Аппроксимация

Задача аппроксимации – представление произвольной сложной функции f(x)более простой и удобной для практического использования аппроксимирующей функцией(x)таким образом, чтобы отклонение (x)отf(x)на заданном отрезке[a,b]было минимальным по определенному критерию приближения. При этом в отличие от задачи интерполяции значения функции (x)могут отличаться от значений функцииf(x)в заданных точках.

Наиболее распространенным методом аппроксимации данных является метод наименьших квадратов (МНК).

Рисунок 2.1 – Пример использования функции ifпри построении полинома Лагранжа

Пусть функция y = f(x) задана таблицей своих значений:y_i = f(x_i),

i = 0,1,…n. Критерием близости в методе наименьших квадратов является требование минимальности среднего квадратического отклонения (СКО):

(2.7)

откуда следует требование минимальности суммы квадратов отклонений от аппроксимирующей функции до экспериментальных точек:

(2.8)

Таким образом, в отличие от задачи интерполяции не требуется, чтобы аппроксимирующая функция проходила через все заданные точки, что особенно важно при аппроксимации экспериментальных данных, содержащих погрешности.

Важной особенностью метода является то, что аппроксимирующая функция может иметь различный вид, который определяется особенностями решаемой задачи (например физическими соображениями, если проводится аппроксимация результатов физического эксперимента). Наиболее часто встречаются аппроксимация прямой линией (линейная регрессия), аппроксимация полиномом (полиномиальная регрессия), аппроксимация линейной комбинацией произвольных функций.

При аппроксимации функции прямойпо МНК задан набор точек и значений функции в них, и предполагается, что эти точки должны лежать на одной прямой. При этом число точек может быть произвольным, намного больше двух, и поэтому обычно нельзя провести прямую линию через все точки одновременно.

Из всех прямых  (x)= ax + bвыбирается та, для которой сумма квадратов отклонений заданных значений функции от этой прямой минимальна, т.е. минимизируется функция

Для поиска минимума приравняем к нулю производные и:

Имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Для ее решения можно использовать численные методы решения систем линейных уравнений. Однако для такого простого случая можно аналитически получить значения для коэффициентов.

(2.9)

Аппроксимация полиномом с помощью МНК. Пусть функцияy = f(x) задана таблицей своих значений: y_i = f(x_i),i = 0,1, ...n.Требуется найти полином фиксированной степениm, для которого СКО

минимально.

Так как многочлен P_m(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m определяется своими коэффициентами, то нужно подобрать набор коэффициентовa₀,a₁,a₂….a_m, минимизирующий функцию

.

Используя необходимое условие экстремума ,k=0,1,..m, получаем так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов:

, k=0,1,..m.

(2.10)

Полученная система есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных a₀,a₁,a₂….a_m. Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, то есть решение существует и единственно. Однако при высоких степеняхmсистема является плохо обусловленной. Поэтому МНК обычно применяют для нахождения многочленов, степень которых не выше 5.

Для полинома второй степени P₂(x)=a₀+a₁x+a₂x²нормальная система уравнений примет следующий вид: