- •1)Свойства действительных чисел.
- •2)Свойства абсолютной величины действительного числа
- •4)Понятие сходящейся и расходящейся последовательности.
- •5)Теорема о предельном переходе в неравенстве.
- •6)Теорема о сжатой переменной (о трех последовательностях)
- •8)Теоремы о бесконечно малых.
- •10)Теорема Вейештрасса о последовательностях.
- •11)Определение числа е как предела последовательности.
- •12)Критерий сходимости последовательностей, основанный на поведении их подпоследовательностей. Лемма о вложенных промежутках.
- •13)Теорема Больцано-Вейерштрасса. Частичные пределы.
- •15)Критерий Коши сходимости последовательности. Примеры применения критерия.
- •16)Бесконечно большие последовательности. Их свойства. Примеры.
- •17)Понятие открытого, закрытого множеств, области на r, предельной точки множества. Примеры.
- •18)Теорема о равносильности 2-ч определений предела функции. Замечания.
4)Понятие сходящейся и расходящейся последовательности.
Последовательность {хn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа можно указать номер N такой, что при n≥N все элементы хn этой последовательности удовлетворяют неравенству \хn-а\<.
При этом число а называется пределом последовательности {хn}.
Последовательность {хn} называется сходящейся, если существует число а такое, что в любой -окрестности числа а находятся все элементы последовательности {xn}, начиная с некоторого номера. (-окрестностью числа а называется интервал (a —, a + )).
Числовая последовательность не имеющая предела называется расходящейся.
Пример: последовательность 1,-1,1… - расходящаяся ;
2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
Теорема : Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Дказательство: Пусть а и b — пределы сходящейся последовательности {xn}. Тогда, для элементов хn сходящейся последовательности {хn}, получим хn = а + аn, хn = Ь + bn, где аn и bn — элементы бесконечно малых последовательностей {аn} и {bn}. Вычитая написанные соотношения, найдем an – bn= Ь - a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {аn —bn} имеют одно и то же постоянное значение b — а, то b— а = 0, т. е. b = а. Теорема доказана.
Теорема : Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть {хт} — сходящаяся последовательность и а — ее предел. Тогда, существует ε, N(ε): при, ,. Тогдадляn.
5)Теорема о предельном переходе в неравенстве.
Теорема: Если элементы сходящейся последовательности {хn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству хn ≥b(хn ≤ Ь), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а≥b (а≤b).
Доказательство: Пусть все элементы xn, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству Хn ≥ Ь. Требуется доказать неравенство а ≥Ь. Предположим, что а < Ь. Поскольку а — предел последовательности {xn}, то для положительного ε = Ь — а можно указать номер N такой, что при n≥ N выполняется неравенство \хп — а\ < Ь — а. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: — (Ь — а) < хп — а < Ь — а. Используя правое из этих неравенств, получим хn < Ь, а это противоречит условию теоремы.
Замечание. Элементы сходящейся последовательности {хn} могут удовлетворять строгому неравенству хn > b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если хn = , то хn > 0, однако.
Следствие 1. Если элементы хn и уn сходящихся последователъностей {хn} и {уn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству хn , уn, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: .
Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности {хn} находятся на сегменте [а,Ь], то и ее предел с также находится на этом сегменте.
6)Теорема о сжатой переменной (о трех последовательностях)
Теорема: Пусть {хn} и {zn} — сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {уn} удовлетворяют неравенствам хn ≤ уn ≤ zn. Тогда последовательность {уn} сходится и имеет предел а.
Доказательство. Достаточно доказать, что последовательность {уn — а} является бесконечно малой. Обозначим через N* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства хn — а ≤уn — а ≤zn-a. Отсюда следует, что при n ≥ N* элементы последовательности {yn — a} удовлетворяют неравенству │yn –a │≤max{│xn -a│,│zn-a│}.Так как и , то для любого ε> 0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при n≥ N1 \xn - a\ < ε, а при n≥ N2 \zn — а\ < ε. Пусть N = max{N*, N1, N2}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство \уп ^ а\ < ε. Итак, последовательность {уn –а} — бесконечно малая. Теорема доказана:)
7)Теорема о стабилизации знака.
Теорема: Пусть {xn} сходящаяся последовательность , предел которой равен а; а. Тогда начиная с некоторого номера n , переменная xn.
Докозательство:Пусть . Предположим ε=a-p . По определению предела последовательности для этого ε найдется Кε N такое, что ККε и│хк-а│ε. Т.е при любых ККε , число хк удовлетворяет неравенствам а-εхка+ε. Но а-ε=а-(а-р)=р, значит, ККε и рхк . Предположим Кр = Кε . Тогда при всех ККр справедливо pxk . Ч.и.т.д