Теория атома водорода по Бору

В качестве последнего примера безуспешных попыток классической физики дать полную теорию физических явлений рассмотрим атом водорода.

Согласно классической модели Резерфорда атом водорода состоит из одного электрона, вращающегося вокруг положительно заряженного малого атомного ядра. Эта классическая модель не смогла объяснить два основных экспериментальных факта:

а) стабильность атома водорода

б) структуру излучаемого им электромагнитного спектра.

В основу теории, исходящей из ядерной модели атома и объясняющей его основные опытные свойства и, прежде всего устойчивость и дискретный спектр излучения, Н. Бор положил два постулата (принципа):

1. Постулат стационарных состояний³ (орбит) – в атоме существуют некоторые особые стационарные состояния, находясь в которых электрон вращается вокруг ядра по круговым орбитам и не излучает, хотя и движется с ускорением (центростремительным). Этим постулатом Бор, не покушаясь на справедливость теоретических основ классической физики, допускает исключение из общего правила в виде особых состояний атома с круговыми орбитами электрона в них.

Бор установил (догадкой) правило определения стационарных круговых орбит электрона – так называемое правило квантования орбит. Оно утверждает необходимость целочисленности в постоянных Планка момента импульса L электрона на этих орбитах, т. е.: L = mr = n, где m и – масса и скорость электрона, r – радиус его орбиты, n – номер орбиты; - постоянная Планка.

Правило частот. Излучение и поглощение энергии атомом происходит при переходе его из одного стационарного состояния в другое (при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую⁴). Частота излучения (поглощения) определяется из условия энергетического баланса: , гдеи- энергии электрона на m - ой и n - ой орбитах, соответственно.

Процесс обратный излучению заключается в поглощении фотона с частотой _nm. В этом случае атом переходит из состояния с меньшей энергией в состояние с большей энергией.

Д

искретность, квантованность энергетических уровней электрона в атоме (и атома в целом), гипотетически постулируемая Бором, получила свое убедительное экспериментальное подтверждение в опыте Франка и Герца в 1913 г. Пропуская электрический ток через лампу - триод, наполненную парами ртути, они обнаружили провалы на вольтамперной характеристике I(U). Эти провалы, т. е. снижения силы тока при некоторых значениях напряжения между анодом А и сеткой С, были объяснены ими как результат неупругого соударения носителей тока – электронов с атомами ртути⁵. Сетка С, на которую подавался небольшой, порядка 0,5 В положительный потенциал относительно анода, «перехватывала» «ослабевшие» электроны, потерявшие свою кинетическую энергию в результате неупругих соударений с атомами ртути. Соответственно на анод попадало меньше электронов, что проявляло себя в уменьшении анодного тока. Атомы ртути могли воспринять (забрать) от электронов лишь определенную энергию, кратную энергии их возбуждения. При этом атомы ртути переходят в возбужденные состояния, отстоящие от основного по энергии на 4,9 эВ; 6,7 эВ; 10,3 эВ… . Это говорит о том, что энергия атома ртути обладает дискретным спектром значений.

В математическом плане Бор при построении теории простейшего атома – атома водорода, отталкивался от двух уравнений для электрона в атоме. Одно из них было чисто классическим, представляя собой, второй закон Ньютона с кулоновской силой (центростремительной), а другое – чисто квантовым – уравнение для момента импульса электрона (правило квантования орбит). Отсюда следовал вывод о непоследовательности теории Бора, которая была уже не чисто классической, но не была еще и последовательно квантовой. Такая непоследовательность обусловила значительную ограниченность теории Бора, ее предсказательных возможностей.

Запишем и решим систему из двух уравнений для электрона в атоме с порядковым номером Z. Напомним, что у Бора Z = 1, что соответствовало атому водорода.

здесь ;;;

n = 1, 2, 3, … - номера орбит.

Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными  и r. Избавимся от , возведя второе уравнение в квадрат и поделив его на первое, в котором сократим r:

= .

П

олученное выражение для радиуса орбиты электрона в атоме указывает на дискретный, квантовый характер его значений. Для n = 1 и Z = 1 значение радиуса первой (невозбужденной) орбиты r₁ = 0,5310^-10 м - хорошо совпадает с размером атома водорода.

Скорость электрона также квантуется:

, причем _n  1/n.

Полная энергия электрона в атоме складывается из суммы кинетической и потенциальной: ;

- энергия взаимодействия двух, разных по знаку, точечных зарядов – электрона и ядра.

Для   с: ;

Полученное выражение для полной энергии электрона в атоме содержит набор отрицательных значений; это является свидетельством связанности состояния электрона в атоме – энергия связи (отрицательная) превышает энергию движения (положительную). При возрастании полной энергии до нуля электрон оказывается свободным, а атом ионизированным.

С

ростом номера и радиуса орбиты полная энергия электрона возрастает, оставаясь до уровня ионизации отрицательной. При n  и  E = 0 – электрон отрывается от ядра, а атом превращается в положительный ион.

Подставляя в выражение для полной энергии электрона ранее выражение для радиуса его орбиты, получаем формулу для полной энергии электрона: . Полная энергия Е электрона в атоме квантуется, т. е. имеет дискретный спектр.

Для n = 1 (атом водорода)  -13,6 эВ; ;; … Е_ = 0.

Энергетические уровни атома с ростом номера уровня сгущаются, и при n   изменение энергии атома происходит почти непрерывно. Имеем переход к классической физике, выражаемый принципом соответствия⁶ Бора.

Разность энергий электрона на втором и первом энергетических уровнях называется энергией возбуждения атома: Е_в = Е₂ – Е₁. Энергии возбуждения соответствует потенциал возбуждения V_в: Е = q_еV_в. Для водорода Е_в = 10,2 эВ и V_в = 10,2 В.

Разность энергий на бесконечно удаленной от ядра и первой орбитах называется энергией ионизации, т. е. отрыва электрона от атома; для водорода Е_ = Е_ – Е₁ = - Е₁ = 13,6 эВ.

Энергия фотона, излучаемого при переходе электрона с m - ой на n - ую орбиты может быть записана в виде: Е = Е_(1/n² – 1/m²).

Объяснение закономерностей линейчатого спектра атома водорода.

Вытекающая из теории Бора дискретная структура энергетических уровней электрона в атоме позволяет объяснить закономерности в спектре излучения атома водорода. Из опыта известно, что спектр теплового излучения невзаимодействующих атомов имеет дискретный характер в виде совокупности отдельных спектральных линий, которые определенным образом упорядочены в некоторые группы, называемые сериями. Такая сериальная упорядоченность спектра излучения атома водорода описывается обобщенной формулой Бальмера:

, где и- постоянные Ридберга:,

n - номер спектральной серии; n = 1, 2, 3 …

m - номер спектральной линии в серии; m = n + 1, m + 2 …

При n = 1;  =(1 – 1/m²), где m = 2, 3, 4 … - серия Лаймана – лежит в ультрафиолетовом диапазоне.

n = 2;  =(1/2² – 1/m²), где m = 3, 4, 5… - серия Бальмера – первые четыре ее линии лежат в

видимой области спектра.

n

= 3; =(1/3² – 1/m²), где m = 4, 5, 6 … - серия Пашена – лежит в инфракрасной области.

Наглядное представление механизма образования сериально упорядоченного линейчатого спектра атома водорода дано на схеме.

Теория Бора позволяет просто получить и саму обобщенную формулу Бальмера. Выразим из правила частот Бора частоту излучения:

и, подставив в нее выражение для энергии: получим:

Сравнивая с формулой Бальмера, видим, что постоянная Ридберга образуется набором фундаментальных физических констант:при Z = 1. Подставляя их значения, получим длязначение, совпадающее с известным из опыта.

Формулу Бальмера часто записывают не для частоты , а для обратной длины волны 1/.

Из  = с/  1/ = /с = (/с)(1/n² – 1/m²) = R(1/n² – 1/m²), где R = /с =.

Спектральная линия с наибольшей длиной волны в данной серии называется ее головной линией, а с наименьшей длиной волны – границей серии.

Формула Бальмера оказывается применимой для так называемых водородоподобных атомов. К ним относят ионизованные атомы, имеющие один электрон, например, однократно ионизованный атом гелия Не⁺ ( = 2) и двухкратно ионизованный атом лития L⁺⁺ ( = 3).

Ограниченность теории Бора.

Теория Бора была первым серьезным шагом на пути внедрения квантовых идей в физику вещественного состояния материи. Она позволила вывести характер спектра излучения простейшего атома – водорода, но была не в состоянии предсказать распределение интенсивностей в этом спектре, а также рассчитать спектр более сложных, чем водород атомов. Такая ограниченность теории Бора объяснялась ей внутренней непоследовательностью, паллиативностью (половинчатостью). Здесь был сделан лишь один, первый “квантовый шаг”, который вскрыл плодотворность квантовой гипотезы и необходимость ее более полного воплощения в теории. Оно было последовательно осуществлено в рамках новой фундаментальной физической теории – квантовой механики.

В квантовой механике был найден такой формально - математический аппарат, из которого квантованность (дискретный спектр) мер движения частицы получалась как следствие определенных условий движения и взаимодействия, а не вводилась “вручную”, постулативно, как это вначале было осуществлено Н. Бором.

Гипотеза де Бройля. Волны де Бройля: опытное подтверждение, принцип соответствия.

П

опытки построения адекватной опыту теории движения микрочастиц показали плодотворность, но недостаточность введения в теорию квантовых постулатов (Бор, Зоммерфельд). Следующим (и решающим) шагом на пути полноценного теоретического отображения свойств и поведения микрообъектов явилась идея де Бройля (1923 г) о корпускулярно – волновом дуализме свойств микрочастиц вещества. Эта идея как бы замыкала в целостность идею Планка, реализованную им лишь применительно к свету (электромагнитным волнам, полю). Таким образом, всяфизическая реальность – и вещество, и поле, сблизились в микромире в своих свойствах, в их универсальной корпускулярно – волновой двойственности (дуализме).

По гипотезе де Бройля, любой частице массой m, движущейся со скоростью , можно сопоставить некоторую волну, длина  которой определяется выражением (формулой де Бройля):

 = h/m = h/р ⁷ и называется длиной волны де Бройля. Такая волна является математическим образом и средством, инструментом, позволяющим отобразить волновые свойства микрочастиц. Их наиболее характерным проявлением оказывается дифракция. И

гипотеза де Бройля вскоре была убедительно подтверждена экспериментом. В 1927 г. Дэвиссон и Джермер, наблюдая рассеяние электронов монокристаллом никеля, установили наличие характерной дифракционной картины, подобной той, которая наблюдалась и при рассеянии электромагнитных волн (рентгеновского диапазона частот) в опытах Вульфа - Брэггов. Максимумы рассеянных монокристаллом никеля электронов повторялись для разных углов рассеяния в соответствии с известной формулой Вульфа - Брэггов: 2dsin  = n, где d – межатомное расстояние, а n = 1, 2, 3, ... Для волн де Бройля удобно менять не , а , посредством изменения ускоряющего электроны напряжения U:

q_еU = m²/2 = р²/2m = h²/²2m   = h/(2mq_еU) и 2dsin  = nh/(2mq_еU).

Далее, в опытах Штерна и Эстермана, подобная волновая картина наблюдалась и для пучков атомов, молекул (1929 г., 1932 г.), а также и нейтронов. Таким образом, гипотеза де Бройля, утверждающая универсальный характер корпускулярно – волновой двойственности свойств физической реальности, убедительно подтверждена опытом.

Тот факт, что волновые свойства частиц вещества не были обнаружены в макромире, объясняется тем, что для макрообъектов, обладающих много большей, чем микрообъекты массой, длина волны де Бройля оказывается чрезвычайно малой⁸. Если для электрона с m_е = 9,110^-31 кг и   10⁷ м/с, она равна _е = h/m_е  10^-10 м, то, например, для пули с m_п  10 г и   10³ м/с, _п = h/m_п  10^-30 м. Эта величина лежит далеко за пределами возможностей ее регистрации современными техническими средствами. Поэтому и наблюдать проявление волновых свойств макротел не представляется возможным.

а очерчивающей ее границы, вскрывающей пределы ее ограниченной справедливости, включающей ее в себя как частный, предельный случай. Условие соответствующего предельного перехода квантовой механики в ее классическое приближение может быть кратко сформулировано в количественной форме в виде S  h или: . Иначе это означает, что = h/m  0. Это условие подобно условию перехода волновой оптики в геометрическую, лучевую оптику.

Свойства волн де Бройля: фазовая и групповая скорости, суперпозиция плоских волн, дисперсия. Волновой пакет и частица. Квантовое условие Бора.

Согласно гипотезе де Бройля, любой вещественной частице массой m, движущейся с постоянной скоростью , присущи волновые свойства с характерной длиной волны , называемой дебройлевской и равной . Как и для электромагнитных волн, для волн де Бройля можно различать фазовую и групповую скорости. Фазовая скорость определяется отношением_ф = /k, и, так как , а, то_ф = /k = /k = Е/р =(с²р² + m²с⁴)/р = с(1 + m²с²/р²)  _ф  с.

П

олучили результат, уже знакомый из анализа электромагнитных волн и сводящийся к превышению фазовой скорости волны (здесь - де Бройля) над значением скорости света в вакууме. Этот результат нас не должен смущать, так как фазовая скорость не имеет ничего общего со скоростью переноса энергии. Она устанавливает лишь связь между фазами колебаний в разных точках, и на ее величину не накладывается никаких ограничений.

Согласно современной физической интерпретации, фазовая скорость волн де Бройля имеет чисто символическое значение, ибо является принципиально не наблюдаемой величиной. Принципиально наблюдаемой величиной согласно этой интерпретации является групповая скорость, скорость максимума амплитуды узкополосной группы (или пакета волн) с разной частотой (длиной волны). Предположение о введении таких волновых пакетов для описания движения реальных частиц было выдвинута де Бройлем, пытавшимся устранить корпускулярно – волновую двойственность путем сведения свойств частицы к чисто волновым. Но эта попытка оказалась безуспешной вследствие дисперсии волн де Бройля (даже в вакууме). Дисперсия волн де Бройля проявляется в зависимости их фазовой скорости от длины волны. Это следует из формулы:

_ф = с(1 + m²с²/р²) = с(1 + m²с²²/h²).

Групповая скорость _гр, определяемая через производную от циклической частоты по волновому числу k, оказывается равной скорости  самой частицы. Покажем это для свободной частицы:

и т. к. , то из Е² = с²р² + m²с⁴  2ЕdЕ = 2рdрс²  dE/dр = рс²/Е = m/m =  = _гр.

Де Бройль и предлагал рассматривать частицы как волновые пакеты достаточно малой протяженности (локализованные), представляющие собой суперпозицию большого числа плоских монохроматических волн (де Бройля) с разными частотами. Но все эти составляющие узкого пакета распространяются вследствие дисперсии с разными скоростями и пакет в целом “расплывается” за ничтожно малое время порядка 10^-26 с. Поэтому попытка сведения поведения микрочастиц к чисто (и односторонне) волновому оказалась неудачной.

Де Бройль использовал представление о волнах (де Бройля) для наглядного представления таинственного правила квантования орбит Бора в случае одноэлектронного атома. Он рассматривал волну де Бройля, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на длине орбиты 2r длина волны  укладывается целое число раз, то при обходе ядра она будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В каждой точке орбиты установится неизменный во времени колебательный режим стоячей волны (не переносящей энергию), и не возникнет излучения, что и есть условие стационарности орбиты. Исходя из этих соображений, де Бройль записал условие стационарности орбиты или правило квантования, в виде: 2r/ = n, где n = 1, 2, 3…

Полагая, что  = h/р и замечая, что pr = L (L – момент импульса электрона), получим: 2rр/h = n  L = n- квантовое условие Бора (целочисленность момента импульса L в постоянных Планка). В этом де Бройль видел успех своей концепции волн материи. В дальнейшем квантовое условие удалось обобщить и на случай некруговых, эллиптических орбит. Но этот успех оказался призрачным. В рассуждениях де Бройля предполагалось, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии – вдоль стационарной орбиты электрона. Такая идеализация соответствует приближению геометрической (лучевой оптики), справедливому лишь в предельном случае малости в сравнении с радиусом r орбиты, т. е. при больших квантовых числах. А тогда сама проблема квантования оказывается несущественной.

Введение в теорию движения частиц условий, адекватных волновой оптике, было осуществлено Шредингером.

Волновая функция и ее статистический смысл.

И гипотеза де Бройля, и соотношения неопределенности, являющиеся следствиями атомизма (дискретности) действия, указывают на необходимость учета волновых свойств в поведении частиц вещества и на наличие объективной неопределенности в этом поведении. Обе эти особенности квантовомеханического движения находят свое выражение в том, что состояние движения микрочастицы задается не координатами и импульсами (то есть, траекторно), а некоторой волновой функцией координат и времени (x, y, z, t), являющейся в общем случае комплексной. В простейшем случае – движения свободной частицы (в отсутствие внешних силовых полей) в направлении , - такая функция (волновая), имеет вид плоской волны:-плоская волна де Бройля,

где  = -1 – мнимая единица, = k/ - волновой вектор, а || = k = 2/ - волновое число. Эта волновая функция отличается от обычной гармонической волны тем, что является комплексной, т. е. содержит в себе в общем случае и действительную, и мнимую части:.

Задание состояния движения микрочастицы с помощью волновой функции приводит к вероятностному характеру предсказания значений будущих местоположения и импульса движущейся частицы. Вероятностная закономерность в классической статической механике была обусловлена суммированием многообразных независимых альтернатив. Вероятность же в квантовой механике связана с объективной неопределенностью вследствие атомизма взаимодействия, не позволяющего сколь угодно точно детализировать характеристики движения частицы.

М. Борном (1928 г) была предложена статистическая трактовка волновой функции, в соответствии, с которой наглядный физический смысл приписывается квадрату модуля волновой функции. Этот смысл является статистическим; он представляет собой плотность вероятности обнаружения частицы в заданном объеме в данный момент времени:

, где dV = dхdydz - элементарный объем (или элемент объема).

Задание волновой функции – основной функции, характеристики состояния частицы позволяет определить вероятность dР местоположения частицы в любом элементе dV пространства: ибо - может быть и мнимой, и тогда ² оказывается отрицательной, тогда как вероятность всегда положительна.

Вероятность Р местонахождения микрочастицы в конечном объеме V определится интегралом: Р = dР =

На волновую функцию, как функцию статистического (вероятностного) распределения, накладывается условие нормировки, согласно которому интеграл по всей области определения (объему) волновой функции должен быть равен единице:.

Интеграл от плотности вероятности по всему объему представляет собой полную, т. е. 100 % - ую вероятность, вероятность достоверного события. Частица (если она существует) в каком-либо месте из всей доступной для нее области, должна обнаруживаться обязательно, со 100 % - ой вероятностью.

Условие нормировки позволяет находить амплитуду волновой функции.

Зная волновую ф-ию, можно вычислять средние значения любых величин , являющихся функциями координат и времени по формуле:,

а также вероятности любых других значений этих величин.

Волновую функцию, в соответствии с ее статистическим, вероятностным смыслом, часто называют амплитудой вероятности, или, еще - волной информации. В отличие от известных ранее волн, имеющих ту или иную конкретную материальную природу, волновая функция, в том числе и волна де Бройля, представляет лишь адекватный способ описания движения объектов в микромире. Ее природа не материальная, а информационная, адекватная корпускулярно - волновой двойственности свойств, проявляющихся при малых взаимодействиях, где заметной становится дискретность, квантованность действия, наличие его неделимой порции, равной постоянной Планка = 1,0510^-34 Джс.

Вероятностное толкование волновой функции позволяет сочетать волновые свойства частицы с ее неделимостью. Волновая функция частицы не описывает струкуру частицы; она отображает лишь возможные состояния ее движения.

Волновая функция лишь приписывается, сопоставляется движущейся частице, как функция, определенным образом характеризующая, отображающая состояние ее движения, позволяющая предсказывать дальнейший характер и характеристики движения. То, что такое предсказание является неоднозначным, вероятностным, свидетельствует об ограниченности привычного для макромира и классической механики однозначного детерминизма. В микромире однозначно предсказываются лишь вероятности тех или иных значений координаты и импульса движущейся частицы.

Общее (нестационарное) уравнение Шредингера

Состояние движения микрообъекта задается не координатами и импульсами, не траекторией, как в макромире, а некоторой функцией координат и времени, носящей в общем случае комплексный и волновой характер. В микромире обнаружился более общий, статистический характер детерминизма, причинности. Однозначные детерминизм и причинность классической механики, адекватные движениям макрообъектов, оказались лишь огрубленным приближением. Вероятностный детерминизм в поведении микрообъектов проявляется в наличии некоторого уравнения, связывающего заданными взаимодействиями (граничными условиями) начальную и будущую волновые функции. Это уравнение, найденное Шредингером и получившее его имя, является исходным, фундаментальным уравнением квантовой механики, подобно уравнению 2 - ого закона Ньютона для классической механики. В рамках квантовой механики оно ниоткуда не выводится, а его справедливость подтверждается всей совокупностью его следствий, сопоставляемых с опытными фактами. Решением этого уравнения и является функция состояния движения квантового объекта - волновая функция. Поясним вид этого уравнения в простейшем одномерном случае, на примере свободной частицы, движущейся вправо вдоль оси х. Вид волновой функции такой частицы известен - это плоская волна де Бройля . Для свободной частицы потенциальная функция (энергия) U равна нулю, и полная энергия Е равна кинетической энергии: E = T + U = Т = m²/2 = р²/2m (p = m). Т. к. E ~ , то легко выявляется инвариантная дифференциальная взаимосвязь и образующая собой квантовое уравнение движения частицы. Для этого надо взять частную производную от волновой функции по времени, которая фактически сведется к умножению ее на энергию Е:

; 

и затем два раза продифференцировать волновую функцию по координате; при этом у волновой функции появится множитель р². А затем, используя связь Е = р²/2m, можно связать первую производную от волновой функции по времени и вторую производную по координате. Эта взаимосвязь и будет представлять собой искомое дифференциальное уравнение для волновой функции свободной частицы, т. е. уравнение Шредингера:

В общем случае, для частицы, движущейся в силовом поле, задаваемом потенциальной энергией, точнее, потенциальной функцией U(х, t), полная энергия Е частицы будет равна сумме , и уравнение Шредингера, называемое общим или временным, примет вид:или в 3-х мерном случае:

где - оператор Лапласа, представляющий собой сумму вторых частных производных по пространственным координатам.

Уравнение Шредингера позволяет однозначно находить волновую функцию по известным начальным [] и граничным {U(x, y, z, t)} условиям и в этом смысле оно определяет динамически закономерную связь состояний движения квантового объекта. Напомним, что волновая функция, через квадрат своего модуля задает, определяет плотность вероятности нахождения частицы в данном месте в данный момент времени, а это есть функция статистического распределения.

Волновая функция подчиняется так называемым стандартным или естественным условиям (фактически условиям физической реализуемости). К ним относят следующие условия:

1. Непрерывность. Разрывы волновой функции будут означать и наличие разрывов квадрата ее модуля, за которыми стоят разрывы плотности вероятности и самой вероятности нахождения частицы в том или ином месте. А это означает эффекты рождения или уничтожения частиц, с чем обычная квантовая механика непосредственно дела не имеет.

2. Однозначность. В случае неоднозначности волновой функции не может реализоваться принцип детерминизма и предсказуемости квантовомеханического состояния объекта, а с ними и суть научности в отображении природы.

3. Гладкость. (дифференцируемость) означает конечность и непрерывность первых производных волновой функции. Это требование связано с тем, что уравнение Шредингера содержит вторые производные от  - функции, которые для негладкой функции будут принимать бесконечные значения.

4. Конечность. При наличии бесконечных значений волновой функции ее невозможно отнормировать и применить понятие самой вероятности.

Уравнение Шредингера ограничивает квантовомеханический анализ случаем малых скоростей (медленных движений), т. е. является основой нерелятивистской квантовой теории и не учитывает четвертую (спиновую) степень свободы микрообъекта. В 1929 г. Дирак получил для электрона более общее уравнение, учитывающее спин и являющееся релятивистским. Его анализ выходит за рамки нашего курса.

Стационарные состояния и уравнение Шредингера для стационарных состояний

Частным, но важным для практики случаем состояния движения микрообъектов, является случай так называемых стационарных состояний, при которых силовая функция U(x, y, z, t) = U(x, y, z) - не зависит от времени и приобретает смысл потенциальной энергии. Соответственно, полная энергия системы (система консервативна) точно определяется, ибо можно реализовать приt  , Е  0.

В стационарном состоянии распределение вероятностей местонахождения частицы (плотность вероятности) должна оставаться постоянным во времени, то есть . Отсюда следует, что волновую функцию в стационарном состоянии можно представить в виде произведения:

. Здесь зависимость (t) носит гармонический характер, и

= const.

Примером волновой функции в стационарном состоянии является плоская волна де Бройля, описывающая состояние движения свободной частицы, для которой U(x, y, z) = const = 0. Для свободной частицы сохраняется (остается неизменным) импульс, и для нее - в волновой функции разделяются множители:пространственный (х, у, z), играющий роль амплитуды волновой функции, и временной , определяющий гармонический характер изменения волновой функции во времени.

Подставив волновую функцию в виде плоской волны де Бройля в общее, временное уравнение Шредингера, получим после сокращений уравнение Шредингера для стационарных состояний:

Полученное уравнение называют еще стационарным уравнением Шредингера или уравнением Шредингера не зависящим от времени.

1Спектром какой либо величины называют совокупность значений, которые может принимать эта величина.

2Золото легко расплющивается, и толщину фольги можно довести до слоя в несколько сот атомов. В тонкой фольге возрастает вероятность однократных столкновений- частиц с атомами, что и было важным для опыта Резерфорда.

3Стационарное состояние с наименьшей энергией называетсяосновным.

4Возможны переходы электрона в атоме «сверху вниз» и без излучения кванта света. В этом случае энергия возбуждения отдается обычно решетке твердого тела, то есть в виде внутренней, тепловой энергии.

5Обычно соударения легкого электрона с массивным атомом ртути носят упругий характер – без изменения энергии электрона.

6В квантовой механике принцип соответствия будет выражаться иным, нежели nусловием, а именно 0.

7В релятивистском случае, прис, необходимо использовать более общее выражение для импульса: р = (1/с)(Е²– m²с⁴).

8У микрообъектов дебройлевская длина волны оказывается много больше, а у макрообъектов много меньше их собственных размеров.