Динамика твердого тела

Дифференциальные уравнения различных типов движений твердого тела можно получить, применяя соответствующие теоремы динамики.

Поступательное движение

Из теоремы о движении центра масс получаются дифференциальные уравнения поступательного движения твёрдого тела. Из кинематики известно, что при поступательном движении все точки имеют одинаковые характеристики (скорость, ускорение), следовательно, движение тела определяется движением одной точки, За такую точку целесообразно принять центр масс системы. Тогда на основании теоремы получим

,

где — масса твердого тела.

Проектируя на оси системы координат, получаем дифференциальные уравнения поступательного движения

Таким образом, изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной точки.

Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Угловую скорость его вращения в произвольный момент времени обозначим. Тогда кинетический момент этого тела относительно осиравен

.

Учитывая постоянство момента инерции для твёрдого тела, согласно теореме об изменении кинетического момента имеем

.

Это и есть дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Частные случаи:

• если, то, т.е. вращение равномерное;

• если, то, т.е. вращение равнопеременное.

Следует отметить, что дифференциальное уравнение вращательного движения аналогично по структуре дифференциальному уравнению поступательного движения твёрдого тела, откуда следует, что момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса в поступательном движении, т.е. он характеризует инерционные свойства тела во вращательном движении. В этом смысле момент внешних сил аналогичен силам в поступательном движении.

Нахождение реакций в подшипниках

Дифференциальное уравнение вращательного движения не позволяет определить реакции опор, удерживающих тело на оси вращения. Для их нахождения необходимо применить теорему о движении центра масс и теорему об изменении кинетического момента, записанных в проекциях на оси координат или воспользоваться принципом Даламбера. Например, для декартовой системы координат(рис. 3. 5) получим

Последнее уравнение данной системы полностью совпадает с дифференциальным уравнением вращательного движения, полученного ранее.

Рис. 3. 5 Динамические реакции подшипников.

Для нахождения неизвестных реакций в подшипниках остается пять алгебраических уравнений. Обычно полные реакции в подшипниках раскладывают на статические и динамические составляющие

Статическими реакциями называют части полных реакций, которые статически уравновешивают приложенные внешние силы. Уравнения для их определения получают из первых пяти уравнений, положив в нихи.

Части полных реакций, которые возникают при движении твердого тела, называют динамическими реакциями. Уравнения для их определения получаем с учетом того, что приложенные внешние силы уравновешиваются статическими реакциями

Когда центр масс твердого тела расположен на оси вращения, твердое тело называют статически уравновешенным. Динамические реакции в этом случае образуют пару сил.

Когда ось вращения является главной центральной осью инерции и центр масс расположен на ней, имеем случай динамической уравновешенности. Динамические реакции равны нулю и в подшипниках возникают только статические реакции.