ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

Е. Л. Рабкин, А. В. Киселёва Г. М. Тащиян

МАТЕМАТИКА

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2016

УДК 514.7(076) ББК 22.147я73

Р12

Рецензент заведующий кафедрой высшей математики,

доктор физико-математических наук

Л. М. Баскин

Рабкин, Е. Л.

Р12 Векторная алгебра и квадратичные формы: учебно-методичес- кое пособие по выполнению самостоятельной работы / Е. Л. Рабкин, А. В. Киселёва, Г. М. Тащиян ; СПбГУТ. – СПб., 2016. – 107 с.

Изложены математические понятия и факты, необходимые для исследования уравнений второго порядка двух и трех переменных и понимания, какие геометрические объекты им соответствуют. Соответствует части программы по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Материалы могут быть использованы как конспект лекций, как справочный материал, для самостоятельного освоения практической части указанного раздела высшей математики. Приведены варианты индивидуальных домашних заданий по математике (разделы: общая теория векторных пространств, понятие о метрических, нормированных и унитарных пространствах, элементы теории операторов в конечномерных векторных пространствах, приведение квадратичных форм к каноническому виду, обзор кривых и поверхностей второго порядка), а также указания по их выполнению. Изучив данное пособие, студент сможет построить области интегрирования при вычислении двойных и тройных интегралов, если эти области ограничены кривыми или поверхностями первого и второго порядка.

Предназначено для студентов специальности «Программная ин-

женерия» 09.03.04.

УДК 514.7(076) ББК 22.147я73

©Рабкин Е. Л., Киселева А. В., 2016

©Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича», 2016

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Для полноты изложения материала напомним начальные сведения и обозначения, используемые в теории систем линейных уравнений и аналитической геометрии.

В дальнейшем используются обозначения:

N, R, C – множества натуральных, вещественных и комплексных чисел соответственно;

M(m,n), где m, n N, – множество матриц, имеющих m строк и n столбцов (матрица размера m n ), состоящих из элементов, над которыми определены операции сложения и умножения на число (например, числа, векторы, функции);

Rn – множество упорядоченных наборов из n вещественных чисел, записанных в столбец или в строчку, составленных из вещественных чисел;

Cn – множество упорядоченных наборов из n комплексных чисел; E – единичная матрица;

det A – определитель «квадратной» матрицы A M(n,n);

A 1 M(n,n) – обратная матрица для «квадратной» матрицы A M(n,n);

AT M(n,m) – транспонированная матрица A M(m,n);

Приведем (напомним) необходимые понятия и сведения, связанные с матрицами.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называ-

ются следующие преобразования:

1)перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы между собой;

2)умножение любой строки (столбца) матрицы на любое ненулевое

число;

3)прибавление к любой строке (столбцу) матрицы любой другой ее строки или столбца, предварительно домноженной на любое число.

Определение. Минором порядка r матрицы называется определитель, составленный из элементов матрицы, стоящих в пересечении любых r ее строк и любых r ее столбцов (и расположенных в том же порядке, что и

вматрице).

Определение. Рангом матрицы называется максимальный порядок не равных нулю миноров, которые можно выделить в данной матрице.

Иными словами, ранг матрицы равен числу r, если в ней можно найти минор порядка r, не равный нулю, но все ее миноры порядка r + 1 равны нулю (тогда по теореме о разложении определителя все миноры большего порядка тоже равны нулю). Ранг матрицы А обычно обозначается символом r(A). Напоминаем, что ранг матрицы обычно находят приведением ее к трапецевидной форме при помощи элементарных преобразований, которые сохраняют ранг матрицы (метод Гаусса).

4

любой минор 3-го порядка содержит пару пропорциональных строк и, следовательно, равен 0, но в ней есть миноры 2-го порядка, не равные 0 (например, составленный из элементов в пересечении 1-й и 2-й строки и 3-го

как любой минор 4-го порядка содержит нулевую строку, а значит, равен 0, но минор, составленный из элементов в пересечении 1-й, 2-й и 4-й строки и 2-го, 3-го и 5-го столбца, не равен 0 (он равен 1).

Предполагается, что читатель данного пособия знаком с теоремой Кронекера – Капелли. Однако для полноты изложения мы приводим здесь ее изложение.

Определение. Системой линейных уравнений относительно неизвест-

ных x1, x2, , xn называется система вида

Определение. Решением системы называется упорядоченный набор значений неизвестных x1, x2, , xn , при которых уравнения являются вер-

ными равенствами.

Определение. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Определение. Матрицей системы называется матрица A aik , со-

ставленная из коэффициентов при неизвестных этой системы, а расширенной матрицей A’ называется та же матрица, к которой добавлен еще один столбец – столбец из свободных членов, т. е. из правых частей уравнений данной системы.

Теорема (Кронекер, Капелли). Для того, чтобы система т линейных уравнений с п неизвестными была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А этой системы был равен рангу расширенной матри-

5

цы A’ этой же системы. При этом система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда общий ранг матриц A и A’ равен числу неизвестных (r = r(A) = r(A’) = n). Если же r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, причем некоторые n – r неизвестных можно взять произвольными числами, а остальные неизвестные выразятся через них однозначно. Если r < m, то некоторые m – r уравнений системы являются следствиями остальных.

Доказательство.

Необходимость. Пусть система (В.1) совместна. Зафиксируем какоенибудь решение этой системы: х0 = (х10, х20,…, хп0). Тогда выполняются числовые равенства:

am1x10+ am2 x20+…+ amп xп0 = bm.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы

а именно, из последнего ее столбца вычтем 1-й столбец, умноженный на х10, затем 2-й – умноженный на х20, и т. д.; наконец, вычтем предпоследний столбец, умноженный на хп0. Из равенств (В.2) получим матрицу:

Очевидно, в силу заданных уравнений (В.2) ранги матриц A’ и C равны между собой и равны рангу матрицы системы A. Следовательно, выполняется равенство

что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть выполняется равенство (В.3). Необходимо доказать, что система (В.1) совместна. Зафиксируем в матрице А минор ∆r ≠ 0. Как было отмечено ранее, можно считать, что он занимает левый верхний угол матрицы А. Очевидно, что он принадлежит и матрице A’. Все миноры

6

большего порядка матрицы A’ равны 0 (так как ее ранг, по предположению, равен r). По предыдущему утверждению, все строки матрицы A’ являются линейными комбинациями первых r строк. Это значит, что все уравнения данной системы с номером i > r являются линейными комбинациями первых r уравнений, и их можно отбросить. Если r = п (числу неизвестных), то равенство (В.3) означает, что det A ≠ 0, и данная система имеет единственное решение по теореме Крамера. Если r < n, то данную систему можно переписать в виде:

a11 x1+ a12 x2+…+ a1r xr = b1 – (a1,r+1 xr+1+ a1,r+2 xr+2+…+a1n xn)

a21 x1+ a22 x2+…+ a2r xr = b2 – (a2,r+1 xr+1+ a2,r+2 xr+2+…+a2n xn)

……………………………………………………………………. (В.4)

ar1 x1+ ar2 x2+…+ arr xr = br – (ar,r+1 xr+1+ ar,r+2 xr+2+…+arn xn).

Очевидно, что если в систему (0.4) вместо xr + 1, xr + 2,… xn подставить любые числа, то получится система r линейных уравнений с r неизвестными и с определителем, не равным нулю. По теореме Крамера каждая такая система имеет единственное решение. Теорема полностью доказана.

7

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Определение. Множество V элементов x, y, z называется линейным или векторным пространством, если в нем введены две операции:

а) сложение, если каждым двум элементам x, y V, поставлен в соответствие определенный элемент x + y V, называемый их суммой;

б) умножение на число (скаляр), если каждому элементу x V и каждому числу λ поставлен в соответствие определенный элемент λx V, называемый произведением элемента x на скаляр λ.

Эти две операции могут определяться любыми фиксированными правилами, лишь бы выполнялись следующие 7 аксиом Г. Вейля (ниже a, b, c – любые элементы пространства):

1)x + y = y + x;

2)x + (y + z) = (x + y) + z;

3)cуществует элемент 0 V (обычно обозначаемый нулем) такой, что

x+ 0 = x;

4)1 ∙ x = x ∙ 1 = x;

5)λ (x + y) = λx + λy;

6)(λ + μ) ∙ x = λ x + μ x;

7)(λ μ) x = λ (μ x), где λ и μ – любые числа.

Элементы линейного (векторного) пространства часто называют векторами. Если в качестве чисел в линейном пространстве используются вещественные числа, то такое линейное пространство называется вещественным, если используются комплексные числа, то линейное пространство называется комплексным.

В векторном пространстве V для всякого вектора x V существует

противоположный вектор, определяемый как –x = (–1)x. Разностью эле-

ментов x и y называется сумма элемента x с элементом, противоположным

элементу y: x – y = x + (–y).

Замечание. Аксиомы линейного пространства позволяют обращаться с его элементами так же, как с обычными векторами (поэтому вместо тер-

мина «линейное пространство» часто используется термин «векторное пространство»).

Из аксиом Вейля можно вывести следующие утверждения.

Следствие 1. Нулевой элемент единствен.

Доказательство. Допустим, что 01 и 02 – нули в V. Тогда согласно аксиомам 3 и 1 получим 01 01 02 02 01 02 .

Следствие 2. Справедливо равенство 0 x 0 .

Доказательство. Согласно аксиомам: x = 1 x = (1 + 0) x = 1 x + 0 x =

8

= x + 0 x, т. е. x = x + 0 x. Тогда из единственности нуля и 3-й аксиомы получаем требуемое равенство.

В качестве самостоятельного упражнения докажите справедливость утверждения.

Следствие 3.

1.Для любого вектора x обратный элемент единственен.

2.Если x x , где x 0, то .

3.Если x y и 0 , то x y .

Пример 1. Множество векторов в пространстве или на плоскости с обычным сложением и умножением на вещественное число является вещественным линейным пространством. Множество векторов в пространстве с положительными координатами не является линейным пространством, так как произведения векторов из этого множества на отрицательные числа не принадлежат этому множеству (т. е. в рамках этого множества не определены).

Пример 2. Множество непрерывных на отрезке [a, b] функций с обычным сложением и умножением на число является линейным пространством.

Пример 3. Множество всех матриц не является линейным пространством, так как складывать можно лишь матрицы одинакового размера. Однако множество M(m,n) всех матриц фиксированного размера т × п (т. е. состоящих из т строк и п столбцов) является линейным пространством. Важными частными случаями являются множества Rn и Cn.

Пример 4. Множество всех многочленов с обычным сложением и умножением на число является линейным пространством. Множество многочленов фиксированной степени п не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может иметь меньшую степень, чем п (например, (2х2 + 3х – 1) + (–2х2 + х + 2) = 4х + 1). Однако множество всех многочленов степени не выше п является линейным пространством.

9

2.ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

ИНЕЗАВИСИМОСТЬ

Определение. Линейной комбинацией элементов а1, а2,…, ап линейного пространства Х называется элемент z этого пространства следующего вида:

λ1x1 + λ2x2 +…+ λnxn ,

где коэффициенты λ1, λ2,…, λn – любые числа.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю. Тривиальная линейная комбинация любых векторов, очевидно, равна нулевому вектору.

Важным понятием теории линейных пространств является понятие линейной зависимости элементов пространства.

Определение. Элементы а1, а2,…, ап линейного пространства Х назы-

ваются линейно зависимыми, если их линейная комбинация равна нулевому вектору только в том случае, когда она тривиальна, и линейно зависимыми в противном случае.

Говорят также: «линейно независимая система векторов ak n ».

k 1

Непустое конечное упорядоченное множество векторов называют системой векторов. Одна система векторов называется подсистемой другой системы, если она является ее подмножеством.

странства Х являются линейно независимой, если равенство:

выполняется только при тривиальном наборе коэффициентов:

Если равенство (2.1) выполняется при коэффициентах λ1, λ2,…, λn, среди которых не все равны нулю, то система векторов линейно зависима.

Отметим простые теоремы о линейной зависимости и независимости векторов.

Свойство 1. Элементы а1, а2,…, ап линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них есть линейная комбинация остальных.

Доказательство.

Необходимость. Пусть выполняется равенство (2.1), причем, хотя бы один из коэффициентов не равен 0. Для определенности предположим, что λn ≠ 0. Тогда, разделив равенство (2.1) на λn, получаем:

10

а это и означает, что ап есть линейная комбинация остальных элементов. Достаточность. Пусть один из данных элементов (для определенно-

сти – ап) есть линейная комбинация остальных, т. е. выполняется равенство

ап = λ1а1 + λ2а2 + …+ λn–1ап–1. Перенесем все слагаемые направо – получим λ1а1 + λ2а2 + …+ λn–1ап–1 – ап = 0, а это – равенство вида (2.1), причем

коэффициент при ап равен –1 ≠ 0, что и означает линейную зависимость данных элементов.

Свойство 2. Два элемента а1 и а2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. когда существует коэффициент λ, такой, что выполняется равенство а2 = λа1 (свойство 2 – частный случай свойства 1 при п = 2).

Свойство 3. Если среди данных элементов есть нулевой, то система этих элементов линейно зависима.

Доказательство. Действительно, если а1 = 0, то 1 ∙ а1 + 0 ∙ а2 + …+ + 0 ∙ ап = 0, а это – равенство вида (2.1), причем λ1 = 1 ≠ 0.

Свойство 4. Если к системе линейно зависимых элементов присоединить еще один или несколько элементов, то полученная система элементов будет линейно зависимой.

Доказательство. Если выполняется равенство (2.1), причем один из коэффициентов не равен нулю, то выполняется и равенство λ1а1 + λ2а2 + …+

+ λnап + 0 ап+1+ 0 ап+2 +…+ 0∙ап+ т = 0, при этом тот же коэффициент остается ненулевым.

Свойство 5. Если система элементов линейно независима, то любая ее подсистема линейно независима.

Доказательство. Рассуждаем «от противного»: если бы оставшиеся элементы оказались линейно зависимыми, то, присоединив к ним удаленные элементы, мы по предыдущему свойству получили бы линейно зависимую систему элементов, которая по предположению линейно независима. Мы пришли к противоречию с условием, что показывает неверность предположения.

Пример 1. В пространстве непрерывных на [–π, π] функций рассмотрим две системы функций:

(а) у1 = 1, у2 = cosx, y3 = cos2x; (б) у1 = 1, у2 = cos2x, y3 = cos2x.

Система (б) линейно зависима, так как по формулам тригонометрии cos 2x = 2cos2x – 1, т. е. у3 = 2у2 – у1 (одна из функций является линейной

11

комбинацией остальных), или, что то же, у1 – 2у2 + у3 = 0 (выполняется равенство вида (2.1)). Набор (а) линейно независим. Действительно, если выполняется равенство λ1у1 + λ2у2 + λ3у3 = 0, т. е. при всех х [–π, π] выполняется равенство λ1 + λ2 cosx + λ3cos2x = 0, то, в частности, оно выполняется и при х = 0, х = π/2, х = π, т. е. выполняются равенства:

λ1 + λ2 + λ3 = 0, λ1 – λ3 = 0, λ1 – λ2 + λ3 = 0.

Таким образом, коэффициенты λ1, λ2, λ3 удовлетворяют однородной системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Определитель

вое решение: λ1= λ2 = λ3= 0, что и означает – набор (а) линейно независим. Пример 2. В том же пространстве рассмотрим систему из четырех

функций: y1 = x3arctg2x, y2 = x e–sinx, y3 = ln(1 + x2), y4 = 2xe sin x . Этот набор функций линейно зависима, так как функции у2 и у4 пропорциональ-

ны (коэффициент пропорциональности = 2 ) и, следовательно, линейно зависимы, а значит и система всех четырех функций (по 4-му свойству) тоже линейно зависима.

Лемма (о линейной зависимости линейных комбинаций). Пусть в линейном пространстве Х зафиксированы любые п элементов. Тогда любые т (т > n ) линейных комбинаций из этих п элементов обязательно линейно зависимы (т. е. если из данных п элементов составить достаточно много (> n) линейных комбинаций, то эти линейные комбинации окажутся линейно зависимыми).

Доказательство (по индукции).

База индукции. Пусть п = 1, т > 1 и единственный данный элемент есть а1, а линейные комбинации: b1 = λ1а1 и b2 = λ2a1. Если λ1 = 0, то b1 = 0, тогда по 3-му свойству элементы b1 и b2 линейно зависимы, т. е. λ1 ≠ 0, то

линейно зависимы. База индукции подведена.

Индукционный переход. Пусть лемма уже доказана для любых т > n линейных комбинаций из элементов b1, b2…, bm. . Докажем, что тогда и линейные комбинации

bk = λk1ak1 + λk2ak2 +…+ λknakn + λk,n+1ak,n+1 (k = 1, 2,…, m + 1),

где а1, а2,…, ап – любые числа, тоже линейно зависимы. Если все λk,n+1 = 0 (k = 1, 2, …, m + 1), то элементы bk являются фактически линейными ком-

12

бинациями лишь п элементов а, а2,…, ап, и по индукционному предположению они линейно зависимы. Если же среди этих коэффициентов есть ненулевые (для определенности λт+1,n+1 ≠ 0): то вычтем из каждого среди первых п элементов bk – элемент bт+1 с таким коэффициентом, чтобы коэффициент при ап+1 в этих линейных комбинациях стал равным 0. Получим равенства следующего вида:

где k = 1, 2, …, т, а сkj – некоторые новые коэффициенты. Так как полу-

ми лишь п элементов а1, а2,…, ап, а их число т > п, то по индукционному предположению они линейно зависимы, т. е. найдутся коэффициенты μk, не все равные нулю, такие, что μ1р1 + μ2р2+…+ μт рт= 0 , или, что то же:

m 1

Это равенство можно переписать в виде kbk 0 (где μт+1 – неко-

k 1

торый коэффициент), а это и значит, что элементы b1, b2,…, bm+1 линейно зависимы. Индукционный переход доказан, и лемма доказана полностью.

13