2. Скалярное произведение векторов, свойства, применение.

Скалярным произведением вект. А и В называется число, равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними

Свойства. 1. Скалярное произведение коммутативно. 2. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярных множителей. 3 дистрибут. отн сум. (а,в+с)=(а,в)+(а,с) 4. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда когда хотя бы один из вект. нулевой либо они перпендикулярны.

Скалярным квадратом называется скалярное произведение вектора на себя => равен квадрату длины вектора.

Cos(a^b)=(a,b)/|a|*|b| пр_ab=(a,b)/|a|. Длина |a|=Корень(x²+y²+z²)

Скалярное произведение в коорд форме.Коорд орты i,j,k имеют длины, равные единицы i²=j²=k²=1, их взаимное произведение равно 0 . (a,b) =a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z. Cos и ПР находятся с пом координат.

3. Определители 2 и 3 порядка. Нахождение вектора, перпен. двум неколлин. Решим задачу: найти вектор n(x,y,z) ортогональный двум неколин векторам a1=(m1,n1,p1) и

a2=(m2,n2,p2) Из условия ортогональности имеем (a1,n)=0 и (а2,n)=0 (cистема). Решив полчим

что y=z*(m2p1-m1p2)/(m1n2-m2n1) x=z*(n1p2-n2p1)/(m1n2-m2n1)  n(x,y,z). Придавая z произвольные значения получаем беск множество векторов. Если z=m1n2-m2n1 получаем n=(x,y,z)=(n1p2-n2p1,m2p1-m1p2,m1n2-m2n1)

Пусть a1b2-a2b1=|_a2^a1 _b2^b1| - определитель второго порядка  правило. Составим таблицу из корд векторов a1 и a2 Вычёркивая поочерёдно столбцы получаем координаты по порядку. 2-ой с минусом.

4. Векторное произведение векторов, свойства, применение. Пусть в пространстве заданы два ортонормированных базиса е1,е2,е3 и 3 со штрихами. Назовём эти базисы одинаково ориентированными, если их можно совместить при помощи движения. Тройка векторов начала которых совмещены, называется левой, если из конца вектора е3 кратчайший поворот от е1 к е3 виден по часовой стрелке. Если же этот поворот виден против часовой то тройка называется правой.

Векторное произведение. Пусть i,j,k – правый базис пространства R³ . Вект. произведением называется дыух векторов а и б называется третий вектор с, удовлетворяющий трём условиям: 1.|c|=|a|*|b|*sinFi,Fi=(a^b) 2.c_|_a и b 3.Векторы образуют правую тройку.Обозн [a,b].

Свойства векторного произведения.1. Длина вектора [a,b] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и б, приведённых к общему началу. 2.Векторное произведение равно 0 когда векторы коллин. или один из них нулевой. => [a,b]=0 условие коллинеарности. 3.[a,b]=-[b,a](антикоммут) 4 [αa,b]= α[a,b] [a, βb]= β[a,b] α,β€R.

Следствие. [α a, βb]= α β[a,b] α,β€R.

5. Смешанное произведение, свойства, применение. Двойное векторное произведение. В пространстве R³ каждая тройка некомпланарных векторов a,b,c приложенных к одной точке, определяет некоторый параллелепипед, рёбрами которого являются эти векторы. Припишем объёму этого параллелепипеда знак плюс, если тройка a,b,c правая, и знак минус, если она левая. Такой параллелепипед называется ориентированным.Смешанным произведением трёх векторов называется число (a,b,c)=([a,b],c) Свойства.1.Смешанное произведение (a,b,c) равно объёму ориентированного параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу некомпланарных векторах a,b и с. 2.Смешанное произведение равно нулю, если векторы a,b,c компланарны(угол θ =π/2, тогда a,b,c лежат в одной плоскости) (a,b,c)=0 является условие копланарности трёх векторов a,b и c. 3.([a,b],c)=(a,[b,c]) Справедливость условия следует из равенства (a,[b,c])=([b,c],a) , так как тройки a,b,c и b,c,a одинаково ориентированы, и из свойства 1. В силу коммутативности скалярного произведения и антикоммутативности векторного из свойства 3 получаем цепочку равенств. (a,b,c)=(c,b,a)=(b,c,a)=-(b,a,c)=-=(c,b,a)=-(a,c,b). 4. Линейность смешанного произведения : (αa¹+βa²,b,c)=α(a¹,b,c)+β(a²,b,c) Справедливость этого свойства следует из равенства и линейности скалярного произведения. Координатная форма. По определению [i,i]=[j,j]=[k,k]=0 [i,j]=k,[j,k]=i,[k,i]=j [j,i]=-k,[k,j]=-i,[i,k]=-j [a,b]=(y1z2-y2z1)i+(z1x2-z2x1)j+(x1y2-x2y1)k=опред. 3 порядка. Смешанное произведение (a,b,c)=([a,b],c)=|^x1x2_x3 ^y1y2_y3 ^z1z2_z3|.

6. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве. Каноническое уравнение прямой. Прямая Л в пространстве определяется однозначно, если известны точка, через которую она проходит, и ненулевой вектор, параллельный прямой, называемый направляющий вектором этой прямой, или если известны две точки. Канонические уравнения прямой (x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p если даны M0(x0,y0,z0) – точка. a(m,n,p) - ненулевой вектор. M(x,y,z) - произвольная точка на прямой. Уравнение прямой через две точки M0=(x0,y0,z0) M1=(x1,y1,z1) a=M0M1=(x1-x0,y1-y0,z1-z0) (x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0)=(z-z0)/(z1-z0) Параметрические векторные уравнения прямой r=r0+M0M r=r0+ta t€R.В координатной форме x=x0+tm y=y0+tn z=z0+tp t€R (параметрические уравнения прямой в пространстве) Общее уравнение плоскости. M0(x0,y0,z0) – точка. n(A,B,C) - ненулевой вектор, называемый нормальным,M(x,y,z) - произвольная точка плоскости. r – r0=M0M=(x-x0,y-y0,z-z0) _|_n -> (n,r-r0)=0 или A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Общее уравнение плоскости. Ax+By+Cz+D=0, где D=-Ax0-By0-Cz0 Уравнение плоскости параллельной двум векторам. Два неколин вектора a1(m1,n1,p1) и a2(m2,n2,p2) и точку M0(x0,y0,z0) |n1_n2p1_p2|(x-x0)-|m1_m2p1_p2|(y-y0)+|m1_m2n1_n2|(z-z0)=0 Уравнение плоскости через три точки.(три точки … два вектора MoM1 И M0M2… n_|_плоск коефф A,B,C)

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. xcosα+ycosβ+zcosγ-p=0 p>=0 Ax+By+Cz+D=0 разделить на ±Корень(A²+B²+C²),где знак перед радикалом противоп D.Множитель μ=1/±+n+=1/±Корень(…).. Расстояние от точки М до плоскости заданной векторным уравнением.

М0(x0,y0,z0) p=|Ax0+By0+Cz0|/Корень(A²+B²+C²)