Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

Н

ности, и поэтому система канонических уравнений распадаетсяУна

две независимые подсистемы уравнений, одна из которых содержит

Б

только симметричные неизвестные, а вторая - обратносимметрич­Т

ные. Изложенный способ расчета рам называют способом группи­

ровки неизвестных перемещений.

Заметим, что если на оси симметрии имеется стержень рамы

(положение его совпадает с осью симметрии), то симметричные не­

и

известные не вызывают в нем изгибающих моментов и, значит, ре­

зультат “перемножения” симметр чной эпюры на обратносиммет­

ричную будет равен нулю.

р

й

Коэффициенты

r% и

свободные

члены

RF

в канонических

уравнениях

суть

обобщенные

еакции, вызываемые смещением

т

групповых (парных) неизвес ных. Определяются они статическим

и

или кинематическим сп с б м.

П р и м е р

з

1. Расче ная схема рамы изображена на рис. 9.24,а.

r11Z1 + r13Z3 + R1F -

0, j

r31Z1 + r33Z3 + R3F -

0,J

и подсистему с обратносимметричными неизвестными:

У

r22Z 2 + r24Z 4 + r25Z 5 + R2F -

0,

Т

Г42Z 2 + Г44Z4 + Г45Z 5 + R4F - 0,

r52Z 2 + r54Z 4 + r55Z5 + R5F -

0.

Б

После определения единичных и грузовых реакций (советуем

читателю найти их) эти подсистемы уравнений будут иметь сле­

дующий вид:

и

Н

5,0Z 1 +

1

Z3 +

90,0

1

-

0,

12

р

E J

199

й1

12 Z1 +

288

Z3 +

6,0 E J

-

0,

о

- Z

5

- 0,

— Z4

12

4

3

5

199 Z

з

т

2 z

-

6,0-

-

0,

- — Z 2

+

5

12

2

288

4

E J

- 2

z

2

и2 z

4

+

2 z

5

-

14,0

E J

-

0.

3

9

9

п

E J

2

E J

Решив

1

оих, олучим:

Z1 --1 7 ,8 9 1 2

рад,

Z2 - 41,1114------ рад,

1

1

-

1

РZ3 - -6,5257---- м,Z4 -108,445---------- м,Z 5

294,78---------- м.

3

E J

E J

E J

M - M F + M 1Z 1 + M 2Z 2 + M 3Z 3 + M 4Z4 + M 5Z 5.

Она изображена на рис. 9.24,и.

Т

а) 8 к H

б)

6 к Н

Н

У

10кНIм

10кН/м s

т

Z4

Z 3

I t t

Z Z•1^‘ t t г

± г т т ,

Z 3 Z4

к Н

Заданная

Основная

система

система

6м

8 м

6м

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 9.24

симметричным, то нулевыми становятся симметричные неизвестные.

Т

Как следствие способа группировки неизвестных, отметим, что рас­

чет симметричной системы на симметричную или обратносимметрич­

Н

ную нагрузки можно выполнять для одной половины расчетной схемы.У

В зависимости от воздействия на второй половине схемы распределение

Б

усилий будет симметричным по отношению к первой или обратносим­

рамы, показанной на рис. 9.22,а, соответствующая “полурама” пред­

ставлена на рис. 9.25,а. При действии обратносимметричной нагрузки в

этом сечении изогнутая ось стержня меет перегиб и, кроме того, пере­

й

мещение сечения по вертикали (по нап авлен ю, перпендикулярному

оси стержня) равно нулю.

на асчетной схеме “полурамы”

и

в указанном сечении ставится ша ни но-подвижная опора (рис. 9.25,б).

а)

рб)

Поэтому

т

и

з

о

Рис. 9.25

п9.9. Расчет рам на тепловое воздействие

асчет ведется на изменение температуры системы по отношению

к температуре ее начального состояния. Принимая линейный закон

Р

У

тором температура верхнего и нижнего волокон будет одинаковой и

равной t = h + t 2

(имеет

место

равномерный нагрев, удлинение

2

Т

стержня равно a

t l ), и обратносимметричное (рис. 9.26,в), для ко-

Н

торого температура верхнего волокна равна

t1 - 12

t '

= -----, аниж-

2

2

t '

Б

него —. При обратносимметричном нагреве температура по оси

й

стержня равна нулю. Стержень от такого воздействия не удлиняет­

ся, а только искривляется. Значение перемещения любой его точки

и

определяется по правилам, изложенным в разделе 7.8.

а)

t1

р

А + 12

t2

□-

2

l

т

2

и

2

о

l

a t l

з

-M---jf-

t

_

t 1 - 1 2

о

в)

п

е

t 1 t 2

2

2

Рис. 9.26

Аналогичное разложение теплового воздействия можно сделать и

Рдля стержней с условиями закрепления его концов, соответствующими

При обратносимметричном распределении температур узлы ос­

новной системы не смещаются, но так как связи по концам стерж­

ней препятствуют свободному перемещению их, то в каждом из них

Т

появляются усилия. Эпюры моментов для таких стержней пред­

ставлены в табл. 9.1 (строки 5, 10, 15). Техника их построения при­

ведена в разделе 9.2 (пример 5).

Н

У

Канонические уравнения для расчета рам на изменение темпера­

туры имеют следующий вид:

Б

r11Z1 + r12Z2 + ‘'' + r1nZn + R1t = 0,

й

, „ , n

r21Z1 + r22Z 2 + ” ' + r2nZn + R2t = 0,

и

(911)

Rnt = °.,

rn1Z1 + rn2 Z2 + ” ' + rnnZ n +

о

Для определения свободных членов канонических уравнений

R1t , R2t , •", R nt , как следует из п едыдущих рассуждений, необхо­

т

димо построить в основн й сисреме эпюры изгибающих моментов от

и

симметричного воздейс вия (M 't) и от обратносимметричного ( м ; ) .

Используя их, найдем, ч о:

о

Rit =

Rit + R it,

i = 1

n ,

п

R"tз- реакции в i-й дополнительной связи, вызываемые

где

R 'it,

е

этими воздействиями.

Р

Окончательная эпюра изгибающих моментов строится по формуле:

м = M't + м ; +m 1z 1 + м 2 z 2 + - + M nz n .

П р и м е р

1. Построить окончательную эпюру изгибающих мо­

Степень кинематической неопределимости рамы равна двум.

На рис. 9.27,б показано симметричное распределение температур по

каждому стержню, а на рис. 9.27,в - обратносимметричное.

У

Т

Н

в)

Б

й

t —t

и

2

= - 1 8

р

= 18

о

т

и

з

Рис. 9.27

о

Система канонических уравнений в этом случае запишется в виде:

п

r11Z1 + r12Z2 + R1t = 0, j

е

r21Z1 + r22Z 2 + R2t = 0.J

Р

от симметричного воздей­

Для построения эпюры моментов M't

Н

У

r22

Т

Б

й

и

р

о

Рис. 9.29

Эпюра изображена на рис. 9.30. В скобках указаны значения ор­

^

2

a

5

1

динат моментов (в кН • м) при E J = 60 MH • м и

= 1,2 • 10_

град- .

з

т68,77EJa

о

(49,51)

23,23EJa

п

(16,73)и

...Т ТТТгштптг^

е

93,70EJa

Р

(67,46)

72,24EJa

(52,01)

Рис. 9.30