- •1)Свойства действительных чисел.
- •2)Свойства абсолютной величины действительного числа
- •4)Понятие сходящейся и расходящейся последовательности.
- •5)Теорема о предельном переходе в неравенстве.
- •6)Теорема о сжатой переменной (о трех последовательностях)
- •8)Теоремы о бесконечно малых.
- •10)Теорема Вейештрасса о последовательностях.
- •11)Определение числа е как предела последовательности.
- •12)Критерий сходимости последовательностей, основанный на поведении их подпоследовательностей. Лемма о вложенных промежутках.
- •13)Теорема Больцано-Вейерштрасса. Частичные пределы.
- •15)Критерий Коши сходимости последовательности. Примеры применения критерия.
- •16)Бесконечно большие последовательности. Их свойства. Примеры.
- •17)Понятие открытого, закрытого множеств, области на r, предельной точки множества. Примеры.
- •18)Теорема о равносильности 2-ч определений предела функции. Замечания.
8)Теоремы о бесконечно малых.
Теорема: Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть {аn} и {bn} — бесконечно малые последовательности. Докажем, что последовательность {an +bn}— бесконечно малая. Пусть ε — произвольное положительное число, N1— номер, начиная с которого \аn\ < ε/2, а N2 — номер, начиная с которого \bn\ < ε/2. (Такие номера N1 и N2 найдутся по определению бесконечно малой последовательности.) Так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей, т. е. \аn+ bn\ ≤\аn\ + \bn\ , то, обозначив через N наибольший из двух номеров N1 и N2, мы получим, что, начиная с номера N, выполняется неравенство \аn + bn\ < ε. Это означает, что последовательность {аn + bn} бесконечно малая. Теорема доказана.
Теорема: Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Эта теорема доказывается аналогично предыдущей, только вместо неравенства \аn + bn\ ≤ |аn| + \bn\ следует взять неравенство \аn — bn\≤\аn\ + \bn\.
Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей — бесконечно малая последовательность.
Теорема: Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть {аn} — бесконечно малая последовательность и ε - некоторое положительное число. Пусть, далее, N — номер, начиная с которого \аn\ < ε. Обозначим через А наибольшее из следующих N чисел: ε, |a1|, |а2|,..., │aN -1│.Это можно записать так: А = mах{ε, |a1 |, |a2|,…, |aN -1|} . Очевидно, \а2\ ≤А для любого номера n , что означает ограниченность последовательности. Теорема доказана.
Теорема: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство. Пусть {хn} — ограниченная , а {an} — бесконечно малая последовательности. Так как последовательность {хn} ограничена, то существует число А > 0 такое, что любой элемент хn удовлетворяет неравенству \хn\ ≤А. Возьмем произвольное положительное число ε. Поскольку последовательность {аn} бесконечно малая, то для положительного числа ε/А можно указать номер N такой, что при n≥N выполняется неравенство \an\ < ε/А. Тогда при n≥ N \ хn*an\ = \хn\ * \аn\ < А = ε. Поэтому последовательность {хn * аn} бесконечно малая. Теорема доказана.
Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.
Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла.
Теорема. Если все элементы бесконечно малой последовательности {аn} равны одному и тому же числу с, то с = 0.
Докозательство: Пусть . Тогда для . По условию, , тогда . Получили противоречие, следовательно, .
9)Теоремы об арифметических действиях над сходящимися последовательностями.
Теорема . Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn} и {уn}.
Доказательство. Пусть а и b — соответственно пределы последовательностей {хn} и {уn}. Тогда хn = а + аn и yn = Ь + bn, где {аn} и {bn} — бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn + уn) - (а + Ь) = аn + bn. Таким образом, последовательность {(хn+уn) — (а+Ь)} бесконечно малая, и поэтому последовательность {хn + уn} сходится и имеет своим пределом число а + Ь.
Теорема . Разность сходящихся последовательностей {хn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn} и {уn}.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о сумме.
Теорема 3.11. Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {уn}.
Доказательство. Если а и b — пределы последовательностей {хn} и {уn} соответственно, то хn = а + аn, уn = b + an и хn * yn = а*b + а*bn + b*an +anbn. Следовательно, хn * уn - а *b = а*bn + b*an +anbn. В силу теоремы о бесконечно малых и следствия из нее, { а*bn + b*an +anbn } бесконечно малая, т. е. и последовательность {хп - уп — а - Ь} бесконечно малая, и поэтому последовательность {хп • уп} сходится и имеет своим пределом число а • Ь.
Лемма . Если последовательность {уn} сходится и имеет отличный от нуля предел Ь, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность { , которая является ограниченной.
Доказательство. Пусть е = | Ь |/2. Так как b≠0, то е > 0. Пусть N — номер, соответствующий этому е, начиная с которого выполняется неравенство | уn — b│ < е или │yn -Ь│ < │Ь│/2. Из этого неравенства следует, что при n≥N выполняется неравенство │уn│> │Ь│/2. Поэтому при n≥N имеем ││<. Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность { и эта последовательность ограничена. Лемма 1 доказана.
Теорема. Частное двух сходящихся последовательностей {хn} и {уn} при условии, что предел {уn} отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {хn} и {уn}.
Доказательство. Из доказанной леммы 1 следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {уn} отличны от нуля и последовательность { ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность { . Пусть а и b — пределы последовательностей {хn} и {уn}. Докажем, что последовательность{ бесконечно малая. В самом деле, так как хn = а + an , уn = b +bn то =.Так как последовательность { ограничена, а последовательность бесконечно малая, то последовательность {}≡бесконечно малая. Теорема доказана.