15)Критерий Коши сходимости последовательности. Примеры применения критерия.

Теорема (критерий Коши): Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть последовательность {хn} сходится и х — ее предел. Требуется доказать, что эта последовательность является фундаментальной. Возьмем любое положительное число ε. Из определения сходящейся последовательности вытекает, что для положительного числа ε/2 найдется номер N такой, что при n≥ N выполняется неравенство \х_n — х\ < ε/2.

Если р — любое натуральное число, то при n≥N выполняется также и неравенство \х_n+p— х\ < ε/2. Так как модуль суммы двух величин не больше суммы их модулей, то из последних двух неравенств получим, что при n≥N и для всех натуральных чисел р

Тем самым фундаментальность последовательности {хn} установлена.

2) Достаточность . Пусть {хn} — фундаментальная последовательность. Требуется доказать, что эта последовательность сходится. Согласно теореме достаточно для этого доказать ограниченность последовательности {хn} и равенство ее верхнего и нижнего пределов . Ограниченность фундаментальной последовательности уже установлена нами выше. Для доказательства равенства верхнего и нижнего пределов воспользуемся доказанным выше свойством фундаментальной последовательности: для любого положительного числа е можно указать элемент x_N такой, что вне интервала (x_N— ε, x_N+ ε) находится не более чем конечное число элементов последовательности. Интервал (x_N— ε, x_N+ ε) содержит интервал (,), и поэтому –≤ε, откуда, в силу произвольности ε,= . Тем самым сходимость последовательности установлена. Теорема полностью доказана.

Пример. Применим критерий Коши для установления сходимости следующей последовательности {xn}: xn=a1+a2+a3+…+an где ak (к = 1,2,3,...) — произвольные вещественные числа, удовлетворяющие условию \аk\ ≤, a q — некоторое число из интервала 0 < q < 1. Пусть n— любой номер, р — любое натуральное число. Тогда, очевидно,

Учитывая, что последовательность {} является бесконечно малой, можно утверждать, что для любого ε > 0 найдется номер N такой, чтоСтало быть, при n≥N и для любого натурального рт. е. последовательность {xn} является фундаментальной и сходится согласно теореме.

Пример: Докажем, что последовательность  не является фундаментальной.

Покажем, что  расходящаяся : Рассмотрим последовательность  Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что наша последовательность фундаментальная, тогда по определению фундаментальной последовательности:  поскольку n и m любые, то возьмём  таких слагаемых будет N штук, из всех слагаемых  — наименьшее. Можно сказать, что сумма будет больше, чем сумма N наименьших слагаемых, то есть: , а значит последовательность не является фундаментальной. Мы пришли к противоречию.

16)Бесконечно большие последовательности. Их свойства. Примеры.

Определение. Последовательность {хn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A (сколь большим бы его не взяли) можно указать номер N такой, что при n≥N все элементы хn этой последовательности удовлетворяют неравенству \хn\ > А.

Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной, поскольку для лю- любого А > 0 можно указать номер N такой, что при n > N все элементы хn удовлетворяют неравенству \хn\ > А, а следовательно, для любого А > 0 найдется по крайней мере один такой элемент xn, что \хn\ > А.

Теорема (о связи б.м.п. и б.б.п.) Если {хn} — бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n, определена по- последовательность {1/xn}, которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности {аn} не равны нулю, то последовательность {1/аn} бесконечно большая.

Доказательство. Пусть {xn} – б.б.п, т.е. для любых , существует Nε, для любых n≥Nε, │xn│≥ε. Это означает, что n≥Nε все элементы xn, поэтому последовательность {1/xn} имеет смысл начиная с некоторого номера Nε. Пусть А – любое положительное число, тогда для числа 1/А существует N1 такое что для любых n≥N1 │1/xn│<A, что по определению означает, что последовательность {1/xn} – бесконечно малая. Второе доказательство проводится аналогично.

Свойства бесконечно больших последовательностей:

1)Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.

Пусть  — бесконечно большие последовательности. По определению:  и . Тогда для последовательности : , что означает, что последовательность  — бесконечно большая.

2)Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

Пусть последовательность  — бесконечно большая,  — ограниченная. Тогда по определению  и . Рассмотрим :

│=│xn│*(1+0)=│xn│≥ε Получили: , что означает, что последовательность  — бесконечно большая.

3)Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность. (Доказывается аналогично предыдущему)

4)Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность. Пусть последовательность  — бесконечно большая, — константа. Тогда по определению . Рассмотрим :

 (по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями).  — константа,  — также константа, т.е. ограниченная. {}={}, что означает, что последовательность  — бесконечно большая.

Примеры:

1. Последовательность  является бесконечно большой, т.к. .

2. Последовательность  является бесконечно большой, т.к. .

3.  — бесконечно большая, т.к. , а  — ограниченная, сохраняющая знак.