58.Определитель матрицы 3 порядка.

59.Канонические уравнения прямой на плоскости и в пространстве.

 В координатах (параметрические уравнения):

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

Уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где —радиус-вектор некоторой фиксированной точки M0, лежащей на прямой, — ненулевойвектор, коллинеарный этой прямой, —радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где —координаты некоторой фиксированной точки M0, лежащей на прямой; —координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где —координаты некоторой фиксированной точки M0, лежащей на прямой; —координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

и

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

60.Общее уравнение плоскости

где - нормальный вектор плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть M(x,y,z) – любая точка плоскости.

Векторыкомпланарны тогда и только тогда, когда точка М принадлежит плоскости, проходящей через точки М1, М2, М3 . Поэтому смешанное произведениеили

Это есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.

61.Общие уравнения прямой в пространстве, координаты направляющего вектора.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=;

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.                                      

62.Реакция определителя матрицы на перестановку её строк.

При перестановке двух соседних строк определителя меняется только его знак.Перестановка любых двух строк меняет знак определителя. От циклической перестановки знак не меняется. Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

63Реакция определителя матрицы на перестановку.

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.При перестановке двух соседних строк определителя меняется только его знак. Перестановка любых двух строк меняет знак определителя. От циклической перестановки знак не меняется.

Решение: Поменяем местами строки и столбцы, сохраняя порядок:

64.Разложение по строке или по столбцу

.

Минором, соответствующим данному элементуa_ijопределителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е.i-ой строки иj-го столбца. Миноры соответствующие данному элементуa_ijбудем обозначатьM_ij.

Например, миноромM₁₂, соответствующим элементуa₁₂, будет определитель

Дан определитель . НайтиA₁₃, A₂₁, A₃₂.

Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде:

.

Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.

Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:

Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.

Отсюда т.к. определители второго порядка в формуле (2) есть миноры элементовa₂₁, a₂₂, a₂₃. Таким образом, , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки.

Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.