12)Критерий сходимости последовательностей, основанный на поведении их подпоследовательностей. Лемма о вложенных промежутках.

Определение . Последовательность , которая составлена из членов последовательностии в которой порядок следования её элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности, называется подпоследовательностью этой последовательности.

Лемма о вложенных промежутках (Теорема Кантора-Коши?). Для всякой системы вложенных отрезков [an,bn]… [a2,b2][a1,b1] существует хотя бы одна точка c, принадлежащая всем отрезкам данной системы. Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:то c — единственная общая точка всех отрезков данной системы.

Доказательство. Пусть даны монотонно возрастающая последовательность {x_n} и монотонно убывающая последовательность {y_n}. По теореме Вейерштрасса, . . Т.к. , то с2-с1=0 , следовательно с1=с2=с(!).

Утверждение 1: Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследвательность.

13)Теорема Больцано-Вейерштрасса. Частичные пределы.

Определение.Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

* Пример: Пусть Эта последовательность расходится, но ее подпоследовательности  и  сходятся соответственно к 1 и -1.Таким образом эти числа являются частичными пределами последовательности  

Определение. Наибольший (наименьший) частичный предел числовой последовательности называется её верхним (нижним) пределом и обозначается символом

Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство (метод Больцано). Предположим, что — ограниченна, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку . Разделим  пополам. Мы получим два отрезка. Хотя бы один из них содержит бесконечное число членов последовательности. Выберем этот отрезок. Если оба обладают этим свойством, то выберем первый. Выбранный отрезок, который содержит бесконечное число членов данной последовательности, обозначим  и его длина равна . Разделим отрезок  пополам, выберем из двух получившихся отрезков  длина которого  Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность отрезков  таких, что:

1. 

2. 

Следовательно, по определению, наша последовательность стягивающаяся Тогда, по теореме Кантора, существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, то есть:  (1) .Покажем, что  . Так как отрезок  содержит бесконечное число членов последовательности , то . Отрезок  также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому: Вообще, , где  Следовательно, существует подпоследовательность  последовательности  такая, что  (2) Условия (1) и (2) означают, что точка С и  принадлежат отрезку , и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка  то есть: при . По теореме о трех последовательностях Теорема доказана.

Замечание 1. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Замечание 2. Пусть {х_n} — ограниченная последовательностъ, элементы которой находятся на сегменте [а, Ь]. Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности {x_nk} также находится на сегменте [а, Ь].

14)Лемма об ограниченности последовательности Коши. Пример последовательности коши.

Определение. Последовательность {х_n} называется фундаментальной, если для любого положительного ε найдется номер N такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n≥N, и для всех натуральных чисел р (р = 1,2,...) справедливо неравенство │x_n+p-x_n│

Теорема . Для того чтобы последовательность {х_n} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы ее верхний и нижний пределы и совпадали.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть последовательность {х_n} сходится. Тогда она ограничена и имеет единственную предельную точку. Таким образом,= . 2) Достаточность. Для любого ε > 0 интервал ( — ε, + ε) содержит все элементы последовательности {х_n}, начиная с некоторого номера. Так как = , то указанный интервал совпадает с ε-окрестностью точки x, т. е. число x является пределом последовательности {x_n}.

Для любого положительного числа ε можно указать такой элемент x_N фундаментальной последовательности, в ε-окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N. Иными словами, вне интервала (хм — ?, %n + s) находится не более чем конечное число элементов последовательности.

Пример. 

1) Покажем, что последовательность {}- фундаментальная.

Доказательство. ││≤││+││

Возьмем N=+1,т.е.N>. Тогда для любых ε больше 0 и для любых n> , выполняется ││≤││+││≤

2) Покажем, что последовательность 0,1,0,1,… не является фундаментальной.

Какой бы номер N мы не взяли, найдутся такие числа n, m=n+1, что  │x_n-x_m│=│0-1│=1 ,т.е. последовательность не фундаментальна.