14. Обратная матрица. Свойства. Ее нахождение. Назовём кдвадратную матрицу порядка n невырожденной , если её определитель не равен 0 и выполнено равенство АА^-1=А^-1А=Е, Е-ед матрица порядка n. Свойства. (А^-1)^-1=А (АВ)^-1=В^-1А^-1 (Aⁿ)^-1=(A^-1)ⁿ (A^-1)^T=(A^T)^-1 Для вычисления обратной матрицы нужно составить присоединённую матрицу В, затем каждый её элемент разделить на число |A|.

15. Линейные системы. Формулы Крамера. Линейной системой m уравнений с n неизвестных называется система вида a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁ a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂ …………………………….. a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m, где a₁₁,a₁₂,…,a_mn коэффициенты системы. Матрица – основная матрица системы. Если все свободные члены равны 0 то система называется однородной если же хотя бы одно не равно 0 то неоднородная Если система имеет решения она называется совместной, если нет несовместная. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определённой, система, имеющая более одного решения – неопределённая. Решить систему это узнать совместна она или нет, и в случае совместимости найти множество всех решений. Крамер. Рассмотрим сначала систему n линейных уравнений вида с n неизвестными отличным от нуля определителем основной матрицы. Покажем, что такая система имеет ед. решение, и единств. получаем x=A^-1b – матричной записью решения рассматриваемой системы. Использую теорему Лапласа находим, что путём последовательной заменой столбца свободных членов. Х¹=D¹/|A|(cвободный стбц на 1 месте) ..Xⁿ=Dⁿ/|A|

16. Нахождение обратной матрицы и решение линейной системы методом Гаусса. Матрицу необходимо свести либо к треугольному либо к трапециевидному виду. Если в некоторой строке, все элементы равны 0, то это свидетельствует о том что система несовместна. Так как ранг доп не равен рангу осн.

17. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы.Максимальное число линейно- зависимых строк матрицы называется рангом матрицы и обозначается r=r(A). Из этого определения следует что ранг равен также максимальному числу линейно-зависимых столбцов. Элементарные преобразования матрицы называются следующие операции: а) перестановка двух строк (столбцов) матрицы; б)умножение строки(столбца) на число Альфа, не равное нулю. в)прибавление к одной матрицы линейной комбинации других строк её строк. г)транспонирование матрицы. Вывод: элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Теорема о базисном миноре. Назовём базисными строками (столбцами) матрицы А любые её r линейно-независимых строк, где r - ранг матрицы. Элементы матрицы А, стоящие на пересечении фиксированных r строк и k столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Её определитель называется минором к-го порядка А. Если выбранными строками и столбцами являются базисные, то и соответствующий минор называется базисным. Теорема. Для того чтобы ранг матрицы А был равен r, необходимо и достаточно, чтобы существовал отличный от нуля минор порядка r, а всякий минор r+1-го порядка был равен нулю. Доказательство. Необходимость. Пусть r(A)=r. Это значит, что матрица А имеет r линейно зависимых строк и столбцов, а любые r+1 строк или столбцов линейно-зависимы. Тогда на основании теоремы о равенстве кол-ва линейно-зависимых строк и столбцов существует минор r-го порядка, отличный от нуля, а всякий минор r+1-го порядка равен нулю. Достаточность. Пусть существует минор r-го порядка, отличный от нуля, а всякий минор r+1 го порядка, отличный от нуля, а всякий минор r+1 –го порядка равен нулю. Тогда матрица имеет r линейно – независимых строк. Если при этом предположить существование ещё одной r+1й строки, образующей с данными r строками rлинейно-независимую систему, то найдётся минор r+1 го порядка, отличный от нуля, что противоречит условию.

18. Нахождение ранга матрицы.

19. Теорема Кронекера(?)-Капелли. Однородные системы, фундаментальная система решений. Для того чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ёё основной. Доказательство. Необходимость. Пусть система совместна. Докажем, что r(A)=r([A]b). В самом деле в силу совместимости системы сущ. Числа такие что выполняется равенство…. Равенство означает, что последний столбец матрицы является линейной комбинацией остальных её столбцов. Его можно вычеркнуть не изменяя ранга матрицы. Матрица перейдёт в матрицу А. Следствие. Если ранг матрицы расширенной матрицы не равен рангу основной матрицы, то система несовместна. Однородные системы решений. Для того чтобы она имела ненулевое решение., необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньше n, где n –число столбцов. Совокупность из n-r линейно-зависимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений.

20. Собственные векторы полярной матрицы. Их нахождение, свойства.

21. Линейные (векторные) пространства, линейная зависимость векторов, свойства. Пусть дана матрица размера m*n: её i-ю строку можно рассматривать как вектор строку, а любой j-ый столбец как как вектор столбец. Строки называются линейно-зависимыми, если линейно зависимы вектора, т.е существуют числа α₁u¹ + α₂u² + α₃u³+…..+α_mu^m=0. Теорема. Для всякой матрицы число её линейно – независимых строк рано числу линейно-независимых столбцов.

22. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе, их преобразование при переходе к новому базису. Изоморфизм пространств.

23. Линейные операторы. Матрица линейного оператора в данных базисах.

24. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

25. Подобные матрицы. Приведение квадратичной матрицы к диагональному виду подобным преобразованием.

26. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Стандартное скалярное произведение в R­^nx1­­.

27. Ортогональные матрицы. Свойства.

28. Симметричные матрицы. Свойства.

29. Квадратичные формы, приведение к каноническому виду. Квадратичной формой от n переменных x1,x2,..,xn называется выражение вида Q(x1,x2,…,x2,xn)= ∑ⁿ_i=1∑ⁿ_j=1 a_ijx_ix_j , где а ij =a ji действительные числа, называемые коэффициентами квадратичной формы. Для записи квадратичной формы в матричном виде из переменных x1,x2,..,xn образуем вектор-столбец x=(x1,x2,…,xn)T, из коэффициентов aij матрицу, кот называется матрицей квадратичной формы и является в силу равенств aij=aji симметричной.Квадратичная форма имеет вид Q(x1,x2,….,xn)=(x,Ax)=x^TAx. КФ полностью определяется своей матрицей, и , наоборот, любая квадратичная форма определяется однозначно симметричную матрицу. Приведение к каноническому виду. КФ называется канонической, если все aij=0, i не равно j.

30. ИсСледование общего уравнения кривой второго порядка.

Найти: -обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы монотонности

-точки экстремума

-наибольшее и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.

31. Положительно определенные квадратичные формы, критерий положительной определенности.