Обобщенные силы

Наряду с понятием обобщенной координаты в механике вводится величина обобщенной силы, основанное на понятии элементарной работы силы на возможном перемещении.

Сумма элементарных работ активных сил

,

где — обобщённые силы.

Каждая обобщённая сила соответствует своей обобщённой координате(число обобщённых сил равно числу степеней свободы), и определяется выражением

,.

Если все активные силы являются потенциальными, то обобщённые силы для консервативной системы вычисляются по формулам

.

Введение в динамику механической системы

Механической системой называют совокупность материальных точек, взаимодействующих между собой..

Все силы, действующие на механическую систему можно условно разделить на активные и реактивные (силы реакции), или на внешние и внутренние силы. Если это силы взаимодействия между точками механической системы, то это внутренние силы, в противном случае — это внешние силы. Примером внутренних сил могут служить силы упругости, возникающие между частицами упругого тела. Разделение сил на внутренние и внешние является условным. Одна и та же сила может быть как внешней, так и внутренней в зависимости от того, какая механическая система рассматривается. Заметим, что внутренние и внешние силы могут включать в себя как активные силы, так и силы реакций связей.

Дифференциальные уравнения движения механической системы

Рассмотрим систему, состоящую из материальных точек (рис. 3. 4). Обозначим черезиравнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к точке. Составим для каждой точки системы дифференциальные уравнения движения:

, где

Рис. 3. 4. Движение произвольной точки механической системы

Полученные уравнения называются дифференциальными уравнениями движения системы материальных точек. Внутренние силы, входящие в эти уравнения, как правило, являются неизвестными. Интегрирование этих уравнений при известных внешних силах и начальном состоянии механической системы возможно в конечном виде лишь в исключительных случаях.

Основная роль уравнений движения системы состоит в том, что они являются исходными для вывода общих теорем динамики системы.

Общие теоремы динамики

При решении многих инженерных задач нет необходимости в подробном описании поведения всей механической системы. Достаточно знать, как меняются лишь некоторые, основные для данной задачи параметры. Законы изменения таких величин представляют собой общие теоремы динамики.

Теорема о движении центра масс

Центр масс механической системы движется так же, как материальная точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

или.

Из формулировки теоремы следует, что внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс системы.

Теорема об изменении количества движения

Производная по времени от главного вектора количества движения механической системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему

или.

После интегрирования последнего выражения по времени в пределах от 0 до tполучим теорему в конечной форме.

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за то же время

.

Внутренние силы не входят явно в формулировку теоремы и, поэтому, не могут непосредственно изменять количества движения системы.