Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

а)

Z2

J

j,

0 к H

Z 2

i J

- = 2м

/

E J 1

/

J

i -

2

F=8kН / E J ,

1

. f n

1 7.

j^EJ2

Zi

- = 2м

■

Заданная

2

система

1=6м

l=6м

У

б)

Zi............. z

в)

Т

iN

И

H

t . i

Основная

Н

система

Рис. 9.14

Б

Построение эпюр изгибающих моментов производится с помощью

й

M 1, M 2

данных табл. 9.1. Эпюра M F (г узовая эпюра) и эпюры

(единичные эпюры) показаны на

ис. 9.14,г-е. На рис. 9.14,д,е, кро­

и

ме того, штриховой линией п казаны изогнутые оси балок, что по­

зволяет установить пол женияррастянутых волокон на каждой из

них и правильно

ь эпюру моментов. На этих же рисунках

показаны и реакц

о

в связях, их направления приняты положительны­

ми (по направлен ям тположительных перемещений связей). Напом­

ним, что в

начен

реакции

первый индекс

(i) указывает

изобрази

(к)

- номер

номер связи, в к торой возникает реакция, а второй

з

перемещения, вызвавшего эту реакцию. В обозначении RiF второй

qol

q J

~

^

q J

q2l

R1F +---------= 0, из которого найдем R1F = ■

8

8

8

8

Уравнение равновесия для определения

Гц

(рис. 9.15,б) запи­

шется так:

У

6 E J

6 E J

4EJ

п

Т

Г ц -----;-------- ;--------;— = 0.

l

l

h

Н

Следовательно,

Б

R

12EJ

г

4EJ

l

h

а)

б)

в)

_Г12

q11V;

'R 1' >\q212

h

пл

6e j

F t

6 E j ( ^ 4 ) —

f - j - 2

l

р

6EJ

4 EJй

г)

о

иh

h

r

21

т

R2F Д)

F

и

6EJ

з

e)

F

о

r

22

h

е

12EJ

3EJ

3

h

3

h

Р

п

Рис. 9.15

Для определения Г12 (рис. 9.15,в) запишем уравнение:

6 E J

п

6 E J

r12 +— = 0 , из которого найдем r12 = ---------- — .

12

h 2

12

h 2

рис. 9.15,г-е.

Записывая условия равновесия сил,

показанных на каждом из

Н

этих рисунков, получим уравнения для определения неизвестных.У

В частности:

Б

Т

- из уравнения ^

X = 0

(рис. 9.15,г) получим:

R2F + F - — F = 0,

R2F = - — F ;

16

й

- из уравнения ^

X = 0

и

(рис. 9.15,д) получим:

6 E J

р

6 E J

r21 + —

о

= 0 ,

r21 = -------Y ' ’

h

h

- из уравнения ^

т

X

= 0

(рис. 9.15,е) получим:

и

3EJ

п

15EJ

12E J

Г22 -

h

-

~ 1 Т

= ° ’

Г22= —

о

п

способ определения коэффициентов

9.5. Кинематическийз

и св б дных членов канонических уравнений

внешних сил состояния “к ” на перемещениях состояния “m ” равна:

Р

Рассмотрим какую-либо основную систему метода перемещений в

эх

а)

iZ к=1

s rmk

Состояние "к"

б)

У

Т

Н

в)

Б

й

и

р

о

т

и

о

Рис. 9.16

е

з

равна (со зна­

Изв стно, что возможная работа внешних сил

Р

E J

комп«минус») возможной работе внутренних сил. Поэтому, выражая

работу внутренних сил через изгибающие моменты M k в состоя­

нии « к » на соответствующих деформациях

— m----

рамы в со-

rmk У J

M kM m dx

(9.6)

E J

Вычисление интегралов вида J M kM m dx

сводится к численно-

У

му интегрированию (см. раздел 7.7), в простейших случаях - к “пе­

Т

ремножению” эпюр изгибающих моментов. Следовательно, коэффи­

циенты канонических уравнений метода перемещений можно вычис­

Н

лять так же, как и коэффициенты уравнений метода сил, посредством

“перемножения” соответствующих эпюр изгибающих моментов.

Б

Определив возможную работу внешних сил состояния “ m ” на

перемещениях состояния “ к ” получим:

й

Wmk

rkm ' 1 -

и

На основании теоремы о взаимности работ (7.4) запишем, что:

р

Wkm

=

Wmk ,

о

или

т

и

rmk

rkm ■

(9.7)

з

Получена формальная запись теоремы о взаимности реакций (пер­

о

У

Однако, возможная работа внешних сил состояния “i ” на пере­

мещениях состояния “ k ” равна:

Т

Н

Б

По теореме о взаимности работ (7.4) получим:

1 • S'ik + rki •1 = °.

и

Следовательно,

р

й

(9.8)

о

Выражение (9.8) представляет с бой формальную запись теоре­

мы о взаимности

т

реакций и перемещений (вторая теорема

Дж. Рэлея): перемещение чки приложения силы F' = 1

по ее

направлению, вызванное единичным перемещением “ к ”-й свя­

з

зи, равно (с обратным знаком) реакции в связи “ к ''” от Fi = 1.

размерность r^

Размерности реакцийперемещений в этом выражении совпадают.

Они устанавливаются так:

п

размерность реакции в связи “ к ”

е

размерность силы F

размерность перемещения,

=

соответствующего силе F

Р

размерность 5\к

размерность перемещения, соот­

ветствующего реакции в связи “ к ”

вая это равенство, получим RkF -1+ F • 5'гк = 0 . Отсюда следует, что:

Для определения перемещения(рис. 9.16,а) в статически не­

У

определимой системе по формуле Мора, как известно, одна из двух

Т

“перемножаемых” эпюр изгибающих моментов может быть построе­

на в статически определимой

системе, полученной из заданной

Н

(в данном случае заданной является основная система метода переме­

щений). Тогда, обозначив эпюру изгибающих моментов в статически

определимой системе от F

Б

= 1 через MMF (рис. 9.16,д), получим:

й

и

р

MMF необ-

Если внешней нагрузк й является группа сил, то под

ходимо понимать эпюру изгибающих моментов, построенную в ос­

о

новной системе метода с л

обобщенной единичной силы, соот­

от

ветствующей характеру заданного воздействия.

Подставив начение

в выражение для RkF, получим:

з

о

п

Внося F под знак интеграла и вводя обозначение M F = F M F0,

найдем:

Р

делимой системы.

У

Пример. Определить кинематическим способом реакции

R p

и R2F для рамы, показанной на рис. 9.14.

Т

Н

M

1M 2 dx

h

4EJ 6 E J

2EJ 6 E J

6E J

Г12 “ ^

J

E J

~ 6 E J

h

h 2

h

h 2

1 2

Б

Для определения R if

построим в стат чески определимой системе,

й

полученной из основной системы метода перемещений (рис. 9.14,в),

эпюру изгибающих моментов М

а) (

. 9.17,а). Индекс (а ) в обо­

ис

значении M p a) соо ве с

варианту

основной системы а ):

о

^

.— 1М р а) dx

вует

^

Ь

—

“

R 1F

/

1

2 q1l

~

1

2 q2l 2

, 3 • 2EJ

Л

,2

,2

и3 • 2EJ

q1l

q2 l

v

l

--------- + -----------—— l

2/

8

8

2EJ 3з8

2/ 2EJ 3

8

Для

о

R2F выберем статически определимую систе­

ределения

му, полученную из заданной системы (рис. 9.14,а), и построим эпю­

ру M F( ) (рис. 9.17,б):

е

Р

R2F

=

M 2— F^ ) dx(

1

1 Fh h 5EJ Л

- 5

F .

J-------------------

E J

= —---------------------- '•Г I =

----

VE J

2

4

2 2h2 J

16

У

Т

Рис. 9.17

Н

9.6. Построение и проверки эпюр M , Q, N

в заданной системе от внешней нагрузки

Б

Решив систему канонических уравнен

(9.4), найдем значения ос­

новных неизвестных метода

. Для построения оконча­

й

тельной эпюры изгибающих моментов необходимо предварительно

построить скорректированные единичныеиэпюры М (их называют

“исправленными единичными эпю ами” моментов). Эпюра изгибаю­

щих моментов от внешней нагрузкиперемещенв заданной статически неопреде­

лимой системе строи ся суммированием грузовой эпюры М р с “ис­

о

правленными ед н чным ”, о есть ордината эпюры М в каждом

т

сечении стержня выч сляется по формуле:

M k

и

= M kF + M k1 Z 1+ M k2 Z 2 + ••• + M kn Z n .

Осн вн й

з

р веркой правильности окончательной эпюры изги­

бающих моментов M в методе перемещений является статическая

пров рка, сводящаяся, как известно, к проверке равновесия момен­

п

тов в узлах рамы.

Кроме того, как и в методе сил, для проверки правильности эпю­

ры

M может быть применена кинематическая проверка: результат

Р

Эпюра поперечных сил Q строится,

как и в методе сил, по

эпюре M , а эпюра продольных сил N

- по эпюре Q . Статиче­

ская проверка эпюр

Q и N производится так же, как и в методе

сил (в методе перемещений относится к основной).

У

П р и м е р

1. Построить эпюру изгибающих моментов в раме,

изображенной на рис. 9.18,а.

Чтобы уменьшить число неизвестных, при подсчете степени ли­

Н

нейной подвижности узлов рамы консоль, как статически определи­

мый фрагмент, отбрасываем. Тогда степень свободы W шарнирно­

Б

стержневой системы (рис. 9.18,б) будет равна единице, то естьТnл = 1.

Общее число неизвестных метода перемещений равно n = nу + nл =

й

= 2 +1 = 3 . На рис. 9.18,в показаны основная система и положи­

тельные направления основных неизвестных, а на рис. 9.18,г-ж -

и

грузовая и единичные эпюры моментов.

Система канонических уравнен й меет в д:

р

0.

r11Z1 +

r12Z 2 +

r13Z3 +

R1F

=

0,

о

0,

r21Z1 +

r22 Z 2 +

r23Z 3 +

R2F

=

r31Z1 +

r32Z 2 +

r33Z 3 +

R3F =

и

Отметим некоторые особенности вычисления коэффициентов при

з

неизвестных и свободныхтчленов уравнений. Для определения коэф­

о

фициента Г32

ап шем условие равновесия фрагмента (рис. 9.18,з)

расчетн й схемы, в ятого из рис. 9.18,е:

п

X X = 0; r32 - 0,24EJ + 0,375EJ = 0, r32 = -0,135E J.

Пользуясь данными рис. 9.18,ж, можно убедиться в том, что со­

Р

Г23 = Г32

. Действительно, из усло­

блюда тся взаимность реакций:

евия равновесия моментов в узле (рис. 9.18,и) следует, что: