9. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

Задание 1.

Напоминаем, что координаты элемента – это коэффициенты в его разложении по базису.

1.1.Найти координаты заданного многочлена Р(х) в указанном базисе е0, е1, е2, …, еп в пространстве многочленов степени не выше п.

1.2.Найти координаты заданной матрицы А в указанном базисе е1, е2,

е3, е4.

1.3. Найти координаты заданного 4-мерного вектора х в базисе линейной оболочки L(x1, x2, х3), где x1, x2, х3 – векторы; найти при этом те значения параметров λ, при котором х принадлежит данной линейной оболочке.

Вариант 1. х = (1, 2, 3, λ), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 0, 1), х3 = (1, 0, 1, 1).

1.1. Задано:

п = 3; многочлен Р(х) = х3 + 2х – 5; базис е0 = х(1 – х), е1 = (1 – х)2, е2 = 1,

е3 = х3. Решение.

Обозначим координаты через с0, с1, с2, с3. Они находятся из равенства

Р(х) = с0е0 + с1е1 + с2е2 + с3е3, т. е. из равенства х3 + 2х – 5 = с0х(1 – х) + + с1(1 – х) + с2 + с3х3, или х3 + 2х – 5 = (с0 + с2) + (с0 – с1)х – с0х2 + с3х3. Два

многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях. Поэтому координаты находятся решением системы:

Решение.

Матрицы равны тогда и только тогда, когда равны все их соответствующие элементы. Поэтому равенство А = с1е1 + с2е2 + с3е3 + с4е4 в данном случае равносильно системе четырех уравнений:

67

2с1 с2 с3 1,с1 2с2 с4 2,с1 2с3 с4 3,с2 с3 – с4 2.

Решая систему, находим: с1 = –10 ∕12, с2 = 13 ∕12, с3 = 19 ∕12, с4 = 8 ∕12.

А= (–5 ∕6, 13 ∕12, 19 ∕12, 3 ∕4).

1.3.Задано:

векторы х = (λ, 2, 3, 1), х1 = (1, 1, 0, 1), х2 = (0, 1, 1, 1), х3 = (2, 1, 1, 0).

Решение

Задача сводится к следующей: при каких λ совместна система с1х1 + + с2х2 + с3х3 = х, или (в координатах):

Решаем эту систему. Вычитая из 2-го уравнения 3-е и 4-е, получим: с1 = –1, с3 = 1, с2 = 2, λ = 1; таким образом х = (–1, 2, 1) при λ = 1 в базисе

х1, х2, х3.

Решать систему можно любым известным способом – методом Гаусса, по формулам Крамера, при помощи обратной матрицы и т. д. Например, по методу Гаусса, обозначая через А матрицу из координат данных векторов, получим

Мы привели матрицу к трапециевидной форме, переставив 1-ю строку в конец, и, вычитая каждую строку из последующих строк с нужными коэффициентами. Отсюда: тот же результат, что и выше: чтобы последняя строка являлась линейной комбинацией остальных необходимо и достаточно, чтобы с1= –1, с3 = 1, с2 = 2, λ = 1. Попутно мы вновь установили, что оболочка L(x1, x2, x3) – трехмерна.

68

Замечание. Возможные ответы в разных вариантах этого задания: «при любых λ (и /или μ)», «при любых λ (и /или μ), кроме …», «ни при каких λ

(и/или μ)».

Задание 2

Найти размерности и базисы 4-ех пространств: заданных X и Y, их суммы X + Y и пересечения X Y. (X и Y могут быть заданы: как линейные оболочки данных элементов, как множества решений данной однородной системы линейных уравнений, как подмножество пространства многочленов, удовлетворяющих каким-либо дополнительным условиям).

Задано: X = L(a, b, c, d), a = (0, 1, 2, 1), b = (2, 1, 0, 1), c = (1, 1, 1, 1), d = (1, 1, 0, 0);

Y = L(p, q, r), p = (3, 1, 0, 1), q = (0, 2, 1, 0), r = (0, 0, 1, 2).

Решение

Чтобы найти размерность и базис пространства X = L(a, b, c, d) – надо найти ранг матрицы из координат данных векторов, для чего привести ее к трапециевидной форме – переставив 4-ю строку на место 1-й и вычитая каждую строку из последующих с нужными коэффициентами:

Отсюда ясно, что dimX = dimL(a, b, c, d) = 3 и что в качестве базиса в этом пространстве можно взять векторы е1 = (1, 1, 0, 0), е2 = (0, 1, 2, 1),

е3 = (0, 0, 1, 1).

Аналогично находим размерность и базис пространства Y = L(p, q, r). Матрица из координат данных векторов – уже трапециевидная:

69

Итак, пространство X + Y тоже трехмерно, а потому пространства X, Y, X + Y, X∩Y совпадают, все они трехмерны, и базис любого из них является базисом всех остальных.

Задано: X = L(a, b, c, d), a = (0, 1, 2, 1), b = (2, 1, 0, 1), c = (1, 1, 1, 1), d = (1, 1, 0, 0);

Y = L(p, q, r), p = (3, 1, 0, 1), q = (0, 2, 1, 0), r = (3, 3, 1, 1).

Решение

Если пространство Х то же, что и в предыдущем примере, у Y – p и q

те же, а r = (3, 3, 1, 1), то

и dimY = dim L(p, q, r) = 2. В качестве базиса Y можно взять e1 = p = (3, 1, 0, 1), e2 = q = (0, 2, 1, 0). При этом матрица С принимает вид

Вэтом случае тоже – dim(X + Y) = 3, а dim(X∩Y) = dim(X + Y) = dimX +

+dimY – dim(X + Y) = 3 + 2 – 3 = 2, а значит, Y X .

Задано: X = L(a, b, c, d), a = (0, 1, 2, 1), b = (2, 1, 0, 1), c = (1, 1, 1, 1), d = (1, 1, 0, 0);

Y = L(p, q, r), p = (3, 1, 0, 1), q = (1, 2, 2, 1), r = (4, 3, 2, 2).

Решение

Если пространство Х то же, что и в предыдущем примере, у Y вектор p –

то же, а q = (1, 2, 2, 1) и r = (4, 3, 2, 2), тогда

и dimY = dimL (p, q, r) = 2, а в качестве базиса Y можно взять e1΄= q = (1, 2, 2, 1), e2΄= (0, 5, 6, 2). При этом матрица С принимает вид:

70

В этом случае тоже dim(X + Y) = 4, а dim(X ∩ Y) = dimX + + dimY – dim(X + Y) = 2 + 3 – 4 = 1. Базис в X + Y – тот же, что и в Х плюс вектор е4 = (0, 0, 0, 1). Пространство X ∩ Y – это множество тех элементов,

для которых разрешимо равенство k1а + k2b + k3c + k4d = k5 p + k6q + k7r, или, переходя к базисам:

Перейдя к координатам, видим, что X ∩ Y определяется системой четырех линейных однородных уравнений:

с1 с4 ,

c1 c2 2c4 5c5 ,2c2 c3 2c4 6c5 ,

c2 c3 c4 2c5.

Матрица этой однородной системы имеет вид

Отсюда видно, что c5 = 0, с4 = т можно взять произвольно, а остальные коэффициенты определяются через т однозначно: с3 = 0, c2 = m, c1 = m.

Равенство (9.1), определяющее X ∩ Y, принимает вид те1 + те2 = т e1΄, что легко проверяется. Значит, мы еще раз убедились, что X ∩ Y одномерно, а в качестве его базиса можно взять элемент e = е1 + е2 = e1΄= (1, 2, 2, 1), который получается при т = 1.

Задано: Х – множество решений 1-й системы, Y – множество решений 2-й системы.

71

Решение

Для нахождения базиса и размерности Х найдем все решения данной системы по методу Гаусса, для чего преобразуем матрицу этой системы к трапециевидной форме:

r(A) = 3; dimX = n – r = 2; два неизвестных можно взять произвольно: х4 = t1, x5 = t2; остальные неизвестные однозначно выразятся через t1 и t2, для чего перепишем данную систему в виде:

Отсюда x3 = (21t1 + 22t2) /43; x2 = (39t1 + 4t2) /43; x3(48t1 – 5t2) /43. Взяв t1 = 1 и t2 = 0, найдем первый элемент базиса е1 = (21 /43, 39 /43, 48 /43, 1, 0),

а при t1 = 0 и t2 = 1 – второй: е1 = (22/43, 4/43, –5/43, 0, 1), в качестве базиса можно выбрать те же векторы, удлиненные в 43 раза, т. е. векторы е1 = (21, 39, 48, 43, 0), е2 = (22, 4, –5, 0, 43). Аналогично находится базис второго пространства:

r(В) = 2; dimY = n – r = 5 – 2 = 3; три неизвестных можно взять произвольно: х3 = t1, x4 = t2, x5 = t3 ; остальные неизвестные однозначно выразятся через t1 и t2, для чего перепишем данную систему в виде:

72

Отсюда x2 = (3t1 + 5t2 – 2t3) /6, x1 = (–4t2 + 7t3) /3; элементы базиса получатся, когда одно из произвольных чисел примет значение 1, а два

остальных – 0: е1 = (0, 1/2, 1, 0, 0), e2 = (–2/3, 5/6, 0, 1, 0), e3 = (7 /3, –1 /3, 0, 0, 1).

Итак, найдены базисы пространства X и Y. Как, зная базисы пространств X и Y, найти базисы X + Y и X ∩ Y, описано в предыдущих примерах.

Замечание. Очевидно, что если X и Y заданы как множество решений однородных систем линейных уравнений, то их X∩Y есть множество элементов, являющихся решениями и первой, и второй системы одновременно, т. е. являющихся решениями системы, составленной из всех уравнений обеих систем. Поэтому находить размерность и базис пространства X∩Y можно также методом Гаусса по теореме Кронекера – Капелли, как было описано выше.

Задано: Х и Y – пространства многочленов степени не выше четырех, Х – состоит из многочленов Р(х), удовлетворяющих равенствам P(1) = 0,

P΄΄(2) = 0, P΄΄(1) = 0,

Y – cостоит из четных многочленов, удовлетворяющих равенствам

4Р(1) – Р΄(2) = 0, 2P΄΄(2)–P΄΄(3) = 0.

Решение

Если пространства X и Y есть подпространства пространства многочленов степени не выше п, удовлетворяющих каким-то дополнительным линейным условиям, то коэффициенты этих многочленов удовлетворяют однородной системе линейных уравнений и могут быть исследованы методами, указанными выше.

Пусть рассматриваемые многочлены имеют вид

Р(х) = с0 + с1 х + с2 х2 + с3 х3+ с4 х4.

Тогда пространство Х состоит из тех многочленов, коэффициенты которых удовлетворяют системе уравнений:

с0 с1 с2 с3 с4 0,

2с2 12с3 48с4 х2 0,2с2 6с3 12с4 0.

(так как Р΄΄(x) = 2с2 + 6с3х + 12с4х2). Сокращая на 2, запишем систему в стандартной форме:

73

Четность многочлена означает, что все коэффициенты при нечетных сте-

пенях равны 0: с1 = с3 = 0. Многочлены из Y имеют вид: Р(х) = с0 + с2х2 + с4х4, Р΄(x) = 2c2x + 4c4x3, P΄΄(x) = 2c2 + 12c4x2. Поэтому Y определяется систе-

мой уравнений:

с1 с3 0,

4с0 – 28с4 0,2с2 – 12с4 0.

Ее стандартная форма после сокращений принимает вид:

c1 0,

Y: c3 0,

c0 7c4 0,c2 12c4 0.

Решая эти системы методом Гаусса, получим:

Переставив столбцы (сделав 1-й столбец последним), получим матрицу трапециевидной формы, откуда r(A) = 3, dimX = n–r = 5 – 3 = 2, две переменные можно взять произвольно, например, с0 = t1, c4 = t2, тогда с3 = –6t2,

c2 = –6c3 – 24t2 = –12t2, c1= –c0 – c2 – c3 – c4 = –t1 +12t2 + 6t2 –t2 = 17t 2 – t1.

При t1 = 1, t2 = 0 получим 1-й элемент базиса: е1 = (1, –1, 0, 0, 0), при

t1 = 0, t2 = 1 получим 2-й элемент базиса: е2 = (0, 17, –12, –6, 1), таким образом, базисные многочлены е1(х) = 1 – х, е2(х) = 17х – 12х2 – 6х3 + х4.

Еще проще найти размерность и базис Y. Конечно, можно так же преобразовывать матрицу системы, определяющей Y, т. е. матрицу

но и так очевидно, что r(A) = 4, dimX = n–r = 5 – 4 = 1, одну переменную можно взять произвольно, например, с4 = t, тогда с0 = 7t, c1 = 0, c2 = 12t, c3 = 0, с4 = t, при t = 1 получим базовый элемент е1΄= (7, 0, 0, 0, 1) и, следовательно, базовый многочлен е1΄(х) = 7 – х4. Как теперь, зная размерности и базисы пространств X и Y, найти базисы X + Y и X ∩ Y, описано в предыдущих примерах.

74

Задание 3

Ортогонализовать набор данных элементов в данном унитарном пространстве:

а) набор векторов х1 , х2, х3, х4 в 4-мерном евклидовом пространстве; б) набор многочленов 1, х, х2, х3 в унитарном пространстве с данным

весом, т. е. в котором скалярное произведение вычисляется по формуле ( f (x), g(x)) ab p(x) f (x)g(x)dx , где a и b – данные числа, а р(х) > 0 – данная функция.

Замечание.

Как ортогонализовать данные элементы евклидова пространства – указано в примерах соответствующего разд. 5 этого пособия.

Задание 4

Даны 2 линейных оператора А и В в пространстве многочленов степени п, не выше указанной, вида Р(х) = с0 + с1х + с2х2 + с3х3 +…+ сп:

1) найти формулы, по которым действуют операторы АВ и ВА и их разность, т. е. коммутатор С = АВ – ВА;

2)найти в стандартном базисе е0 = 1, е1 = х, е2 = х2, е3 = x3, …, еп = хп их матрицы, а также матрицы их произведения, т. е. операторов АВ и ВА, и разности матриц этих произведений, т. е. коммутатора С = АВ – ВА;

3)вычислить матрицу АВ – ВА и убедиться, что она действительно

совпадает с матрицей оператора С.

Задано: п = 3, АР = (2х2 + 3х – 2)Р΄΄+ (2х – 1)P΄+ 2Р;

BP = (x2 + x)P΄΄ – 2xP΄+ Р.

Решение

1) Напоминаем формулу Лейбница для вычисления производных

n

от произведения: (uv)(n) Cnku(k )v(n k ) , где считается, что и(0) = и, v(0) = v.

k0

Вчастности, (uv)΄΄= u΄΄v + 2u΄v΄+ uv΄΄.

По правилам дифференцирования суммы и произведения получаем:

АВР = А(ВР) = (2х2 + 3х–2)(ВР)΄΄+ (2x – 1)(ВP)΄+ 2(ВР) =

=(2х2 + 3х – 2)[(x2 + x)P΄΄– 2xP΄+ Р]΄΄+ (2x – 1)[(x2 + x)P΄΄– 2xP΄+ Р]΄+

+2[(x2 + x)P΄΄– 2xP΄+ Р] = (2x2 + 3x – 2) [2P΄΄+ 2(2x + 1)P΄΄΄+ (x2 + x)P(4)–

–4P΄΄ – 2xP΄΄΄+ P΄΄] + (2x – 1)[(2x + 1)P΄΄+ (x2 + x)P΄΄΄– 2P΄– 2xP΄΄+ Р΄] +

+2[(x2 + x)P΄΄– 2xP΄+ Р] = (2x2 + 3x – 2) [–P΄΄+ (2х + 2)P΄΄΄+ (x2 + x)P(4)] +

+(2x – 1)[–Р΄+ P΄΄+ (x2 + x)P΄΄΄] + 2[(x2 + x)P΄΄– 2xP΄+ Р] =

=(2x2 + 3x – 2)(x2 + x)P(4) + [(2х+2)(2x2 + 3x – 2)+(2x –1)(x2+ x)]P΄΄΄+

+[–(2x2 + 3x – 2) + (2x – 1) + 2(x2 + x)]P΄΄+ [ –(2x – 1) –4x]P΄ + 2P =

75

=(2х4 + 5х3 + х2 – 2х)Р(4) + (6х3 + 11х2+ х–4)Р΄΄΄+ (x + 1)P΄΄+

+(–6x + 1)P΄+ 2P.

Итак, оператор АВ действует на любой многочлен Р(х) по формуле:

АВР = (2х4 + 5х3 + х2 – 2х)Р(4) + (6х3 + 11х2 + х–4)Р΄΄΄+ (x + 1)P΄΄+

+ (–6x + 1)P΄ + 2P.

Аналогично: ВАР = В(АР) = (x2 + x)(АP)΄΄– 2x(АP)΄+ АР =

=(х2 + х)[(2х2+ 3х–2)Р΄΄+ (2x – 1)P΄+ 2Р]΄΄– 2x[(2х2 + 3х – 2)Р΄΄+

+(2x – 1)P΄+ 2Р]΄+ (2х2 + 3х – 2)Р΄΄+ (2x – 1)P΄+ 2Р =

=(x2+ x)[4P΄΄+ 2(4x + 3)P΄΄΄+ (2x2 + 3x–2)P(4) + 4P΄΄+ (2x – 1)P΄΄΄+ 2P΄΄] –

–2x[(4x + 3)P΄΄+ (2x2 + 3x – 2)P΄΄΄+ 2P΄+ (2x – 1)P΄΄+ 2P΄] +

+(2х2 + 3х – 2)Р΄΄+ (2x – 1)P΄+ 2Р = (x2 + x)[10P΄΄+ (10x + 5)P΄΄΄+

+(2x2 + 3x – 2)P(4)] – 2x[4P΄+ (6x + 2)P΄΄+ (2x2 + 3x – 2)P΄΄΄] +

+(2х2+ 3х – 2)Р΄΄+ (2x – 1)P΄+ 2Р = (2x4+ 5x3+ x2– 2x)P(4) +

+(6x3+ 9x2 + 9x)P΄΄΄ + (9x – 2)P΄΄+ (–6x – 1)P΄+ 2P.

Оператор ВА действует на любой многочлен Р(х) по формуле:

ВАР = (2х4 + 5х3 + х2 – 2х)Р(4) + (6х3 + 9х2 + 9х)Р΄΄΄+ + (9x – 2)P΄΄+ (–6x – 1)P΄+ 2P.

Из полученных равенств следует, что коммутатор этих операторов, т. е. оператор С = АВ – ВА действует на любой многочлен Р(х) по формуле:

СР = (АВ – ВА)Р = (2х2 – 8х – 4)Р΄΄΄+ (–8x + 3)P΄΄+ 2Р΄.

2) Напоминаем, что столбцами матрицы оператора служат координа-

ты образов базисных векторов. Поэтому:

А(е0) = А(1) = (2х2 + 3х – 2)1΄΄+ (2x – 1)1΄+ 2 = 0 + 0 + 2 = (2, 0, 0, 0); А(е1) = А(х) = (2х2 + 3х – 2)х΄΄+ (2x – 1)х΄+ 2х = 0 + (2х – 1) + 2х =

= (–1, 4, 0, 0);

А(е2) = А(х2) = (2х2 + 3х – 2)(х2)΄΄+ (2x – 1)(х2)΄+ 2х2 = 4х2 + 6х – 4 + + 4х2– 2х + 2х2 = –4 + 4х + 10х2 = (–4, 4, 10, 0);

А(е3) = А(х3) = (2х2 + 3х – 2)(х3)΄΄+ (2x – 1)(х3)΄+ 2х3 = (2х2 + 3х – 2)6х + + (2x – 1)3х2 + 2х3= –12х + 15х2 + 20х3 = (0, –12, 15, 20);

матрица оператора А в рассматриваемом базисе имеет вид:

76

Аналогично:

B(е0) = (x2+ x)1΄΄– 2х1΄+ 1 = (x2 + x)0 – 2x0 + 1 = 1 = (1, 0, 0, 0). B(е1) = (x2 + x)х΄΄– 2x(х)΄+ х = 0 – 2х + х = BP = –x = (0, –1, 0, 0).

B(е2) = (x2 + x)(х2)΄΄– 2x(х2)΄+ х2 = (x2 + x)2 – 2x(2х) + х2 = –x2 + 2х = = (0, 2, –1, 0).

B(е3) = (x2 + x)(х3)΄΄– 2x(х3)΄ + х3 = (x2 + x)6х – 2x(3х2) + х3 = 6х3 + + 6х2–6x3 + х3 = х3 + 6х2 = (0, 0, 6, 1).

По тем же правилам находим матрицы операторов АВ, ВА, С:

АВ(е0) = (2х4 + 5х3 + х2– 2х)1(4) + (6х3 + 11х2 + х – 4)΄΄΄+ (x + 1)1΄΄ + + (–6x + 1)1΄ + 2 = 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 2 = (2, 0, 0, 0);

АВ(е1) = (2х4 + 5х3 + х2 – 2х)(х)(4) + (6х3 + 11х2 + х–4)(х)΄΄΄+ (x + 1)(х)΄΄+ + ( –6x + 1)(х)΄ + 2х = 0 + 0 + 0 – 6х + 1 + 2х = 1 – 4х = (1, –4, 0, 0);

АВ(е2) = (2х4 + 5х3 + х2– 2х)(х2)(4) + (6х3 + 11х2 + х – 4)(х2)΄΄΄ + + (x + 1)(х2)΄΄ + (–6x + 1)(х2)΄ + 2х2 = 0 + 0 + 2(х + 1) – 12х2 + 2х + 2х2 =

= 2 + 4х – 10х2 = (2, 4, –10, 0); АВ(е3) = (2х4 + 5х3 + х2– 2х)(х3)(4) + (6х3 + 11х2 + х – 4)(х3)΄΄΄ +

+(x + 1)(х3)΄΄ + (–6x + 1)(х3)΄ + 2х3 = 0 + 6(6х3 + 11х2 + х – 4) + 6х(х + 1) +

+3х2(1 – 6х) + 2х3 = –24 + 12х + 75х2 + 20х3 = (–24, 12, 75, 20);

ВА(е0) = (2х4 + 5х3 + х2– 2х)1(4) + (6х3 + 9х2 + 9х)1΄΄΄ + (9x – 2)1΄΄+ + (–6x – 1)1΄+ 2 = 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 2 = (2, 0, 0, 0);

ВА(е1) = (2х4 + 5х3 + х2– 2х)(х)(4) + (6х3 + 9х2 + 9х)(х)΄΄΄+ (9x – 2)(х)΄΄+ + (– 6x – 1)(х)΄ + 2х = 0 + 0 + 0–6х – 1 + 2х = –4х – 1 = (–1, –4, 0, 0);

ВА(е2) = (2х4 + 5х3 + х2– 2х)(х2)(4) + (6х3 + 9х2 + 9х)(х2)΄΄΄+ (9x – 2)(х2)΄΄+ + (–6x – 1)(х2)΄+ 2х2 = 0 + 0 + 18х – 4 – 12х2 – 2х + 2х2 = (–4, 16, –10, 0);

ВА(е3) = (2х4 + 5х3 + х2– 2х)(х3)(4) + (6х3 + 9х2 + 9х)(х3)΄΄΄+ (9x – 2)(х3)΄΄ + + (–6x – 1)(х3)΄ + 2х3 = 0 + 6(6х3 + 9х2 + 9х) + 6х(9x – 2) + 3х2(–1 – 6х) + 2х3 =

= (0, 42, 105, 20);

77

C(e0) = (2х2 – 8х – 4)(1)΄΄΄+ (–8x + 3)(1)΄΄ + 2(1)΄ = 0 + 0 + 0 = (0, 0, 0, 0); C(e1) = (2х2 – 8х – 4)(x)΄΄΄+ (–8x + 3)(x)΄΄+ 2(x)΄ = 0 + 0 + 2 = (2, 0, 0, 0); C(e2) = (2х2 – 8х – 4)(x2)΄΄΄+ (–8x + 3)(x2)΄΄+ 2(x2)΄ = 0 – 16x + 6 + 4x =

(6, –12, 0, 0);

C(e3) = (2х2– 8х – 4)(x3)΄΄΄+ (–8x + 3)(x3)΄΄+ 2(x3)΄= 12x2– 48x – 24 – 48x2 + + 18x + 6x2 = –24 – 30x – 30x2 = (–24, –30, –30, 0);

3) По правилу перемножения матриц найдем:

Задание 5

1)Привести к каноническому виду данное уравнение второго порядка от двух переменных; выяснить, какую кривую оно задает; указать ее полуоси или параметр; указать формулы перехода к канонической системе координат; построить эту кривую в исходной системе координат.

2)Привести к каноническому виду данное уравнение второго порядка от трех переменных; выяснить, какую поверхность оно задает; указать ее

78

полуоси или параметры; указать формулы перехода к канонической системе

координат; построить эту поверхность в канонической системе координат.

Задано: 1) 6x2– 4xy + 9y2 – 8x + 16y – 2 = 0.

Решение

Прежде всего, составим матрицу квадратичной формы из этого уравнения (напоминание о том, как она составляется в замечании к выполне-

Затем находим характеристический многочлен этой матрицы:

Находим собственные числа (т. е. корни этого уравнения): λ1 = 5, λ2 = 10. Так как они оба положительны, то рассматриваемая кривая – эллипс

(или точка, или мнимый эллипс)

Теперь находим соответствующие собственные векторы (напоминаем, что для этого в однородную систему линейных уравнений (А – λ)Х = 0 подставляем найденные собственные числа (тогда ее определитель ока-

Так как ее определитель равен 0, то она имеет бесчисленное множество решений. Значение одного из неизвестных можно выбрать произвольно. Например, взяв β = 1, найдем, что α = 2. Соответствующий собственный вектор: е1 = (2, 1).

Аналогично, для λ2 = 10 эта система имеет вид:

4 2 0;2 0.

При α = 1 находим, что β = –2. Соответствующий собственный вектор: е2 = (1, –2). Итак, полуоси нашего эллипса параллельны векторам е1 и е2. Орты этих векторов получатся, если их координаты разделить на длины,

т. е. на число 5 . Повернем оси координат так, чтобы эти орты стали ортами координатных осей новой системы координат. Формулы перехода имеют вид:

79

(коэффициенты в столбцах – координаты новых базисных ортов в исходном базисе). Подставляя эти равенства в данное уравнение, получим (учитывая, что при квадратах новых переменных коэффициентами станут собственные числа):

Совершим параллельный перенос осей новой системы координат так, чтобы ее начало оказалось в этой точке, т. е. перейдем к канонической системе координат данного эллипса. Формулы преобразования координат в этом

Подставляя их в полученное уравнение данного эллипса и сокращая его на 5,