Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

все побочные коэффициенты 5iK

будут отличными от нуля.

У

Чтобы получить симметричные и обратносимметричные эпюры

усилий необходимо вместо традиционных неизвестных X t ввести

новые (будем обозначать их

Z i ), представляющие собой группы

Н

сил. Переход от старых неизвестных к новым, и наоборот, должен

быть однозначным.

Б

Т

На рис. 8.16,в показана та же основная система с новыми неиз­

вестными. Сопоставляя расположение неизвестных на рис. 8.16,б,в,

неизвестных Z i .

преобразования

их:

каждой

паре симметрично

находим правила

расположенных неизвестных X i

соответствует операция сложения

и

или вычитания симметричных и обратнос мметричных групповых

В частности, X

1 = Z 1 + Z

р

- Z2

, откуда следуют и

2 ,

X 4 = Z1

выражения для Z :

т

Z

Z

= X 1 - X 4

= X 1 + X 4

1

2о

2

2

з

Эпюры усил й от групповых неизвестных показаны на рис.

8.16,г-и. Вследствиеивзаимной ортогональности симметричных и

п

обратн симметричных эпюр система канонических уравнений рас­

падается на две независимые: в одну из них войдут только симмет­

ричные

Z 1, Z 3 , Z 5

, а в другую -

обратносимметрич­

Р

неизвестныео

, Z 6 ).

ные ( Z 2 , Z 4

а)

б)

____F

Основная

X1 1X1

система

^4

,

Xs'

X2

X5

У

в)

F

г)

Т

Z4

Н

h

Z6

Основная

/ 6

1

система

A =1

Z2. ZU Z

V

^ Z - Z ^

Zj=_1

(МЛ (м)

5

Z3

" "

й

Д)

и

Б

2h

h

р

{M—(м)

Z,=-

( м 3 ( м)

о

Zi=1

Zi=1

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 8.16

а)

б)

в)

q —

2

г*1

. F

.F

■

\ F

-5»

->

i.

+

*2

}2

*

->

q„

-*

-5»

>

2

У

ТВ

z>W

Рис. 8.17

Т

Н

Используя свойство взаимной ортогональности эпюр, несложно

показать, что при действии на систему симметричной нагрузки об­

Б

ратносимметричные неизвестные обращаются в нуль, а при дейст­

вии обратносимметричной нагрузки оказываются равными нулю

симметричные неизвестные.

тельнойк расчетной схеме ра­

мы, показанной на рис. 8.17,б, это означает, что расчет ее надо вы­

и

, X 4 (основная сис­

полнять как системы с неизвестными

X i, X 2

тема изображена на рис. 8.15,б), а расчет рамы на действие обрат­

носимметричной

Примен

(рис. 8.17,в) - как системы с одной неиз­

вестной X з .

о

4.

Расчленен

етмногопролетных рам. Этот способ применяет­

ся как для симметр чных, так и для несимметричных рам. Меньшая

вычислительная работанагрузкипо определению 5iK будет в том случае,

если э

юры усилийзв основной системе будут распространяться на

небольшие фрагменты рамы, то есть будут “локализованы” в окре­

о

стности д йствия нагрузки.

Для рамы (рис. 8.18,а) с четырьмя неизвестными на рис. 8.18,б,в

п

деление

моментов от X i = 1 в раме, показанной на рис. 8.18,б, убе­

Р

О

о

о

о

Ш!7/

Ш&/

Ш!7/

Ш&/

Т

б)

-О

У

Н

*\*

О

Xu

X,

X3 ,

X4 ,

Б

в)

X

X

й

рЮ

~*~

и

X2

X2 X3

X3

X4 X4

т!7/

р

Ш!7/

Ш&/

Ш&/

т

и

Рис. 8.18

В системе же, показаннойона рис. 8.18,в, эпюры изгибающих мо­

ментов имеют место

олько на стойках, непосредственно воспри­

нимающих действ е X i = 1. Поэтому 813 = 831 = 0 , 814 = 841 = 0 ,

о

основная система является рацио­

с>24 = 842

= 0 ,

следовательно,

п

з

нальной.

Р

8.9.

Определение перемещений

в статически неопределимых системах

еДля определения перемещений с помощью формулы Мора необ­

ДkF = Z J

M k M dx

(8.24)

E J

а)

б)

У

Fk=

1

k

Т

Fk=

1

Н

Б

й

и

р

о

тРис. 8.19

Однако так й испособ вычисления не совсем удобен, так как по­

требуется дваждызрассчитать статически неопределимую систему.

Более р ст й способ вычисления можно получить из следую­

щих рассуждений.о

Если загрузить основную систему заданной на­

грузкой и основными неизвестными, которые определены из кано­

п

нич ских уравнений, то эпюра моментов в этой статически опреде­

лимой системе (рис. 8.19,в) будет полностью совпадать с оконча­

е

тельной эпюрой моментов (рис. 8.19,а). Следовательно, рассматривая

состояние рамы на рис. 8.19,в как исходное, можно для определения

Рперемещения точки

k во вспомогательном состоянии принимать

(8.25)

где

M k - изгибающие моменты в статически определимой сис­

теме, возникающие от Fk = 1 .

У

Для вычисления перемещения можно применить и другой спо­

соб: эпюру моментов от заданной нагрузки можно строить в основ­

ной системе, а эпюру от Fk = 1 - в заданной статически неопреде­

лимой системе. Покажем это.

Применяя к состояниям рамы, изображенным на рис. Т8.19,а,б,

теорему о взаимности работ, получим:

Н(8.26)

й

F k A k F = F A F k ,

Б

где

Fk = 1 ;

авлению

а (на рис. 8.19,а этой

F - силы, действующие в состоян

силой является

равномерно

распределенная нагрузка

интенсивностью q );

AFk

по

силы F , возникаю­

- перемещение

нап

т

м примере - площадь эпюры верти­

щее от Fk = 1

(в э

и

кальных перемещений г ризонтального стержня).

Так как эпюры момен ов в состояниях

а (рис. 8.19,а) и в

з

(рис. 8.19,в) полностью совпадают, то выражение (8.26) приме­

нимо к

состоян

ям рамы

б (рис. 8.19,б) и

в . В этом случае под

F

на рис. 8.19,в надо понимать распределенную нагрузку и ос­

п

и X 2

. Но работа основных неизвестных

новные неизвестные X 1

на

еремещениях рамы в состоянии б равна нулю. Поэтому:

Р

AkF = Z F A Fk ,

(8.27)

сть в правой части выражения (8.27) записана работа внешних

то

есил, приложенных к основной системе, на перемещениях статиче­

AkF = 2

M k M°F dx

(8.28)

J

E J

У

где M F - изгибающие моменты в основной системе (рис. 8.19,д).

Т

Таким образом, при определении перемещений в статически не­

определимых системах можно одну из “перемножаемых” эпюр стро­

Н

ить в заданной статически неопределимой системе, а вторую - в лю­

бой статически определимой, полученной из заданной системы.

Б

Обратимся к вычислениям. На рис. 8.20,а показана эпюра изги­

бающих моментов в статически неопределимой раме от заданной на­

грузки, а на рис. 8.20,б -

E J той

эпюра моментов в

же раме от Fk —1.

По формуле (8.24) получим:

и

M k M dx

р

AkF = 2 J

l

—2

15l

q l2 13l

q l2

/215l

q l2

13l ql

2

+

24E J

—2

+

+

176

т

44

176

44

176

22

22

176

l

2

J 3 L q ll —2 13l q l2

13l q l2

3l q l2

+

+ ■

+

з

о

24E J

11

176

44

176

11

176

44

176

о

3l

q l2

3l

q l4 J _

+

l

7 q l2

м.

и—4

1408 E J

п

176

11

352 88

е

6E J

На рис. 8.20,в показана эпюра моментов в статически определи­

мой раме (основной системе) от Fk —1, а на рис. 8.20,г -

эпюра

Р

мом нтов в основной системе от заданной нагрузки. По формуле

(8.25) получим:

Mk0 M dx

l

—2

l

ql

l

ql 2

ql

1

м.

AkF = 2 J

E J

24E J

+ -

1408 E J

4

22

4

44

У

Т

Fk = 1

Н

@

й

Рис. 8.20

Б

По формуле (8.28):

р

M k M F dx

о

ql

1

1 2иq l2 1 3l

м.

A kF - 2 J

E J

т

8 2 176

1408 E J

E J 3

Понятно, что

вычисления

перемещений по формулам (8.25) или

з

(8.28) оказываются более прос ыми, чем по формуле (8.24).

о

8.10. Расчет рам на действие температуры и смещение опор

При расчете рам на тепловое воздействие канонические уравне­

ния метода сил записываются в виде:

Р

пSu X 1

+ 5U X 2 + S13X 3 + — + 5u X n +A 1t = 0;

е821X 1 + 822X 2 + 823X 3 +

+ $2nX n +A 2t = 0;

моментов в заданной раме строится посредством

суммирования

У

единичных эпюр моментов, умноженных на найденные из уравне­

ний соответствующие значения неизвестных:

Т

M —M 1X 1 + M 2X 2 + ••• + M nX n .

Н

(8.29)

Кинематическая проверка ее сводится к проверке перемещений

рамы по направлениям отброшенных связей, то есть состоит в про­

верке выполнения условия:

й

M M s dx

n

Б

(8.30)

E J

и

Su X 1 + 5UX 2 + ^13Xопор3 + • • • + ^1nX n +A1c

—0;

При расчете рам на смещение

канон ческие уравнения за­

писываются в виде:

т

и

821X 1 + 822X 2 +о823X 3 + ■" + $2nX n +A2c—0;

з

о

8n1X 1 + 8 n2X 2 + 8 n3X 3 + ” • + ^nnX n +A nc—0.

п

Своб дные члены уравнений вычисляются, в общем случае, по

формуле

(7.13).

Р

Q и N в раме от теплового воз­

П и м е р . Построить эпюры M ,

*

272

*

180

*

84

.

*11

, *22

,

*12

Т

11

3EJ

E J

E J

Н

Для удобства вычислений свободных членов

Д^ и A2t

(соот­У

й

Таблица 8 .1

№

h ,

t ,

t' ,

2

Б

и

а

м,

стержня

м

град

град

a M^ м

a N1

, м aM2, м2

AC

0,3

-5

50

8

0

0

4

CD

0,4

-5

50

р

6

18

0

24

BD

0,3

-5

о

0

24

4

50

8

т

Напомним, что при вычислениях по формуле (7.12) каждое сла­

гаемое в ней принимае ся п л жительным в том случае, когда со­

ответствующие

и

направлен я деформации стержней, вызываемые

з

епловым воздействием, совпадают.

единичными силами

а

t '

п

A 1t = 2 а t ^ N j + Z _ h ~ ^ M j =

^

а •50

а •50

а •50 „

е

= а •5 • 6 ----------8 -----------2 4 ------------ 8 = -5636,67 а.

Р

о

0,3

0,4

0,3

а

tr

Д2 t = Т а t ^ N 2 + Z - ^

^ M 2 =

а

• 5 • 4 - а

а •50

а •50

•5 • 4 +---------18 +----------24 = 6250 а.

0,4

0,3