4. ПОДПРОСТРАНСТВА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Определение. Подпространством линейного пространства Х называется любое его подмножество Х0, которое само является линейным пространством.

Очевидно, что у каждого линейного пространства есть два так называемых несобственных подпространства: состоящее из одного нулевого элемента и состоящее из всех элементов данного пространства. Все остальные подпространства называются собственными. В дальнейшем, если не оговорено противное, все рассматриваемые подпространства мы будем считать собственными. Таким образом, у п-мерного линейного пространства собственные подпространства могут иметь любую размерность от 1 до п – 1. Например, в обычном трехмерном векторном пространстве подпространства могут иметь размерности лишь 1 и 2. Очевидно, что одномерные подпространства – это всевозможные векторы, лежащие на какойнибудь прямой, проходящей через начало координат, а двумерные – всевозможные векторы, лежащие в какой-нибудь плоскости, проходящей через начало координат и, при этом, не лежащие на одной прямой.

Определение. Множество всех элементов линейного пространства, имеющих вид z = x0 + x, где х0 – фиксированный элемент пространства, а х пробегает некоторое подпространство, называется линейным многообразием.

Например, в пространстве трехмерных векторов одномерные линейные многообразия – всевозможные прямые, а двумерные – это всевозможные плоскости. Поэтому в любом конечномерном (п-мерном) линейном пространстве одномерные линейные многообразия обычно называют прямыми, а (п–1)-мерные линейные многообразия – гиперплоскостями. Прямая в линейном пространстве, проходящая через 2 элемента х1 и х2, задается уравнением: х = х1 + t(x2 – x1), где t пробегает всю вещественную ось.

Замечание. Для того, чтобы выяснить, является ли подмножество М линейного пространства подпространством, достаточно проверить следующее: если элементы а М и b M, то и (a + b) M, а так же, что для любого числа λ элемент λа М. Проверять выполнение аксиом Вейля не нужно, так как если они выполняются во всем пространстве, то автоматически выполняются и на его подмножествах. Например, вещественная ось является подпространством в множестве комплексных чисел, а первый квадрант (т. е. множество чисел x + yi, у которых x > 0 и y > 0) – не является, так как при умножении этих чисел на (–1) произведение не входит в 1-й квадрант.

Определение. Линейной оболочкой набора элементов х1, х2, …, хт на-

зывается множество всевозможных линейных комбинаций этих элементов. Стандартное обозначение линейной оболочки: L(x1, x2, …, xm).

21

Замечание. Линейные подпространства чаще всего задаются как линейные оболочки некоторых элементов или как множества решений однородных систем линейных уравнений.

Замечание. То, что линейная оболочка является подпространством – очевидно, так как сумма двух линейных комбинаций тоже есть линейная комбинация тех же элементов и умножение линейной комбинации на число есть также линейная комбинация тех же элементов.

Замечание. Очевидно и то, что линейная оболочка одного вектора а есть множество векторов вида λа (в пространстве векторов – это прямая, проходящая через начало координат и содержащая данный элемент, т. е. данный вектор). Линейная оболочка двух неколлинеарных векторов – это плоскость, содержащая данные векторы и проходящая через начало координат. Ясно также, что все пространство является линейной оболочкой любого своего базиса.

Теорема 1. Если элементы пространства заданы своими координатами в некотором базисе, то размерность их линейной оболочки равна рангу матрицы из их координат.

Доказательство.

Пусть пространство Х есть линейная оболочка элементов х1, х2, …, хm: Х = L(х1, х2, …, хm), и пусть координаты этих элементов в некотором базисе

таковы: хk = (ak1, ak2, …, akn). Составим матрицу из этих координат: А = (аij). Пусть ранг этой матрицы равен числу r: r(A) = r.

Требуется доказать, что dim X = r. Так как r(A)=r, то в матрице А найдется минор ∆r порядка r, не равный нулю: ∆r ≠ 0. За счет перестановки строк и столбцов можно добиться того, чтобы этот минор занимал левый

перенумерации данных элементов и элементов базиса). Из этого следует, что первые r элементов (т. е. первые r строк матрицы А) линейно независимы. Действительно, если бы они оказались линейно зависимы, то, в частности, оказались бы линейно зависимы и строки минора ∆r, т. е. он был бы равен 0 вопреки предположению. Осталось доказать, что все остальные строки матрицы А линейно зависимы с первыми r, т. е. являются линейными комбинациями первых r строк. Зафиксируем какую-нибудь из этих строк, например, строку с номером i > r. Найдем сначала такие коэффициенты λ1, λ2,…, λr, чтобы первые r элементов i-й строки оказались линейной комбинацией с этими коэффициентами строк минора ∆r. Для этого необходимо, чтобы выполнялись r равенств:

где j = 1, 2,…, r.

22

Но эти равенства есть система r линейных уравнений с r неизвестными λ1, λ2,…, λr. Определитель этой системы – транспонированной матрицы минор ∆rT ≠ 0. Таким образом, по теореме Крамера эта система имеет единственное решение, и коэффициенты λ1, λ2,…, λr находятся однозначно. Осталось доказать, что равенства (4.1) справедливы и при j > r. Для этого вспомним, что все миноры матрицы А порядка, большего r, равны 0. Рассмотрим минор r + 1 порядка:

(к минору ∆r добавлена i-я строка и j-й столбец). Вычтем из его последней строки 1-ю строку, умноженную на λ1, 2-ю – умноженную на λ2, …, r-ю – умноженную на λr. Из равенств (4.1) следует, что получится равенство:

где b = aij – (λ1a1j + λ2a2j + …+ λrj). Раскладывая определитель (4.2) по последней строке, получим ∆r+1 = b∆r = 0. Но ∆r ≠ 0. Отсюда b = 0, т. е.

aij = λ1a1j + λ2a2j +…+ λrj. Это и значит, что j-я строка матрицы А является линейной комбинацией первых r ее строк. Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Элементы хк (k = 1,...,п) образуют базис в п-мерном пространстве тогда и только тогда, когда определитель из их координат не равен нулю.

Теорема 2. Множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным подпространством п-мерного векторного пространства, где п – число неизвестных системы.

Доказательство.

Пусть однородная система задается матричным уравнением АХ = 0, и пусть Х1 и Х2 – какие-то два ее решения, т. е. выполняются равенства: АХ1 = 0, АХ2 = 0, тогда выполняются и равенства: А(Х1 + Х2) = АХ1 + АХ2 = 0 + 0 = 0 и А(λХ1) = λ АХ1 = λ 0 = 0, т. е. сумма решений системы снова является ее

23

решением и произведение решения на число тоже является ее решением. Это и означает, что множество решений однородной системы является подпространством.

Теорема 3. Размерность множества решений однородной системы равна n–r, где п – число неизвестных системы, а r – ранг матрицы из коэффициентов.

Доказательство. Размерность множества решений однородной системы и базис этого подпространства определяются теоремой Кронекера – Капелли и методом Гаусса решения такой системы. А именно, из теоремы Кронекера – Капелли следует, что размерность множества решений равна n – r, где п – число неизвестных системы, а r – ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных этой системы. Для того чтобы найти базис этого пространства, мы должны найти n – r линейно независимых решений системы, но n – r неизвестных по теореме Кронекера – Капелли можно взять произвольными числами (формула (0.4), в которой правые части bk, k = 1, 2, ..., r, равны нулю). Чтобы гарантировать линейную независимость полученных решений, можно каждому из этих произвольных неизвестных по очереди одному дать значение равное 1, а остальным неизвестным значения 0. При каждом таком наборе значений неизвестных (равных единице и нулям) найти соответствующее решение системы. Получим n–r линейно независимых решений, т. е. базис в множестве решений. Таким образом, множество решений однородной линейной системы уравнений является линейным пространством размерности n – r. Теорема доказана.

Теорема 4. Множество всех решений системы линейных уравнений АХ = В является линейным многообразием Z, элементы которого имеют вид z = x0 + x, где х0 – какое-то фиксированное решение данной системы:

при этом х пробегает множество всех решений соответствующей однородной системы:

Доказательство.

То, что все элементы указанного вида являются решениями, очевидно: если выполняются (4.3) и (4.4), то Аz = А(x0 + x) = А x0 + А x = В + 0 = В.

Докажем обратное, т. е. что любое решение данной системы можно представить таким образом. Действительно, любое решение можно пред-

ставить в виде z = x0 + (z – х0) = x0 + у, где у = z – x0, и осталось доказать, что у – решение однородного уравнения (4.10). Но Ау = А(z – x0) = Аz –Ах0 = = В – В = 0.

Следствие 2. Любое линейное многообразие размерности п – 1 в п-мер- ном векторном пространстве (такие подпространства называются гиперп-

24

лоскостями) может быть задано как множество векторов (х1, х2, …, хп), удовлетворяющих одному линейному уравнению а1х1 + а2х2 +… + апхп = с, где хотя бы один из числовых коэффициентов а1, а2,…, ап не равен 0.

Определение. Пересечением двух подпространств X и Y называется новое подпространство, состоящее из всех тех элементов, которые входят и в X, и в Y. Оно обозначается символом Z X Y.

Определение. Суммой этих подпространств называется новое подпространство S X Y, состоящее из всех тех элементов, которые представимы в виде s = x + y, где х Х, у Y.

Замечание. То, что Z и S действительно являются подпространствами, легко проверить самим. Например, если s1 S и s2 S, т. е. s1 = x1 + y1, s2 =

= x2 + y2, то s = s1 + s2 = x1 + y1 + x2 + y2 = (x1 + х2) + (у1 + y2) Х + Y. Ана-

логично проверяется, что из s S следует, что λs S при любом λ. Замечание. Если подпространства X и Y задаются как линейные обо-

лочки некоторых множеств: Х = L(x1, x2, …, xm), Y = L(у1, у2, …, ук), то, очевидно, что Х + Y является линейной оболочкой всего набора заданных

элементов, т. е. Х + Y = L(x1, x2, …, xm, у1, у2, …, ук). И размерность, и базис этого подпространства находятся стандартным методом. Пересечение этих

Если известны координаты данных векторов x1, x2, …, xm, у1, у2, …, ук, то подставляя их в (4.6), получим однородную систему п линейных уравнений с неизвестными α1, α2, …, αm, β1, β2,…, βk. Решая эту систему методом Гаусса и находя базисные элементы множества решений (т. е. конкретные линейно независимые наборы чисел α1, α2, …, αm, β1, β2,…, βk), подставим их в левые (или правые) части уравнений (4.5). Получим базисные элементы пространства Z X Y. Если же пространства X и Y задаются как множества решений однородных систем линейных уравнений, то их пересечение задается как множество решений однородной системы, полученной объединением всех уравнений обеих данных систем, поэтому размерность и базис пересечения находятся стандартным методом Гаусса по теореме Кронекера – Капелли.

Замечание. Сумма двух подпространств X и Y называется прямой суммой, если пересечение этих двух подпространств есть нулевой элемент: X Y 0 . Таким образом, прямая сумма подпространств – это обычная сумма, а термин «прямая» несет дополнительную информацию об их пересечении.

25

Теорема 5 (о связи размерностей подпространств, их суммы и пере-

сечения). Для любых двух линейных подпространств X и Y линейного про-

Для этого выберем какой-нибудь базис е1, е2, …, еr в пространстве

Z X Y и дополним его элементами еr+1’, er+2’, …, ek’ и е1’’, е2’’, …, еm’’ до базисов в пространствах X и Y соответственно. Докажем, что набор

является базисом в X + Y. Для этого надо доказать, что система (4.10) полная и линейно независима. Полнота этой системы очевидна, так как если s X + Y, то s = x + y = (α1е1 + α2е2 +…+ αrеr + αr+1 еr+1’ + αr+2 er+2’ +…+ αkek’) +

+ (β1е1 + β2е2 +…+ βrеr + βm+1е1’’+ βm+2е2’’+…+ βmеm’’), т. е. является ли-

нейной комбинацией элементов (4.10).

Докажем линейную независимость этих элементов. Предположим противное, т. е. что выполняется равенство:

принадлежит одновременно и X, и Y. Значит, он принадлежит и их пересечению. Следовательно, а раскладывается только по базису пространства

В силу единственности разложения элемента по базису из (4.12) и (4.13) следует, что все коэффициенты cr+1’ = cr+2’ = … = ck’ = 0. Аналогично доказывается, что c1’’= c2’’= …= cm’’= 0. Но тогда из (4.11) следует,

что с1е1 + с2е2 + …+ сrеr = 0 . Так как элементы базиса линейно независимы, то в последнем равенстве все коэффициенты равны 0. Итак, если запи-

26

сать равенство (4.11), то в нем все коэффициенты обязательно равны 0. А это и значит, что элементы (4.10) линейно независимы и, следовательно, образуют базис в X + Y. Так как в базисе (4.11) число элементов равно r + (k – r) + (т – r) = k + m – r, то равенство (4.9), а значит, и равенство (4.7) доказано.

Следствие 3. Если сумма подпространств X и Y прямая, то dim X Y dim X dimY .

Следствие 4. Если dim X Y dim X , то dim X Y dimY .

Заметим, что в этом случае пространство Y является подпространством пространства X, и следовательно, их сумма совпадает с Х, а пересечение – с Y.

Замечание. Нахождению размерностей и базисов данных подпространств, а также их суммы и пересечения посвящен разбор 2-го типового задания в разд. 9 («Решение типовых примеров»).

27

5.МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ

ИУНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ

Определение. Расстоянием (метрикой) в данном множестве объектов М называется сопоставление каждым двум объектам х М и у М некоторого вещественного числа ρ(х, у), называемого «расстоянием между х и у», по любому фиксированному правилу, лишь бы выполнялись следующие три аксиомы:

1)ρ(х, у) ≥ 0, причем ρ(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;

2)ρ(х, у) = ρ(у, х);

3)ρ(х, у) ≤ ρ(х, z) + ρ(z, у), где x, y, z – любые элементы данного множества М.

Замечание. Обычно первую из перечисленных аксиом называют «неотрицательностью метрики», вторую – «симметричностью метрики», третью – «неравенством треугольника».

Определение. Метрическим пространством называется множество объектов любой природы, в котором введена метрика, или (что, то же)

расстояние.

Наличие в множестве М метрики позволяет ввести в нем важные новые понятия: открытый и замкнутый шар, сферу, окрестность элемента (элементы метрического пространства часто называют его точками).

Определение. Открытым шаром радиуса r с центром в элементе х0 называется множество всех тех элементов х М, которые удалены от центра меньше, чем на r, т. е. для которых выполняется неравенство ρ(х, х0) < r.

Определение. Замкнутым шаром радиуса r с центром в элементе х0 называется множество всех тех элементов х М, которые удалены от центра не больше, чем на r, т. е. для которых выполняется неравенство

ρ(х, х0) ≤ r.

Определение. Сферой радиуса r с центром в элементе х0 называется множество всех тех элементов х М, которые удалены от центра на расстояние r, т. е. для которых выполняется равенство ρ(х, х0) = r.

Замечание. Очевидно, что замкнутый шар состоит из открытого шара и граничной сферы.

Определение. Окрестностью элемента х0 называется любой открытый шар с центром в данном элементе.

В частности, ε-окрестностью элемента х0 называется открытый шар радиуса ε с центром в точке х0.

Замечание. Наличие понятий «расстояние», «окрестность» позволяет ввести в метрических пространствах понятие «предела».

28

тавление каждому элементу х М вещественного числа ||х|| по любому фиксированному правилу, лишь бы выполнялись следующие три аксиомы:

1)||x|| ≥ 0, причем ||x|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

2)||αx|| = |α|∙||x||;

3)||x + у|| ≤ ||x|| + ||у||.

Замечание. Обычно первую из перечисленных аксиом называют «неотрицательностью нормы», вторую – «однородностью нормы», третью – «неравенством треугольника».

Определение. Нормированным пространством называется линейное

пространство, в котором введена норма.

Упражнение. Покажите, что функция x, y , определенная на множестве вещественных чисел по формуле

Утверждение. Нормированное пространство одновременно можно рассматривать и как метрическое, так как в нем всегда можно ввести метрику по следующей формуле:

Доказательство.

Надо проверить, что функция (5.1) удовлетворяет всем трем аксиомам метрики. Выполнение первых двух аксиом метрики с очевидностью следует из первых двух аксиом нормы. Докажем, что для нее выполняется и правило треугольника:

ρ(х, у) = ||x – y|| = ||x – z + z – y|| ≤ ||x – z|| + ||z – y|| = ρ(х, z) + ρ(z, у).

Замечание. Сходимость в нормированном пространстве, т. е. выполне-

Замечание. Так как по определению нормированное пространство Х обязательно линейно, то в нем можно рассматривать ряды из его элементов:

n 1

29

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует предел по-

n

следовательности его частных сумм Sn xk , т. е. существует предел

k 1

S lim Sn , где элемент S, называется суммой данного ряда.

n

Такие ряды обладают многими привычными свойствами числовых рядов, в частности, для них справедлив (и также доказывается) необходимый признак сходимости.

Пример 1. Обычное трехмерное векторное пространство является нормированным (а значит, и метрическим), так как в нем в качестве нормы можно взять длину вектора (она удовлетворяет всем трем аксиомам нормы). Таким образом, понятие нормы является обобщением понятия длины вектора.

Аналогично, нормированным является и пространство строк длины п (столбцов высоты п), если ввести в нем норму по формуле

То, что функция (5.2) удовлетворяет первым двум аксиомам нормы – очевидно; неравенство треугольника следует из того, что эти пространства являются унитарными, что будет доказано позднее.

Упражнение. Проверить самостоятельно, что в пространстве строк (столбцов) можно ввести и другие нормы, а именно, что нормами являются

тром в начале координат на плоскости, в которой введена одна из этих норм? Пример 2. Линейное пространство С[a, b], состоящее из непрерывных

на [a, b] функций, является нормированным с нормой

и, следовательно, с метрикой

( f , ) || f || max | f (t) (t) | .

t [a, b]

Первые 2 аксиомы нормы для (5.3) выполняются с очевидностью; неравенство треугольника следует из свойств абсолютной величины: для каждого t [a, b] выполняется неравенство:

30

Переходя в этом неравенстве к максимуму по t, получим неравенство треугольника.

Открытый шар радиуса R с центром в элементе f0(t) в этом пространстве – это множество всех непрерывных на [a, b] функций f(t), графики которых расположены между графиками функций f0(t) – R и f0(t) + R. Сфера радиуса R с центром в элементе f0(t) состоит из функций f(t), графики которых расположены между графиками функций f0(t) – R и f0(t) + R и (обязательно) имеют общие точки с этими графиками. Замкнутый шар состоит из объединения открытого шара и его граничной сферы.

Например, в пространстве С[0, 1] ε-окрестность функции х2 состоит из всевозможных непрерывных функций, графики которых целиком лежат в полосе между кривыми у = х2 – ε и у = х2 + ε. Сходимость последовательностей и рядов в пространстве С[a, b] называется равномерной сходимостью и иногда обозначается не одной, а двумя стрелочками: xn x0 .

Пример 3. Пространство Lp[a, b] (где р – заданное число, удовлетворяющее неравенству 1 ≤ р ≤ ∞) состоит из функций, у которых существует

при р < ∞ (при р = ∞ формула для нормы сложнее). То, что (5.4) действительно задает норму, примем без доказательства. В частности, функции

b

из L1[a, b] (т. е. функции, у которых сходится интеграл || f || | f (x) | dx )

a

называются абсолютно интегрируемыми на [a, b].

Замечание. Выяснению вопроса о том, входит ли данная функция или данная последовательность в то или иное пространство и, если входит, то какова норма этого элемента в рассматриваемом пространстве, посвящено задание № 6 в разд. 10 «Индивидуальные задания» этого пособия, и разбор соответствующего примера в разд. 9 «Решение типовых примеров».

Пример 4. Элементами пространства lp (где р – заданное число, удовлетворяющее неравенству 1 ≤ р ≤ ∞) являются числовые последовательности х = (х1, х2, …, хп, …), но не все, а только те, у которых сходится ряд

| x |p ; и норма такого элемента при р > 1 задается равенством:

n 1

31

а при р = ∞ – равенством:

x sup | xn | .

n 1, 2,...

Например, l1 состоит из последовательностей, для которых сходится

ряд x1 | xn | . Заметим, что в конечномерном (п-мерном) простран-

n 1

стве при р=2 нормы (5.2) и (5.6), очевидно, совпадают.

Определение. Скалярным произведением в линейном пространстве М называется функция, сопоставляющая каждым двум элементам х, у М число (х, у), удовлетворяющая следующим аксиомам:

1)(х, х) ≥ 0, причем (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х есть нулевой элемент;

2)(х, у) = ( y, x) , где черта сверху означает комплексное сопряжение;

3)(αх + βу, z) = α(x, z) + β(y, z), для любых чисел α, β и любых элементов х, у, z М.

Замечание. Если линейное пространство М вещественно, то скалярное произведение (х, у) принимает вещественные значения, и во второй аксиоме не надо ставить знак комплексного сопряжения.

Следствие (свойство полулинейности по второму множителю):

(x, αy + βz) = (x, y) (x, z) .

Доказательство.

По 2-й и 3-й аксиомам скалярного произведения выводим

(x, αy + βz) =

( y z, x) ( y, x) (z, x) ( y, x) (z, x) (x, y) (x, z) .

Пример. Если (х, у) = 2 + 3i, тогда ((1 – 2i)x, (2 + i)y) = (1 – 2i)(2 – i) (х, у) = = (2 – i – 4i + 2i2)(2 + 3i) = (–5i)(2 + 3i) = 15 – 10i.

Определение. Унитарным (гильбертовым) пространством называ-

ется линейное пространство, в котором введено скалярное произведение. В гильбертовом пространстве можно ввести норму по формуле:

значит, и метрику по формуле:

(x, y) x y (x y, x y) .

32

То, что функция, задаваемая (5.6), удовлетворяет первым двум аксиомам нормы, очевидно. Но для того, чтобы установить, что для нее справедливо также неравенство треугольника, нужно доказать очень важное неравенство Коши – Буняковского – Шварца (кратко – неравенство КБШ).

Теорема (о неравенстве КБШ). Модуль скалярного произведения двух элементов не превосходит произведения норм сомножителей, т. е.:

При этом равенство в (5.7) достигается тогда и только тогда, когда элементы х и у пропорциональны.

Доказательство.

Зафиксируем некоторые элементы x, y. Пусть α – вещественное число. Рассмотрим скалярное произведение вектора х + αу самого на себя (оно неотрицательно по определению):

A(α) = ||x + αy||2 = (х + αу, х + αу) = (х, х) + (αу, х) + (х, αу) + (αу, αу).

Так как α вещественно, его можно выносить из любого сомножителя.

Поэтому A(α) = ||x||2 + α(y, x) + α(x, y) + α2||y||2. Но ( y, x) (x, y) и (y, x) + (x, y) = 2Re(x, y).

Значит, A(α) = ||x||2 + 2α Re(x,y) + α2||y||2 ≥ 0. Так как квадратный трехчлен A(α) ≥ 0 при всех α, то его дискриминант ≤ 0, и поэтому:

Из (5.8) следует (5.7). Действительно, пусть r = |(x,y)|, a arg(x,y) = φ.

Тогда (x, y) = reiφ. Вместо x возьмем x1= x∙e–iφ, а так как φ – вещественно,

то ||x1||=||x||. Поэтому Re(x1, y) = Re(xe–iφ, y) = Re(e–iφ(x, y)) = Re(e–iφ reiφ) =

= Re(r) = r = |(x, y)|. Из (5.8) с х1 вместо х получаем

||x||ּ||y|| = ||x1||ּ||y|| ≥ |Re(x1, y)| = |(x, y)|,

и неравенство (5.10) доказано.

При этом равенство в (5.7) означает, что дискриминант квадратного трехчлена А(α) равен 0. Следовательно, квадратный трехчлен имеет только один корень α0, т. е. А(α0) = ||x + α0 у||2 = 0. По первой аксиоме нормы от-

сюда следует, что x + α0у = 0, т. е. что x = –α0у, а это и значит, что х и у пропорциональны.

Теорема доказана полностью.

Следствие. Функция (5.6) удовлетворяет неравенству треугольника и, следовательно, является нормой.

33

Доказательство.

По неравенству КБШ:

||x + y||2 = (x + y, x + y) = ||x||2 + 2Re(x, y) + ||y||2 ≤ ||x|| + 2|(x, y)| + ||y||2 ≤ ≤ ||x||2 + 2||x|| ∙ ||y|| + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2,

извлекая корень из полученного неравенства, получаем неравенство треугольника.

Замечание. В унитарных пространствах ввиду неравенства КБШ можно ввести понятие угла между элементами, а именно:

Абсолютная величина дроби в формуле (5.9) ввиду (5.7) всегда не превосходит единицы.

Определение. Конечномерное (п-мерное) вещественное унитарное пространство называется евклидовым (п-мерным) пространством.

Определение. Элементы х и у унитарного пространства называются ортогональными (и записывается это так: х у), если их скалярное произведение равно нулю, т. е. если выполняется равенство:

(х, у) = 0.

Пример. Введем в пространстве L2[а, b] (частный случай пространства Lр[а, b] при р = 2) скалярное произведение функций x(t) и y(t) формулой:

Легко проверить, что (5.10) действительно задает скалярное произведение, т. е. что выполняются соответствующие аксиомы. Вычислим, например, скалярное произведение функций x(t) = t2 и y(t) = t3 в пространстве

Так как (t2, t3) ≠ 0, то элементы t2 и t3 не ортогональны на (0, 1). Тем не менее, легко проверить, что они ортогональны на (–1, 1). Вычислим для примера норму функции x= t2:

34

Определение. Последовательность е1, е2, …, еп,… ненулевых элементов унитарного пространства называется ортогональной системой элементов, если любые два элемента этой системы ортогональны между собой: (еi, ej) = 0 при i ≠ j; она называется ортонормальной (или декартовой), если нормы всех ее элементов равны единице: ||ek|| = 1, k = 1, 2,…

Замечание. Для того, чтобы ортогональную систему превратить в ортонормальную, достаточно каждый ее элемент поделить на его норму.

Утверждение. Если элементы х и у заданы своими координатами в ортонормальном базисе е1, е2, …, еп: х = (х1, х2, …, хп), у = (у1, у2, …, уп), то их скалярное произведение обязательно вычисляется по формуле:

n

(x, y) xk yk ,

k1

вчастности, в вещественном (т. е. в евклидовом) пространстве – по формуле:

n

(x, y) xk yk .

k 1

Доказательство.

Так как (ei, ej) = 0 при i ≠ j и (ei, ei) = 1, то

Что и требовалось доказать.

Теорема (единственность разложения). Если элемент х разложен по

(конечной или бесконечной) ортогональной системе е1, е2, …, еп, …:

то коэффициенты в этом разложении определяются однозначно формулой

в частности, если система {en} ортонормальна, то сп = (х, еп).

Доказательство.

Пусть выполняется равенство (5.11). Домножим его скалярно справа на еп. Умножение по свойству линейности скалярного произведения можно

35

производить в случае конечного числа слагаемых почленно (для бесконечного числа слагаемых примем это без доказательства). Получим:

В силу ортогональности системы {en} все слагаемые справа, кроме сп(еп, еп), равны 0, а сп(еп, еп) = сп||еп||2, т. е. равенство (5.13) имеет вид:

(х, еп) = сп|| еп||2,

а это и есть равенство (5.12), что и требовалось доказать.

Определение. Представление элемента х в виде линейной комбинации элементов ортогональной системы называется разложением х по этой системе. В бесконечномерном унитарном пространстве такое разложение называется рядом Фурье элемента х по этой системе, а коэффициенты разложения сп называются коэффициентами Фурье.

Можно показать, что в бесконечномерном гильбертовом пространстве ряд Фурье сходится. Это основывается на неравенстве Бесселя

Если система элементов en – ортогональный базис пространства, то справедливо равенство Парсеваля (аналог теоремы Пифагора)

Пример. Тригонометрической системой функций на (–l, l) называется бесконечный набор функций следующего вида:

Докажем, что тригонометрическая система (5.23) ортогональна в пространстве L2[–l, l]. Так как скалярное произведение в этом пространстве вводится формулой (5.10), то доказательство сводится к проверке шести равенств:

36

Проверка предоставляется читателю. Нормы элементов системы (5.14) вычисляются по формулам:

Так как система (5.14) ортогональна, то можно функции из L2[–l, l] раскладывать в ряды Фурье по этой системе. Кроме того эта система функций является базисом в пространстве L2[–l, l]. Такие ряды называются

тригонометрическими рядами Фурье. Эти ряды имеют вид

где коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

Вопрос о том, для каких точек х в формуле (5.15) можно поставить знак равенства вместо «~», окончательно не решен до сих пор. Достаточные условия даются условиями Дирихле, которые здесь не обсуждаются. Однако знак равенства здесь понимают в смысле среднеквадратичной сходимости ряда Фурье к функции f(x).

Если система элементов {en} не ортогональна, то ее можно ортогонализовать. Это часто выполняют с помощью процесса Грама – Шмидта.

Если система элементов {en} не ортогональна, то говорить о рядах Фурье по ней не приходится. Однако ее можно попытаться ортогонализовать.

Определение. Ортогонализацией системы элементов {en} называется отыскание таких коэффициентов αij, при которых новая система элементов {en΄}:

37

e1' 11e1 ,

e2' 21e1 22e2 ,

. . . . . . . . . . . . . . (5.16) en' n1e1 n2e2 ... nnen ,

. . . . . . . . . . . . . .

является ортонормальной.

Теорема. Если при любом натуральном п первые п элементов данной системы {en} линейно независимы, то эта система допускает ортогонализацию.

Для доказательства потребуются новые понятия.

Определение. Матрицами Грама данной системы называются матрицы:

элементами Грама en' называются элементы, вычисляемые по формуле:

(en , e1) (en , e2 ) ... (en , en 1) en

Доказательство теоремы.

Докажем, что искомыми элементами вида (5.16) являются элементы:

То, что (5.17) есть элементы вида (5.16), видно из разложения определителя (5.17) по последнему столбцу. Ортогональность элементов (5.17) элементам данной системы, т. е. равенства:

следует из того, что для скалярного умножения элемента (5.17) на еk надо каждый элемент последнего столбца определителя (5.17) скалярно умножить на еk, но при этом получится определитель с двумя одинаковыми

38

столбцами – п-м и k-м, а такой определитель равен нулю. Отсюда уже следует ортогональность системы (5.17), т. е. равенства (en* , ek* ) 0 . Действительно,

k

en* , ek* Ajk en* , e j 0 ввиду (5.19) (здесь Ajk – алгебраические дополне-

j 1

ния соответствующих элементов определителя (5.17), а k < п). Наконец,

e* 2 e* , e* A e A e ... A e A e , e*

n n n 1n 1 2n 2 n 1,n n 1 nn n n

n1

Ajn e j , en* Ann en , en* .

j1

Но в силу (5.19) все слагаемые суммы в последнем равенстве равны

Отсюда и следует, что элементы (5.18) имеют единичную норму и, следовательно, образуют ортонормальную систему элементов. Теорема доказана.

Следствие 1. Если элементы {en} линейно независимы, то все их определители Грама п, положительны.

Доказательство. Действительно, так как норма любого ненулевого элемента положительна, то из (5.20) следует, что все эти определители – одного знака. При этом, 0 = 1 > 0, поэтому и все п > 0. Следствие доказано.

Следствие 2. Признак линейной зависимости. Элементы {e1, e2,...,en}

унитарного пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда их определитель Грама равен нулю.

Доказательство.

Необходимость. Пусть данные элементы линейно зависимы. Тогда один из них есть линейная комбинация остальных. Для определенности,

пусть это en 1e1 2e2 ... n 1en 1. Подставим это выражение в каждое

скалярное произведение последней строки определителя п и дважды воспользуемся свойством линейности: сначала свойством линейности скалярного произведения, а затем свойством линейности определителя. Получим из п серию из п–1 определителя, каждый из которых имеет две одинаковых строки и, следовательно, равен нулю, что и требовалось доказать.

тогда и сам элемент (5.17) является нулевым. А это и значит, что данные элементы – линейно зависимы (явную линейную зависимость можно

39

получить, раскладывая определитель в равенстве en* = 0 по последнему

столбцу Ап1е1 + Ап2е2 +…+ Аппеп = 0). Следствие доказано.

Пример 1. В 3-мерном векторном пространстве заданы декартовы ко-

ординаты трех векторов: а1 = (1, 2, –2), а2 = (–1, 0, 2), а3 = (0, 2, –3). Требу-

ется их ортогонализовать. Для этого вычислим элементы Грама по форму-

ле (5.17), а затем элементы (5.18): (а1, а2) = 1(–1) + 2 ∙ 0 + (–2) ∙ 2 = –5, (а1, а3) = 10, (а2, а3) = –6, (а1, а1) = 9, (а2, а2) = 5, (а3, а3) = 13, 0 = 1,