Формула Рэлея – Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа.

В 1900 г Рэлей, а затем и Джинс (1905 г) получили строго теоретически вид универсальной функции Кирхгофа, дающей распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного т

ела. Тепловое излучение было рассмотрено на примере совокупности стоячих электромагнитных волн (или колебаний, осцилляторов) в полости с идеально отражающими стенками – в резонаторе. На длине резонатора укладывается целое число полуволн собственных (резонансных) колебаний (стоячих волн): = n/2. Чем меньше длина волны , тем больше густота, плотность собственных колебаний. Число d таких колебаний в объеме V можно записать в виде: d = АVf()d. Функция распределения собственных колебаний по длинам волн f() = Расчет числа dn стоячих электромагнитных волн, заключенных в единице объема полости, длины волн которых заключены в интервале от  до  + d, дает значение dn = (2с/⁴)d. Отсюда спектральная плотность осцилляторов, то есть dn/d = 2с/⁴. Применив классический закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы (ЗРРЭСС), они приписали каждому собственному колебанию (моде) резонатора энергию, равную kТ (по kТ/2 на электрическую и магнитную составляющие электромагнитного колебания; k  1,410^-23 Дж/К – постоянная Больцмана). Соответственно для спектральной плотности потока энергии излучения, т. е. для излучательной способности абсолютно черного тела, Рэлей и Джинс получили выражение: E_,Т = (2с/⁴)kТ

Ф

ормула Рэлея - Джинса хорошо соответствовала эксперименту в области больших длин волн, но имела значительное расхождение с ним в областикоротких волн, соответствующих, ультрафиолетовому диапазону. Это несоответствие получило название ультрафиолетовой катастрофы. Катастрофы потому, что формула была получена в строгом соответствии с основными законами классической физики и, в частности, с законами классической статистики и волновой электромагнитной теории света, излучения. Стало очевидно, что эти основы классической теории не в состоянии адекватно отобразить новые экспериментальные факты. Возникла революционно-проблемная ситуация в фундаментальных основах классической теоретической физики. Первый шаг в переходе от классической к современной физике был сделан М. Планком в конце 1900 г.

Формула Планка

Для устранения ультрафиолетовой катастрофы М. Планк вынужден был сделать чуждое классической физике предположение о том, что энергия осциллятора может принимать не непрерывный, а дискретный ряд значений, кратных некоторому кванту энергии, пропорциональному частоте колебаний:

Е = h, где h  6,6210^-34 Джс - постоянная Планка.

Фотоэлектрический эффект (фотоэффект)

Фотоэлектрическим эффектом или просто фотоэффектом называют совокупность электрических процессов, происходящих в веществе под воздействием света и включающую в себя внешний фотоэффект, внутренний фотоэффект и вентильный фотоэффект.

Первое фотоэлектрическое явление – внешний фотоэффект, заключающееся в вырывании светом электронов из вещества, впервые экспериментально было обнаружено в 1887 г. Г. Герцем и детально исследовано в 1888 - 1889 гг. А. Г. Столетовым. Обобщенная схема экспериментальной устано­вки для изучения внешнего фотоэффекта (см. рис) представляла собой двухэлектродную стеклянную трубку, лампу (вакуумный диод - фотоэлемент), один из электродов (катод К) которой облучался пучком света. Между катодом и вторым электродом – анодом А прикладывалось напряжение U, которое можно было регулировать (как по величине, так и по знаку, полярности) с помощью потенциометра П. Амперметр А измерял силу I тока, протекающего через лампу, а вольтметр В измерял напряжение между анодом и катодом.

Х

арактерные особенности внешнего фотоэффекта наиболее полно вскры­ваются в его вольтамперной характеристике (ВАХ), представляющей собой зависимость силы фототока (тока электронов, попадающих на анод) от напряжения между катодом и анодом.

П

адающий на катод свет своим переменным электрическим полем раскачивает электроны вещества, и со временем происходит их отрыв и вылет их из катода. В силу имеющегося разброса начальных скоростей электронов, вылетающих из разных по глубине слоев вещества катода, до анода долетают лишь наиболее быстрые из них. С ростом положительного напряжения на аноде число таких электронов возрастает, и при некотором напряжении все, вырванные светом из катода электроны, достигают анода, образуяток насыщения _нас.

Чтобы обратить фототок в ноль, необходимо между анодом и катодом приложить напряжение U_З обратной полярности, называемое запирающим или задерживающим.

Опыты выявили следующие основные закономерности внешнего фотоэффекта:

Сила тока насыщения _нас прямо пропорциональна световому потоку ( Под световым потоком Ф понимают величину, равную энергии излучения, падающего на поверхность за единицу времени). Ф: _нас  Ф (эта закономерность носит название закона Столетова).

Фотоэффект начинается с некоторой минимальной частоты света _мин (или _о), получившей название красной границы фотоэффекта. (Красную границу фотоэффекта часто выражают через максимальную длину волны света _о = с_о; для многих веществ она лежит в красном диапазоне света. )

Максимальные кинетическая энергия Е_{к макс} и скорость _{к макс} фотоэлектронов (а также и задерживающее напряжение U_з) пропорциональны частоте  света и не зависят от его интенсивности (светового потока).

Фотоэффект практически безынерционен, т. е. фототок возникает мгновенно после облучения светом вещества.

Согласно классической волновой электромагнитной теории света, вырывание электронов, связанных в веществе, происходит вследствие возрастающей во времени “раскачки” их переменным электрическим полем световой волны. В волновом подходе интенсивность света пропорциональна амплитуде световой волны, и именно эти характеристики должны были определять возможность самого фотоэффекта и его “силу”. Опыт же говорил о том, что определяющей характеристикой оказывается частота света. Волновой подход не смог объяснить основные закономерности внешнего фотоэффекта и, прежде всего, частотные закономерности (наличие красной границы, пропорциональность запирающего напряжения частоте света), а также его безынерционность и независимость запирающего напряжения от интенсивности света. Это несоответствие классической волновой теории и опыта было преодолено в 1905 г. А. Эйнштейном путем привлечения квантово-корпускулярных представлений о свете, предложенных в 1900 г. М. Планком при объяснении закономерностей теплового излучения.

А. Эйнштейн предположил, что свет не только излучается в виде дискретных энергетических порций, квантов, энергия которых, по Планку, пропорциональна частоте Е = h, но и поглощается веществом также этими неделимыми порциями света, названными впоследствии фотонами. Эйнштейн записал основное уравнение однофотонного фотоэффекта, представляющее собой фактически закон сохранения энергии при взаимодействии фотона со связанным в веществе электроном. Согласно этому уравнению, энергия фотона расходуется на совершение работы А_вых по вырыванию электрона из металла и сообщение ему кинетической энергии Е_к, то есть:

h = А_вых + Е_{к макс.}

За работу А_вых в уравнении Эйнштейна принимают работу по вырыванию наименее связанных в веществе электронов, которые приобретают при вылете наибольшую скорость _м и кинетическую энергию Е_{к макс}. (При достаточно высокой частоте  света, облучающего фотокатод, скорость  фотоэлектронов может приближаться к скорости света в вакууме с = 310⁸ м/с, и тогда от классического выражения для кинетической энергии Е_к = m²/2 необходимо переходить к релятивистскому выражению: Е_к = mс²/(1 – ²/с²) - mс².)

Из уравнения Эйнштейна сразу вытекает наличие красной границы фотоэффекта, т. е. существование такой граничной частоты _о, при которой начинается фотоэффект и ниже которой энергии фотона не хватит на совершение работы выхода электрона, т. е. на преодоление сил связи его с веществом:

h_о = А_вых  _о = А_вых/h; _о и А_вых являются табличными характеристиками вещества.

Задерживающее напряжение определяется из условия обращения фототока в ноль. При этом тормозящее электрическое поле между катодом и анодом совершает работу А, равную максимальной кинетической энергии электронов А = q_еU_з = Е_{к макс}. Подставляя вместо Е_{к макс} в уравнение Эйнштейна q_еU_з, имеем: h = А_вых + q_еU_з, откуда U_з = (h - А_вых­)/q_е  U_з  . Таким образом, из уравнения Эйнштейна вытекает пропорциональная зависимость задерживающего напряжения U_з (а с ним и максимальных кинетической энергии Е_{к макс} и скорости фотоэлектронов _макс) частоте  света при фотоэффекте и независимость U_з от интенсивности света.

Интенсивность света в квантовом подходе оказывается пропорциональной числу фотонов, ежесекундно, падающих на единицу площади. Отсюда становится понятной пропорциональность силы фототока насыщения световому потоку (ветовой поток Ф представляет собой мощность излучения, падающего на поверхность, а интенсивность излучения есть поверхностная плотность светового потока, то есть мощность излучения, приходящаяся на единицу площади.) Ф, облучающему материал. При фототоке насыщения все вырванные из материала электроны достигают противоположного электрода. В стадии до насыщения часть вылетевших из материала электронов, обладающих скоростью, меньше максимальной, возвращалась обратно под воздействием отталкивающего электрического поля ранее вылетевших электронов и притягивающего действия, положительно заряжающегося при отдаче электронов катода.

С увеличением интенсивности света увеличивается число фотонов, ежесекундно бомбардирующих катод и, соответственно, число вырываемых ими электронов, которые в стадии насыщения все достигают анода, обусловливая возрастание силы фототока до тока насыщения.

Безынерционность фотоэффекта в квантовом подходе тем и объясняется, что взаимодействие электронов со светом носит не растянутый во времени, как с волной, а элементарный, мгновенный характер взаимодействия двух частиц – частицы вещества – электрона и частицы света (электромагнитного поля) – фотона.

Если электрический вектор падающей на вещество световой волны не перпендикулярен плоскости падения, возможен так называемыйселективный фотоэффект. В нем сила фототока сильно зависит от угла падения и поляризации световой волны. Нормальная составляющая вектора гораздо более эффективна для вырывания электрона из металла, чем касательная составляющая.

В сильных световых полях возможен так называемый многофотонный фотоэффект. В нем вырывание электрона осуществляется в результате поглощения не одного, а двух, или реже трех фотонов. При этом происходит пересмотр понятия «красная граница фотоэффекта».

Давление света.

Квантово - корпускулярная концепция света позволила легко и наглядно объяснить такое его опытное проявление как давление (именно давлением солнечного света объясняли, например, изгибание хвостов комет, при их приближении к Солнцу, в сторону от Солнца).

Если фотоэффект связан с передачей от фотонов энергии веществу, то давление света связано с передачей другой, векторной меры движения – импульса. Напомним, что фотон, как частица света, энергия которой пропорциональна частоте света Е_ф = h = hс/, обладает импульсом р_ф = Е_ф/с = h/. Быстрота изменения (передачи) импульса, согласно второму закону Ньютона, есть сила, а сила, приходящаяся на единицу площади, есть давление P: и.

Таким образом, давление света на вещество равно импульсу, передаваемому фотонами единице площади в единицу времени. Если поверхность полностью поглощает падающие на нее по нормали фотоны (свет), то каждый фотон передает ей импульс р_ф = h/с, а при полном отражении – удвоенный импульс 2р_ф. Если же поверхность частично отражает падающий на нее свет с коэффициентом отражения , то при падении в единицу времени на единицу площади n_о = /St фотонов, отразится от нее число фотонов, равное n_о, а поглотится n_о(1 – ) фотонов. Они окажут давление (передадут единице площади в единицу времени импульс), равное:

Р = n_о(1 - )h/ + 2n_оh/ = (n_оh/)(1 + ) = (n_оhс/с)(1 + ) = (n_оЕ_ф/с)(1 + ) = (W/с)(1 + ),

где W = n_оЕ_ф – энергия фотонов, падающих за единицу времени на единичную площадку, т. е. вектор Умова - Пойнтинга – плотность потока переносимой энергии. Из известной из теории волн формулы взаимосвязи плотности потока с объемной плотностью  энергии волны: W = с, получаем формулу для давления света в виде:

Р = (1 + ), где  - объемная плотность энергии фотонов, то есть энергия фотонов в единице объема.

Полученная формула для давления света, как потока фотонов, полностью аналогична таковой, получаемой в волновом подходе. Там физический механизм давления сводился к тому, что переменное электрическое поле световой волны приводило в колебательное движение электроны атомов вещества, а на эти движущиеся электроны действовало уже магнитное поле световой волны с силой Лоренца = q+ q [],направленной вглубь вещества. Таким образом, давление света является таким эффектом, который в равной степени успешно объясняется как с волновых, так и с корпускулярных воззрений на природу света, его микроструктуру. Квантово - корпускулярная концепция получила окончательное признание после того, как успешно объяснила такой эффект, как эффект Комптона, в котором свет, взаимодействуя с веществом, передает ему одновременно и энергию, и импульс.

Эффект Комптона.

Д

лявидимого света энергия фотона Е_ф = h меньше энергии связи электронов с атомом, но соизмерима с энергией связи «свободных» электронов с веществом металлов. С повышением частоты излучения его фотоэлектрическое поглощение веществом уменьшается и становится совсем несущественным на частотах, на которых энергия фотона значительно превышает энергию связи электрона в атоме. Для такого высокочастотного, например, рентгеновского излучения, электроны вещества становятся практически свободными. Свободный же электрон не может поглотить фотон. На смену фотоэлектрическому поглощению света приходит рассеяние фотонов на электронах.

В 1925 г. А. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей в парафине, обнаружил эффект увеличения длины волны рассеянных веществом лучей с ростом угла рассеяния . По классической теории рассеяния света, основанной на волновых представлениях, длина волны света при рассеянии не должна изменяться; под действием возмущающего электрического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому излучает вторичные (рассеянные) волны той же частоты. Комптон предложил квантово-корпускулярную трактовку обнаруженного им явления возрастания длины волны рассеянных веществом рентгеновских лучей. Моделируя эти лучи фотонами с энергией Е = h, много большей энергии связи валентных (внешних) электронов в _{легких атомах (какими, например, являются атомы углерода в парафине), Комптон рассмотрел взаимодействие фотона и свободного электрона. В основу расчета этого взаимодействия Комптон положил законы сохранения энергии и импульса. Здесь, в отличие от фотоэффекта, фотон отдает электрону не всю свою энергию Еф = hс/ = срф, а лишь ее часть; поэтому после взаимодействия он останется с уменьшенной энергией Еф = срф = hс/ и с увеличенной длиной . Так качественно объясняется возрастание длины волны рассеянных веществом лучей, т. е. суть эффекта Комптона.}

Разность зависит только от угла рассеяния и не зависит ни от , ни от рода рассеивающего вещества. В этом особенность эффекта Комптона. Максимальное смещение длины волны имеет место при  =  и равно _макс = 2_е = 4,8410^-12 м.

_{Примечательно, что свободный электрон не может полностью поглотить фотон, то есть фотоэффект на свободных электронах иметь места не может. Это связано с невозможностью вследствие разного характера закона дисперсии, то есть зависимости Е(р) для фотона (Еф = срф) и для электрона (Еэ = (с}²_рэ² _{+ m}²_с⁴_{), удовлетворить одновременно обоим законам сохранения – и энергии, и импульса. Поэтому, поглощая фотон, то есть принимая всю его энергию, электрон не может одновременно принять весь его импульс. Действительно, из ЗСЭ:}

_{срф + mс}² _{= Еэ = (с}²_рэ² _{+ m}²_с⁴₎ =с²р_ф² + 2р_фmс³ + m²с⁴ = с²р_э² + m²с⁴ =р_э² = р_ф² + 2 р_фmс// р_э  р_ф.

В металле «свободные электроны» на самом деле связаны с кристаллом в целом, и там фотон при фотоэффекте передает часть импульса кристаллической решетке.Фотоэффект (передача электрону энергии фотона) и давление света (передача импульса) являются в соотнесении с эффектом Комптона частичными, односторонними эффектами. И квантово-корпускулярная природа света в нем выступает наиболее полно и убедительно. Корпускулярно – волновой дуализм, выявленный вначале применительно к свету, к электромагнитному полю, оказался позже применимым и к веществу, к его свойствам, и стал после открытия эффекта Комптона и его объяснения признанной универсальной особенностью физической реальности.

Опыт Резерфорда и ядерная модель атома.

В отличие от поля, вещество в физике от древних греков считалось дискретным, состоящим из мельчайших частиц, называемых атомами. К началу XX в атомистическая гипотеза древних, считающая атомы мельчайшими, неделимыми далее порциями вещества (с греческого tomos – часть и atomos – не имеющий частей, неделимый) перестала соответствовать накопленному экспериментальному материалу. Выявление и изучение термоэлектронной эмиссии, электрического тока в металлах и газах, фотоэффекта и особенно радиоактивности с ее  -, - и  - лучами привели к обнаружению еще более мелких, чем атомы частиц. Ими были, прежде всего, отрицательно заряженные  - частицы (электроны) и положительно заряженные  - частицы (ядра атомов гелия).

Встала проблема установления внутреннего состава и строения атома. Начали выдвигаться различные модели устройства атомов. Они должны были учитывать такие, известные из опыта закономерности, как:

Электрическая нейтральность атома в целом.

Наличие в составе атомов легких, отрицательно заряженных частиц – электронов.

Динамичность системы заряженных частиц, ибо статическая система не может

быть устойчивой (по теореме Ирншоу – из электростатики).

Дискретный характер спектра излучения атомов.

Решающий эксперимент для построения современной модели строения атома осуществил в 1911 г. Э. Резерфорд с сотрудниками. Открытие радиоактивности дало в руки физиков мощное орудие исследования структуры атома, а именно - альфа-излучение, состоящее из ядер гелия, движущихся с большой скоростью. Бомбардируя  - частицами, вылетавшими из радиоактивного вещества (РВ) с большой скоростью _  10⁷ м/с, тонкую (доли микрона) золотую² фольгу Ф, Резерфорд изучал с помощью наблюдения в измерительный микроскоп ИМ рассеяние  - частиц атомами фольги. Опыты показали, что вещество (материал фольги, его атомы) является весьма “пористым”, т. к. подавляющая часть  - частиц (99,95%) пронизывала фольгу насквозь. Лишь незначительная часть их, примерно 1/2000, рассеивалась на углы , большие 90, т. е. отбрасывалась назад. Но именно последний факт обратил на себя внимание Резерфорда, который посчитал его невероятным. Дело в том, что отбросить массивную, положительно заряженную  - частицу, движущуюся с огромной скоростью, может лишь положительный массивный заряд, сосредоточенный в очень малом объеме. Примерный размер (радиус) этого объема Резерфорд оценил исходя из закона сохранения энергии, из условия равенства кинетической энергии  - частицы работе ее торможения в электрическом поле положительного заряда атома фольги:

,

где Z – порядковый номер атома фольги в табл. Менделеева.

Полученный размер оказался много меньше диаметра атома, порядок которого, по газокинетическим оценкам, составлял м. Кроме того, в существовавших моделях атома (например, в модели Томсона), он представлялся в виде равномерно заряженного положительного шара, внутри которого колеблются электроны. Для объяснения своих опытов Резерфорд предложил новуюядерную или планетарную модель атома, согласно которой атом построен по типу солнечной системы, где гравитационные силы заменены на силы электромагнитные.

В ней атом состоит из массивного положительного ядра малых размеров порядка м и вращающихся вокруг него на больших расстояниях (с радиусом порядкам) легких электронов. Эта модель во многом подобна нашей планетарной системе с центром – ядром – массивным Солнцем и вращающихся вокруг него более легких планет.

Но в теоретическом плане эта модель, порожденная опытом, оказалась противоречащей основным положениям классической электродинамики; вращающийся вокруг ядра электрон представляет собой заряженную частицу, движущуюся с ускорением, и должен был излучать энергию в виде электромагнитных волн. Но, излучая энергию, т. е. теряя в итоге запас своей энергии, электрон спустя короткое время (по расчетам, порядка с) должен был упасть на ядро. Но этот вывод классической электродинамики не соответствовал опыту, ибо атомы были устойчивыми образованиями. Частота излучения в классической электромагнитной теории должна совпадать с частотой орбитального движения электрона. По мере того, как электронная орбита сжимается, частота обращения непрерывно возрастает. Таким образом, спектр излучения, испущенного возбужденным атомом водорода, казалось бы, должен быть непрерывным, т. е. в нем должны быть представлены все частоты. Эксперименты, однако, показывают, что спектр излучения атома водорода, наоборот, состоит из семейства дискретных линий.

Так же, как и при анализе закономерностей теплового излучения, надо было приводить в очередное соответствие прежнюю теорию с новым опытом. Такое реформирование теории первоначально было проведено Н. Бором.