Приборы, оборудование, материалы.

1. Технические весы с разновесом или технические весы, приспособленные для взвешивания образцов в воде (рис. 2).

2. Вакуумный шкаф или вакуумный эксикатор.

3. Сушильный шкаф с терморегулятором на температуру 105 - 110°С

4. Аппарат Сокслета (см.рис.1) при определении плотности нефтенасыщенных образцов.

5. Электрический колбонагреватель мощностью 600 Вт или специаль­ная печь.

6. Фарфоровая чашка для парафинирования образцов (если производится гидростатическое взвешивание· парафинированных образцов).

7. Эксикатор с хлористым кальцием ( для обезвоживания образца)..

8. Чистый парафин.

9. Дистиллированная вода или другая рабочая жидкость (бензол, спирт, керосин, четыреххлористый этан и др.) для взвешивания в ней образцов.

Лабораторная работа № 3

Статистические характеристики закона распределения.

При массовом определении плотности большого числа образцов применяют специальный прибор–денситометр. Этот прибор представляет собой рычажные весы, сконструированные таким образом, что при погружении уравновешенного образца в воду стрелка прибора указывает на шкале плотность образца.

Перед использованием прибора внимательно прочтите описание (или про-слушайте объяснения преподавателя).

1. Измерьте и запишите в тетрадь плотности примерно 30 предоставленных образцов одной и той же литологической группы

2. Проведите статистическую обработку полученных результатов.

Статистические характеристики закона распределения. Вычисление числовых характеристик случайных величин по небольшому числу наблюдений

При статистической обработке результатов измерений в ряде случаев достаточно знать не законы распределения, а основные числовые характеристики распределения. Если ряд наблюдений строится по количественниму признаку, то такой ряд называют вариационным. Выделяют три типа вариационных рядов: ранжированный, дискрет-ный и интервальный. Ранжирование ряда – это расположение его элементов в порядке возрастания или убывания. Ранжирование позволяет легко разделить элементы ряда по группам, найти минимальное и максимальное значения, выделить значения, которые чаще всего повторяются. В основе дискретного ряда лежит прерыв-ное изменение признака: один, три, четыре и т.д. Эти признаки могут принимать только конечное число определённых значений. Если признак может в некоторых пределах принимать любые значения, то для него нужно строить интервальный вариационный ряд. Если же признак имеет непрерывное изменение, то для него необходимо строить ранжированный ряд.

Ч и с л о в ы м и х а р а к т е р и с т и к а м и случайной величины называ­ются значения, с помощью которых в сжатой форме выража­ются наиболее существенные особенности распределения.

Часто к числовым характеристикам случайной величины относят: среднее арифметическое, моду, медиану, моменты, коэффициент вариации, показатели асимметрии и эксцесса.

Простое среднее арифметическое значение (среднее значение) определяется по формуле

_ n

x =( 1/ n) ∑ x_i ( 0 )

i=1

Здесь n-объём выборки.

Математическое ожидание случайной величины Х это сумма произведений всех значений величины x_i на вероятности p _i их появления.

n

М [Х] = m_x = ∑ x_i p _i (1)

i=1

Дис­персия это математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной Х и её математическим ожиданием

σ² = D_x = (1 / n) ∑ [(Х - m_x)²]. (2)

i=1

Дисперсия характеризует рассеяние возможных значений случайной величины около её среднего значения.

Стандарт представляет собой среднеквадратичное отклонение случайной величины и определяется как

____

Σ = ± √ σ ² (3)

М о д о й случайной дискретной величины называется ее наи­более вероятное, наиболее часто встречающееся значение. Для непрерывной величины модой является ее значение, в котором плотность вероятности максимальна. Мода и математическое ожидание случайной величины в общем случае не совпадают. Они совпадают лишь при симметричном распределении. Распределение называется полимодальным, когда кривая имеет не один, а два или более максимумов.

Для дискретного несгруппированного вариационного ряда модальным является тот вариант (значение), который характеризуется наибольшей частотой.

Медианой случайной величины называется такое ее значе­ние, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше медианы. Иными словами, меди­ана это срединная величина упорядоченного вариационного ряда. Геометрически медиана - это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

При симметричном модальном распределении медиана сов­падает с математическим ожиданием и модой. Поэтому мода и медиана имеют особо важное значение при анализе асиммет­ричных распределений.

Для вариационного ряда с объемом выборки N медиана оп­ределяется по формулам:

А) при четном числе вариантов, т. е. при N =2k, М_е = ( х _k + x_{k +1} ) / 2 ; так в упорядоченном ряду 2, 5, 6, 8, 11,12,13,16 , где N =8, медиана будет

М_е = (8+11)/2= 9,5

В) при нечетном числе вариантов, т. е. при N =2k + 1,

М_е = x _k+1 т.е.в ряду 2, 5, 6, 8, 11,12,13, k =3 и М_е = 8.

Кривая распределения это графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду. Графическое представление облегчает анализ распределения частот в вариационном ряду. По результатам измерения плотности на денситометре в 2011 г. были получены следующие результаты.

Плотности окварцованных и минерализованных пород (вариант 1):

2.51, 2.55, 2.86 , 2.71, 2.75, 2.53, 2.56, 2.62, 2.67, 2.72

2.77, 2.58, 2.64, 2.69, 2.74, 2.78, 2.82, 2.59, 2.62, 2.70,

2.70, 2.71, 2.76, 2.61, 2.69, 2.71, 2.77, 2.83, 2.64, 2.68,

2.72, 2.65, 2.66, 2.67, 2.73, 2.61, 2.66, 2.48, 2.68, 2.63,

2.57, 2.69 , 2.79, 2.81, 2.88, 2.54, 2.72, 2.76, 2.57, 2.61,

2.73, 2.76, 2.63, 2.66,

Плотности окварцованных и минерализованных известняков (вариант 2):

2.72, 2.88, 2.96, 2.99 2.94 2.89 2.92 3.04. 3.14 2.94

2.86 3.03 2.99 2.88 3.07 3.13 2.93 2.79 3.10 3.04

2.77 2.84 3.12 3.06 2.91 3.09 2.92 3.01 3.04 2.98

2.86 3.05 2.94 3.06 2.91 2.95 2.97 3.01 3.02 2.97

3.19 2.81 2.97 3.06 2.98 2.87 3.06 3.03 2.96 2.96

3.02 3.04 3.02 3.03 3.08 2.82 3.07

Плотности минерализованных известняков (вариант 3)

2.89 2.75 2.67 2.59 2.56 2.65 2.75 2.87 2.86 2.79

2.93 2.98 2.88 2.76 2.67 2.75 2.47 2.50 2.61 2.51

2.69 2.72 2.73 2.81 2.90 2.82 2.77 2.64 2.56 2.74

2.84 3.08 2.41 2.65 2.54 2.57 2.64 3.09 2.93 2.96

2.66 2.57 2.69 2.77 2.63 2.63 2.70 2.67 2.83 2.96 3.04 3.18

Плотности окварцованных и минерализованных известняков (вариант 4)

2.66 2.71 2.75 2.81 2.85 2.93 2.97 2.88 2.81 2.73

2.71 2.86 2.94 3.05 2.83 2.77 2.74 2.77 2.83 2.84

2.78 2.76 2.84 2.84 2.93 2.97 2.92 2.96 2.76 2.72

2.68 2.72 2.77 2.82 2.87 2.79 2.79 2.84 2.83 2.81

2.86 3.02 2.66 2.57 2.69 2.77 2.63 2.63 2.70 2.67

2.83 2.96 2.81 2.85 2.89 2.63

Порядок выполнения задания (выполняется в Exell ’e )

1. Записать плотности в порядке возрастания;

2. Вычислить число классов по формуле n= 1+ 3,2 log N

3. Определить диапазон каждого класса; Δ= ( x max – x min) / n

4. Определить число образцов в каждом классе;

5. Построить гистограмму и многоугольник распределения;

6. Вычислить статистические моменты 2, 3, 4 порядков и основные статистические характеристики распределения для каждого из вариантов.

Напомним, что основные свойства распределений случайной величины описывают с помощью м о м е н т о в . Эмпирическим моментом k - порядка случайной величины называется среднее значение k -х степеней разностей x_i - C. В зависимости от величины С различают начальным и центральные моменты. Если С совпадает с началом отсчёта (С=0), момент называют начальным. Если постоянной является среднее значение признака ( С=х), то момент называют центральным.

_

Среднее арифметическое значение х = μ ;

Дисперсию σ ² = μ₂ ;

___

Среднеквадратическое отклонение σ = √ μ ₂;

_

Коэффициент вариации х / σ ;

N _

Оценка дисперсии S² = 1/(n-1) Σ ( х_i – х )²

N _

Асимметрию А = (1/ n σ³) Σ ( х_i - х )³;

N _

Эксцесс E = (1/ n σ⁴) Σ ( х_i - х )⁴ - 3

Сделать выводы о характере полученного распределения.