Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

У

Т

г )

Н

Б

1,0

(N1

й

6,0

и

д )

е )

-6,0

р

1,0

1,0

M2)(M)

о

X2=1

Хг=1

т

ж )

и

з )

271,753 а Е /

з

211,399 а Е /

о

2,0

(152,21)

, (195,66)

60,354 а Е /

п

6,0

M ) (К И' м)

(43,46)

е

К)

Р

и )

7,24

38,05

©

7,24

38,05

■38,05

7,24

К И)

Ю (К И)

3EJ

E J

84

180

= 0.

---- Х1 +------Х 2 + 6250,0 а

Т

E J

1 E J

Н

Решив ее, найдем Х 1 = 52,8498 а E J кН, Х2 = -10,0590аE J кН.У

Статическая неопределимость рамы раскрыта. Так как грузовая

Б

эпюра моментов в основной системе (статически определимой) при

расчете на действие температуры отсутствует, то окончательную

эпюру моментов строим по выражению:

M =M 1X 1 + M 2 X 2 .

и

Она показана на рис. 8.21,з. Изг бающ е моменты в раме зависят

р

от значений жесткостей стержней, то естьйподтверждается одно из об­

о

щих свойств статически неоп едел мых с стем (раздел 8.1). В скобках

указаны значения ординат для п инятых в примере исходных данных.

Выполняем кинематическую проверку. Суммарная единичная

эпюра моментов M s

бражена на рис. 8,21,ж.

из

а Ы

CM M S

т2

о

1 211,399 • 4 •2 • 4 +

+ Z A" = ~ E T 2

3

п

+ —

(2- 211,399з-4 - 2 • 271,753 • 2 +271,753 • 4 - 211,399 • 2 ) -

6 • 2

е

Р

- 4 (2• 271,753 2 + 2 • 60,354 • 6 + 60,354 • 2 + 271,753 • 6 ) -

6

- 5636,67а + 6250,0а] = 0.

Условие (8.30) выполняется. Эпюры Q

и N изображены на

рис. 8.21,и,к.

равными E J = 60 МН-м2, а смещения связей с = С2

= с = 0,01 м.

Заданная рама дважды статически неопределима. Выбрав основ­

У

ную систему (рис. 8.22,б), запишем канонические уравнения метода

сил для расчета рамы на смещение опор в виде:

Т

Н

Б

Построим единичные эпюры моментов (рис. 8.22,в,г) и вычис­

лим коэффициенты при неизвестных:

й

225

16

20

и

Учитывая распределение

реакц

й в опорных связях от X 1 = 1

(рис. 8.22,в) и X 2 = 1

(рис. 8.22,г), по фо муле (7.13) получим:

т

Д1с = - Z Rk1ck = - ( - 1 С1 - 2,5 с2) = С1 + 2,5 с2 = 3,5 с;

и

Д2с = - Z

Rk2 ско= - ( - 0,5 с2) = 0,5 с2 = 0,5 с.

Каноническ

е уравнен

я, после несложных преобразований, по­

о

лучают следующую форму записи:

з225

20

е

----- X 1+ — X 2 + 3,5 с Ы = 0;

п

3

1

3

2

Р

— X 1+

— X 2 + 0,5 с Ы = 0.

3

1

3

2

ешив их, найдем:

X 1 = -0,043125 с Ы ,

X 2 = -0,039844 с Ы .

к проверке выполнения условия:

. M M s dx

Я

- J

- + £ Д <с = 0.

Проведем ее, используя

суммарную единичную

эпюру M s

(рис. 8.22,д):

Н

У

сШ

1

2

4

Б

Т

E J

---- 0,2156 • 5 — 5 +— х

2

3

6

х (—2 • 0,2156 • 5 -

й

2 • 0,2953 • 7 + 0,2156 • 7 + 0,2953 • 5)] +

+ 3,5 с + 0,5 с = 0.

Проверка выполняется. Эпюры Q

и

N

показаны на рис. 8.22,ж,з.

р

я ус

лий

8.11. Линии вл

ян

тельной

получи

ь зависимость (аналитическую или в

механики,

численном виде) этого ус

отя положения силы F = 1 (S = f (x)),

а затем, с помощью этойтзависимости, определить значения ординат

о

линии влияния для всех характерных сечений.

Если для пределения зависимости S = f (x) применяются ме­

п

тоды статикизс ружений, то соответствующий метод построения

линии влияния называется статическим.

е

В статически неопределимых системах усилие в сечении стерж­

ня о р д ляется по выражению (8.14). Если его использовать для

постро ния линий влияния, то необходимо иметь в виду, что от

подвижной силы F = 1

меняются и значения основных неизвест­

ных X i

и значение усилия в сечении k основной системы. Поэто­

Рму выражение (8.14) для построения линии влияния усилия в сече­

л.вл.

Sk = л.вл. S° +

Skl(л.вл. X 1 ) +

_

_

(831)

+

Sk2 (л.вл. X 2) + ... + Skn ( л в л X nX

где л.вл. S°

- линия влияния усилия S в сечении k

основной

системы;

Ski - усилие

в сечении k

основной системы

от X i = 1

(i = 1, 2, •••,n) .

У

Используем это выражение для построения линии влиянияТизги­

бающего момента в сечении k однажды статически неопределимой

Н

балки (рис. 8.23,а).

Б

Выбрав основную систему (рис. 8.23,б), построим грузовую

эпюру моментов (рис. 8.23,в) и единичную (рис. 8.23,г), после чего

определим:

и

/3

р

йx22(3//-- x)

=

3EJ ’

1F =

6E J

'

Из канонического уравнения S,X +S1F = 0 найдем:

и

оX = x2(3/ - x)

з

X 1 =

3

.

т

2/3

н

Отсюда следует, что линия влияния X 1 описывается кривой треть­

степениочертание на ограниченной длине движения силы). Вспом­

ей

тн сительно координаты x

подвижной силы F = 1 . Она

показана на рис. 8.23,д.

йное

В статическиоопределимых системах линии влияния усилий

им ли рямолинейное очертание или кусочно-ломаное (прямоли­

Р

л.вл M k = л.вл. M °

+ M k 1 (л.вл. X 1 ).

(8.32)

В рассматриваемом примере M k 1 = 2

(рис. 8.23,г). На рис. 8.24,б

изображена л.вл. M ° , а на рис. 8.23,в -

У

л.вл. M k1 X 1 . Суммируя

их, получим л.вл. M k

(рис. 8.24,г).

Т

Изложенный способ

построения

линии влияния может

быть

Н

применен и для систем с небольшим числом неизвестных при “руч­

ном” (неавтоматизированном) способе вычисления координат.

а)

a

F

Н k

Б

и

F

=

р

й

б)

н

о

f X 1

т

и

з

о

п

е

Р

а)

1

.F =1

a

\ k

у / 4 | // 4 | // 4 | //4 ^ Х 1

У

б)

Т

Н

в)

Б

и

г)

р

й

Рис. 8.24

о

Для сложных систем, к к т ым относятся и рамы, получить

сти

аналитические зависим

исследуемого фактора от координаты

груза F = 1

трудно, поэ

му для них используются численные ме­

и

тоды решения. С помощью компьютерных программ, в которых

з

реализованы методы расче а различных систем, можно найти иско­

мое усилие при положен ях силы F = 1 в различных характерных

о

сечениях рамы.

Решение

адачи о построении линии влияния усилия сводится, та­

п

Р

ни которой имеют одинаковую изгибную жесткость.

Пр дположим, что сила F = 1 может двигаться по стержням 4-8 и

е9-13. Построим линию влияния изгибающего момента в сечении 6. Оп­

(8.34)

где

^П

) - перемещение в системе с

n —1 неизвестной точки

приложения силы X 1 по ее направлению; оно вычисля­

У

ется “перемножением” эпюры ы | п 1 самой на себя;

Т

- перемещение в той же системе точки приложения

силы F = 1, вызванное силой X 1 = 1.

Н

Сила F = 1

может занимать любое положение на стержнях рамы,

поэтому S f 1 определяет перемещения стержней рамыБот силы X 1 = 1.

Таким образом, выражение (8.34) для построения линии влияния X 1

можно записать следующим образом:

й

и

(8.35)

р

Итак, чтобы пос ро

ь линию влияния

X 1 необходимо постро­

о

ить от

X 1 = 1 эпюру

перемещений стержней рамы, по которым

т

движется сила F = 1,

все ординаты ее поделить на ( —S11).

и

Очертание линии влияния, оказывается, подобно эпюре переме­

з

щений сечений стержней. Множитель ( -------) является коэффици-

нтом

о

S11

одобия. В этом и состоит основное достоинство кинемати­

ч скогопметода. С его помощью легко представить форму линии

влияния усилия. Для этого необходимо удалить связь, в которой

е

возникает искомое усилие и загрузить раму (или другую систему)

соответствующей силой X 1 = 1. Обладая достаточной инженерной

Р