Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

сия для фрагмента (рис. 9.18,к), полученного из рис. 9.18,г:

X X = 0;

R3F +15,0 = 0,

R3F = -15,0 .

В численном виде система канонических уравнений запишется так:

3,3 Z1 +

0,4 Z 2 +

0,24 Z3

-

6,25

1

= 0,

У

'2

3

EJ

Н

0,4 Z1 +

2,8 Z2

-

0,135 Z3

-

68,75

1_

= 0,

2

3

EJ

1

0,135 Z2 +

0,2835 Z3 -

Б

0,24 Z1 -

15,0

J

= 0.Т

2

3

EJ

Решение:

й

Z1 = -6,905—

рад,

и

Z3 = 72,584— м.

Z2 = 29,040—

рад,

E J

E J

E J

р

Окончательная эпюра изгибающ х моментов показана на рис. 9.18,л.

о

П р и м е р 2. Построить эпю у изгибающих моментов для рамы,

т

показанной на рис. 9.19,а.

Для определения с епени линейной подвижности узлов исполь­

зуем шарнирно-стержневую систему (рис. 9.19,б). Общее количест­

з

n = nу + nл = 2 +1 = 3.

Основная

система

во неизвестных равно

о

положительные направления основных не­

метода перемещен й

известных п ка аныина рис. 9.19,в. Грузовая и единичная эпюры

изгибающих м ментов изображены на рис. 9.19,г-ж.

Система кан нических уравнений в численной форме записи

имеет0,8EJ Z1 +

3,2EJ Z2

-15,0 J _

= 0,

вид:

п2,6EJ Z1 +

0,8EJ Z2

- 0,375EJ Z3

- 38,0

1

= 0,

Р- 0,375EJ Z

EJ

EJ

+ 0,234375EJ Z3

- 60,0 J _

= 0.

EJ

Решение ее дает:

Z1 = 72,361—

рад, Z2 = -13,403— рад,

1

E J

2E J

Z3 = 371,778—

м.

Т

3

E J

Н

о

Окончательная эпюра изгибающих моментов представленаУна

рис. 9.19,з.

Б

б) и —гг—£&

■'W=1

й

и

1 — ЩехЦ— 3

в)

р

О сновная

о

систем а

Г

т

31

и

з

о

п

е

Р

Рис. 9.19

основной системе необходимо, прежде всего, найти взаимные пе­

ремещения концов стержней, образующих раму. Значения переме­

У

щений находятся из анализа перемещений шарнирно-стержневой

системы, соответствующей заданной раме.

Т

При построении какой-либо единичной эпюры рассматривается

смещение одной связи при неподвижных остальных. Поэтому шар­

нирно-стержневая система в этом случае представляет Нсобой кинема­

тический механизм с одной степенью свободы. При известном смеще­

нии одного узла смещения остальных можно определить из диаграм­

мы перемещений механизма. Поясн

Б

это на следующих примерах.

Рассмотрим раму с одной наклонной сто

(рис. 9.20,а).

кой

n = 2. Связь,

Степень кинематической неоп едел мости ее равна

препятствующую линейному

пе

емещению

узлов,

расположим

перпендикулярно к стержню 2-3 ( ис. 9.20,б). Для определения вза­

имных перемещений к нц в

стержней рамы при Z1= 1 придадим

шарнирно-стержневой

еме в зм жное по условиям ее закрепле­

ния положение 0-1'-2'-3

о

(рис. 9.20,в). Из прямоугольного треуголь­

ника 2-k-2'

следует,

взаимное смещение концов стержня 1-2

что

равно cos а , стержня 0-1 - sin а , стержня 2-3 равно 1.

Те же

сис

перемещений получаются из диаграммы пере­

мещений (рис. 9.20,г). Поясним ее построение.

О

значения

рные узлы 0 и 3 являются неподвижными. Соответствующую

им на диаграммеоточку называют полюсом. Из этой точки проведем

лучи

р ендикулярно к стержням 0-1 и 2-3, узлы (0, 3) которых

п

совпадают с полюсом, то есть по направлениям возможных переме­

щенийузлов 1 и 2 (дуги, описываемые точками 1 и 2 при повороте

стержней вокруг опорных точек 0 и 3, заменяются касательными к

ним в этих точках). На луче, перпендикулярном к стержню 2-3, на

Р

расстоянии, равном единице, будет лежать точка 2 .

П р и м е р 1. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы,

показанной на рис. 9.20,а, полагая изгибные жесткости всех стерж­

ней равными, а

Т

= 600 . Длина стержня 2-3 равна I 2 _3 = 8 /V 3 м.

Для построения единичной эпюры M 1

Н

(рис. 9.20,д) используемУ

найденные ранее значения взаимных линейных смещений концов

стержней. Эпюры M

Б

2 и M F показаны на рис. 9.20,е,ж.

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений оп­

й

ределяются статическим или кинематическим методами. Покажем,

например, определение Гц и

:

и

р

+ -

о

значен

Это же

е

Гцтможно получить статическим методом из

равновес

я узла 2 (рис. 9.20,з). Поперечную и продоль­

уравнения

ную силы в стержнеи1-2 получим из уравнения равновесия для

продольных

E J в обозначениях на рисунке поперечных и

узла 1. Мн житель

Р

сил

пущен:

s 3

е f

+ 0,012 —

1

E J = 0,1629 E J .

0,1218 + 0,0406 —

,

v

2

2

Для вычисления

кинематическим методом используем эпю­

ру изгибающих моментов M F (рис. 9.20,и), построенную в основ­

ной системе метода сил:

M

1

1

2

c 3EJ

У

r 1F - - Z j

m F dx

EJ

E J

---- - 12,5 • 5 --------- +

3

100

+ - • 40 1 -

1

2 3л/з E J

--2 ,4 1 .

• 4 •

2

V 3.

3

32

Т

Из уравнения равновесия

^ M c

- 0 для

фрагмента рамы

(рис. 9.20,к) найдем то же значение R F .

Н

Запишем канонические уравнения в численном виде.

0,1629Z1-

0,2213Z2 -

Б

2,41— - 0,

1

2

E J

- 0,2213Z1+ 1,4660Z2 +

й

0.

12,50—1—-

1

2

E J

и

Решение их дает:

р

Z1 - 4,0409-—

м,

Z2 - -7,9168— рад.

о

E J

E J

т

Окончательная эпюра зг

бающих моментов показана на рис. 9.20,л.

и

П р и м е р 2. Расчетная схема рамы изображена на рис. 9.21,а.

Постр ить эпюрызM , Q и N , полагая жесткости всех стержней на

изгиб равными. Как и в предыдущих примерах, жесткости стержней

о

EA ^ да (продольные деформации стержней

на растяжение-сжатие

п

не

мещений (рис. 9.21,г). Длины отрезков 1 -

4'

и 2 -

5' равны единице

(стойки 1 - 4 и

У

2 - 5 имеют разную высоту, но так как они парал­

лельные, то узлы 4 и 5 перемещаются по горизонтали на равные от­

резки). Отрезок

Т

0 - 3' равен перемещению узла 3 по направлению,

перпендикулярному к стержню 0 - 3; взаимное смещение по верти­

кали концов стержня 3 - 4 определяется длиной отрезка 3' - 4'.

Эпюра M з представлена на рис. 9.21,з.

Б

Коэффициент Г33 канонического уравнения, а также свободный

член R3F удобно вычислять кинематическим методом.НОдин из

й

возможных вариантов эпюры М ° для определения R3F показан

на рис. 9.21,и.

и

р

EJ

После определения коэффициентов

свободных членов система

канонических уравнений запишется в в де:

1,2155 Z1

о

Z2

-

EJ

- 0,

+0,25

0,16778544,17—Z3

и

1

0,25 Z1

+

-

0,193125 Z3

+

106,67—

- 0,

1,30 Z2

0,167785 Z1

з

+

0,194830 Z3

40,0—

- 0.

-

0,193125тZ2

п

EJ

Ее решение:

е

оZ1 - 78,593^^ рад,

Z 2 -- 6 6 ,3 8 9 ^ ^ рад,

1

E J

2

E J

Z3 - 207,182—

м.

3

E J

РОкончательные эпюры усилий M , Q

и

N

изображены на