x2 + 6y2 + 3z2 – 4xy – 8xz – 4yz + 6x + 4y + 6z – 4 = 0.

Вариант 14. 1) 11x2 – 20xy – 4y2 – 20x – 8y + 1 = 0;

2) 7x2 + 5y2 + 3z2 – 8xy + 8yz + 8x – 18y – 14z + 16 = 0.

Вариант 15. 1) 7x2 + 60xy + 32x – 14x – 60y + 7 = 0;

2) 2x2 + 2y2 – 5z2 + 2xy – 2x – 4y – 4z + 2 = 0.

Вариант 16. 1) 50x2 – 8xy + 35y2 + 100x – 8y + 67 = 0;

2) x2 + 5 y 2 + z2 + 2xy + 6xz + 2yz – 2x + 6y + 2z = 0.

Вариант 17. 1) 41x2 + 24xy + 34y2 + 34x – 112y + 129 = 0;

2) x2 – 2y2 + z2 + 4xy – 10xz + 4yz + 2x + 4y – 10z – 1 = 0.

Вариант 18. 1) 29x2 – 24xy + 36y2 + 82x – 96y – 91 = 0;

2) 5x2 + 6y2 + 7z2 – 4xy – 4yz – 18x – 24y – 6z + 30 = 0.

Вариант 19. 1) 4x2 + 24xy + 11y2 + 64x + 42y + 51 = 0;

2) 4x2 + 7y2 –2z2 –20xy +16xz – 4yz –12x +12y – 60z +90 = 0.

Вариант 20. 1) 41x2 + 24xy + 9y2 + 24x + 18y – 36 = 0; 2) 5x2 – 2y2 – 2z2 – 2yz + 4x + 4y + 2z – 2 = 0.

Вариант 21. 1) 9x2 – 24xy + 16y2 – 20x + 110y – 50 = 0; 2) 2x2 + 2y2 – 5z2 + 2xy – 2x – 4y – 4z + 2 = 0.

Вариант 22. 1) 9x2 + 12xy + 4y2 – 24x – 16y + 3 = 0;

2) 3x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy + 4yz – 2x + 6y – 4z + 3 = 0.

Вариант 23. 1) 16x2 – 24xy + 9y2 – 160x + 120y + 425 = 0;

2) 4x2 + 4y2 + z2 – 8xy – 4xz + 4yz – 28x + 16y + 2z + 45 = 0.

Вариант 24. 1) 9x2 + 24xy + 16y2 – 18x + 226y + 209 = 0;

2) 2x2 + 2y2 + 5z2 –4xy – 2xz + 2yz + 2x – 2y – 10z – 1 = 0.

Вариант 25. 1) 3x2 – 4xy – 12x + 8y + 4 = 0;

2) 9y2 + 16z2 + 24yz + 5x + 10y + 5z + 11 = 0.

Задание 6

1)Выяснить, является ли данная функция f(x) элементом пространства

Lp(a, b), где р, а, b – данные числа, и если является – найти норму этого элемента.

2)Выяснить, является ли данная последовательность {cn} элементом

пространства lp, где р – данное число, и если является – найти норму этого элемента.

Замечание. Выполнение этого задания предполагает владение элементами теории рядов и несобственных интегралов, в частности, понятиями сходимости и расходимости рядов и интегралов, а также их простейшими свойствами и признаками сходимости.

103

Вариант 1. 1) f(x) = (sin x)–1; L2 ,

; 2) сп = (–1)п 2–2п, р = 2.

Вариант 2. 1) f(x) = cos2xּ(sin x)–1; L2

; 2) сп (–1)п

3–2п, р = 2.

Вариант 3. 1) f(x) = tg x; L

2п

, р = 2.

; 2) сп

= (–1)

Вариант 4. 1) f(x) = ln x; L2(0, 1); 2) сп =

, р = 2.

n(n 1)(n 2)

; L3(0, 1); 2) сп =

( 1)n

Вариант 5. 1) f(x) =

, р = 3.

n(n 3)

x ln x

Вариант 6. 1) f(x) =

; L3(2, ∞); 2) сп =

2n 1

, р = 2.

n2 (n 1)2

3 x ln x

Вариант 7. 1) f(x) =

; L3(2, ∞); 2) сп

, р = 2.

3 x ln2 x

( 1)n

Вариант 8. 1) f(x) =

; L (2, ∞); 2) сп

, р = 3.

x ln

3 n!

–2x

( 1)n n

Вариант 9. 1) f(x) = e

; L (1, ∞); 2) с

, р = 3.

–3x

( 1)n n

Вариант 10. 1) f(x) = хе ; L (1, ∞); 2) сп

, р = 6.

–2x

( 1)n n2

Вариант 11. 1) f(x) = х е

; L (0, ∞); 2) сп = 3

, р = 3.

Вариант 12. 1) f(x) = (sin x)–1; L1 ,

; 2) сп =

, р = 2.

(2n)!

Вариант 13. 1) f(x) =

; L (e

, e );

x ln x ln ln x

2) сп =

( 1)n

, р = 3.

3 (n 1)(n 2)(n

Вариант 14. 1) f(x) =

; L3(20, ∞); 2) сп

2n 1

, р = 2.

n(n 1)

3 x ln x ln ln x

( 1)n (n 1)

Вариант 15. 1) f(x) =

; L (10, ∞); 2) сп

, р = 1.

x ln x ln

ln x

104

5 e

( 1)n

Вариант 16.

1) f(x) =

; L (e , ∞); 2) сп =

, р = 4.

5 x ln x ln3 ln x

(2n 1)!

Вариант 17.

1) f(x) = хе–3x; L2(1, ∞); 2) сп = 4

, р = 8.

–x

( 1)n n

Вариант 18.

1) f(x) =

; L (1, ∞); 2) сп = 3

, р = 6.

(Cn2 ) 3

Вариант 19.

1) f(x) =

cos3 x

; L (0, 1); 2) сп

, р = 3

( Cnk – биномиальные коэффициенты).

Вариант 20.

1) f(x) = 4

x sin x

; L4

; 2) с =

cos3 x

x sin x

Вариант 21.

1) f(x) =

; L

; 2) сп =

cos x

Вариант 22.

1) f(x) =

; L2(3, 5); 2)

4 (x 3)(5 x)

4n2 1 , р = 2.

1 , р = 1. n2n

( 1)n

сп = 3n! , р = 3.

3n 2n

e x

Вариант 23. 1) f(x) =

; L (–1, 0); 2) сп = 3

, р = 3.

e x

Вариант 24. 1) f(x) =

; L (0, 1); 2) сп

, р = 2.

Вариант 25. 1) f(x) =

; L (0, ∞); 2) cn =

1 x

n! 1 3

(2n 1)

р = 2.

105

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>