- •4 Бесконечные пределы
- •5Односторонние пределы
- •6 Предел суммы
- •7 Два варианта о пределе сложной функции
- •8 Неопределённости
- •9 Теорема о двух милиционерах
- •18 Вычисление производных по определению.
- •26. Теорема Коши.
- •27. Правило Лопиталя.
- •28-32 Бесконечные величины.
- •34. Локальный экстремум. Необходимое условие.
- •35. Достаточное условие локального экстремума.
- •46. Скалярное произведение векторов
- •53.Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
- •58.Определитель матрицы 3 порядка.
- •60.Общее уравнение плоскости
- •65.Система линейных уравнений. Метод Гаусса.
- •66. Ранг матрицы.
- •68.Умножение матриц. Обратная матрица.
46. Скалярное произведение векторов
Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.a*b={ax*bx + ay*by + az* bz}
47. Приложение скалярного произведения
Угол между векторами: cos α = a*b / |a|*|b|
Длина вектора: |a|2 = a2x + a2y + a2z
48. Проекции.
Скалярная пр a b= a*b / |a| Вектор проекция: пр a b = (a * b / |a2| )*a
49.Векторное произведение векторов.
C = A x B
1) Вектор С действует вдоль прямой перпендикулярой A и B = > C перпендик. A и B
2) С по длине равен площади параллелограмма С = S = |A| * |B| sin α
3) A, B, C –правая тройка A x B = -B x A
50. Основные положения произведения второго порядка
Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел ,,,:
. Число называется определителем второго порядка. Этот определитель обозначается символом; соответственно имеем.
Числа ,,,называются элементами определителя. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,
.
Геометрический смысл.
Объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c Vтетраэдра= 1/6 |(a*b)*c|
51. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Пусть в трехмерном пространстве заданы прямая, проходящая через точку M0(x0 y0, z0), параллельно вектору a = (l, m, n), и точка M1(x1 y1, z1), не лежащая на прямой.
Расстояние h от точки M1(x1 y1, z1) до прямой может быть вычислено по формуле
52.Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости --- это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если плоскость задана уравнением , то расстояниеот точкидо этой плоскости можно вычислить по формуле.
Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и
В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21.
Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
53.Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
В координатах
Расстояние между параллельными прямыми
Если прямые заданы уравнениями ито
а если уравнениями ито
54.Проекция точки на прямую.
Найти проекцию точки на прямую
Решение:
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной данной прямой. Направляющий вектор прямой может служить вектором нормали к плоскости.
Общий вид уравнения плоскости:
Подставляем вместо координаты вектора нормали, вместо- координаты точки.
Получим:
Отсюда
Искомая плоскость:
Точка пересечения данной прямой и полученной плоскости будет проекцией точки М на данную прямую.
отсюда
Координаты проекции:
Ответ:
55
56. Углы
Угол между двумя прямыми
57. Объём параллелепипеда. Смешанное произведение векторов.
Объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c Vтетраэдра= 1/6 |(a x b)*c|
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Смешанным произведением трёх векторов называют число, равное. Обозначается. Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный векторумножается скалярно на третий вектор. Очевидно, такое произведение есть некоторое число.
Рассмотрим свойства смешанного произведения.
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. .
Таким образом, и.
Свойства
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равноопределителю матрицы, составленной из векторов и:
В частности,
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёмупараллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Три вектора, определяющие параллелепипед.
Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).